1、第六章 多元函數(shù)微分學(xué) 在前面幾章中，我們討論的函數(shù)都只有一個自變量，這種函數(shù)稱為一元函數(shù). 但在許多實際問題中，我們往往要考慮多個變量之間的關(guān)系，反映到數(shù)學(xué)上，就是要考慮一個變量（因變量）與另外多個變量（自變量）的相互依賴關(guān)系. 由此引入了多元函數(shù)以及多元函數(shù)的微積分問題. 本章將在一元函數(shù)微積分學(xué)的基礎(chǔ)上，進一步討論多元函數(shù)的微積分學(xué). 討論中將以二元函數(shù)為主要對象，這不僅因為有關(guān)的概念和方法大都有比較直觀的解釋，便于理解，而且這些概念和方法大都能自然推廣到二元以上的多元函數(shù).第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念分布圖示 空間解析幾何簡介 空間直角坐標(biāo)系 坐標(biāo)面與卦限 點與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系 空間兩點間

2、的距離 例1 例2 曲面及其方程 例3 例4 例5 領(lǐng)域 平面區(qū)域的概念 多元函數(shù)的概念 例6 例7 例8 二元函數(shù)的圖形 二元函數(shù)的極限 例9 例10 例11 二元函數(shù)的連續(xù)性 例 12 二元初等函數(shù) 例 13-14 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題6-1內(nèi)容提要 一、空間解析幾何簡介 二、多元函數(shù)的概念定義1 設(shè)D是平面上的一個非空點集，如果對于內(nèi)的任一點，按照某種法則，都有唯一確定的實數(shù)與之對應(yīng)，則稱是上的二元函數(shù)，它在處的函數(shù)值記為，即，其中x，y稱為自變量， z稱為因變量. 點集D稱為該函數(shù)的定義域，數(shù)集稱為該函數(shù)的值域.類似地，可定義三元及三元以上函數(shù). 當(dāng)時, n

3、元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù). 二元函數(shù)的幾何意義 三、二元函數(shù)的極限定義2 設(shè)函數(shù)在點的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)點無限趨于點時，函數(shù)無限趨于一個常數(shù)，則稱A為函數(shù)當(dāng) 時的極限. 記為.或 （）也記作 或 二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限具有相同的性質(zhì)和運算法則，在此不再詳述. 為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們稱二元函數(shù)的極限為二重極限. 四、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3 設(shè)二元函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，如果,則稱在點處連續(xù). 如果函數(shù)在點處不連續(xù)，則稱函數(shù)在處間斷. 與一元函數(shù)類似，二元連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運算和復(fù)合運算后仍為二元連續(xù)函數(shù). 由和的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合所構(gòu)成的可用一個式子表

4、示的二元函數(shù)稱為二元初等函數(shù). 一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的. 這里定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域. 利用這個結(jié)論，當(dāng)要求某個二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)一點的極限時，只要算出函數(shù)在該點的函數(shù)值即可.特別地，在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)也有類似于一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上所滿足的定理. 下面我們不加證明地列出這些定理.定理1（最大值和最小值定理） 在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù), 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù), 若在D上取得兩個不同的函數(shù)值, 則它在D上取

5、得介于這兩值之間的任何值至少一次.例題選講 例1 求證以、三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.解 從而原結(jié)論成立.例2 (E01) 設(shè)P在x軸上, 它到的距離為到點的距離的兩倍, 求點P的坐標(biāo).解 因為在軸上，設(shè)點坐標(biāo)為 所求點為例3 (E02) 建立球心在點、半徑為R的球面方程.解 設(shè)是球面上任一點，根據(jù)題意有特別地:球心在原點時方程為 例4 (E03) 方程表示怎樣的曲面？解 對原方程配方，得 所以，原方程表示的球心在半徑為的球面方程.例5 (E04) 求與坐標(biāo)面距離等于的平面方程.解 設(shè)所求平面上的任意一點為因點到面的距離為故而可取任意實數(shù).于是所求平面方程為和這是與面平行且距離為的平面

6、.注：類似的分析可知，分別表示與平面，平面平行的平面.特別地，三個坐標(biāo)面的方程分別為 面：； 面：； 面：.例6（E05）某公司的總體成本（以千元計）為 ，其中是員工工資，是原料的開銷，是廣告宣傳的開銷，是機器的開銷，求。解 用2替換，3替換，0替換，10替換，則 （千元）。例7 (E06) 求二元函數(shù)的定義域.解 所求定義域為 例8 (E07) 已知函數(shù) 求.解 設(shè)則故得 即有 二元函數(shù)的極限例9 (E08) 求極限 .解 令則=0.例10 (E09) 證明 不存在.證 取為常數(shù)),則易見題設(shè)極限的值隨的變化而變化,故題設(shè)極限不存在.例11 證明 不存在.證 取其值隨的不同而變化, 故極限不存在.二元函數(shù)的連