1、物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-201沿沿逆時針逆時針方方向轉(zhuǎn)動向轉(zhuǎn)動一一 剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度)()(ttt角位移角位移)(t 角坐標(biāo)角坐標(biāo)沿沿順時針順時針方方向轉(zhuǎn)動向轉(zhuǎn)動tttddlim0角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向P(t+dt)z.OxP(t)r.d物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-202角加速度角加速度tdd 剛體剛體定軸定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動( (一維轉(zhuǎn)動一維轉(zhuǎn)動) )的的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動方向方向可以用可以用角速度角速度的正、負(fù)的正、負(fù)來表示來表示. .00zz物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-203( (1) ) 每一質(zhì)點均

2、作圓周運動，圓面為轉(zhuǎn)動每一質(zhì)點均作圓周運動，圓面為轉(zhuǎn)動 平面；平面； ( (2) ) 任一質(zhì)點運動任一質(zhì)點運動 均相同，但均相同，但 不同；不同；,a, v定軸轉(zhuǎn)動的定軸轉(zhuǎn)動的特點特點 ( (3) ) 運動描述僅需一個角坐標(biāo)運動描述僅需一個角坐標(biāo)物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-204二二 勻變速轉(zhuǎn)動公式勻變速轉(zhuǎn)動公式 剛體剛體繞繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動定軸作勻變速轉(zhuǎn)動質(zhì)點質(zhì)點勻變速直線運動勻變速直線運動at0vv22100attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt 當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角加速度當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角加速度=常量常量時，剛體做時，剛體做勻變速轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動

3、物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-205三三 角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系tervte2ntraran2tereratddtt22ddddavrtana物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-206 例例1在高速旋轉(zhuǎn)的微型電動機(jī)里，有在高速旋轉(zhuǎn)的微型電動機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面并通過中心一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面并通過中心的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)開始起動時，角速度為零起的轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)開始起動時，角速度為零起動后其轉(zhuǎn)速隨時間變化關(guān)系為：動后其轉(zhuǎn)速隨時間變化關(guān)系為： 式中式中 求求：( (1) )t= =6 s時電動機(jī)的轉(zhuǎn)速時電動機(jī)的轉(zhuǎn)速( (2) )起動后，起動后，電動電動機(jī)在機(jī)在 t= =6

4、 s時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)( (3) )角加速度角加速度隨時間變化的規(guī)律隨時間變化的規(guī)律)e1 (/tm，s0 . 2sr5401m物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-207( (2) ) 電動機(jī)在電動機(jī)在6 s內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為解解 ( (1) ) 將 t=6 s 代入代入1sr513950m.)e1 (/tm( (3) ) 電動機(jī)電動機(jī)轉(zhuǎn)動的角加速度為轉(zhuǎn)動的角加速度為22/srade540eddttmtr1021. 23ttNtmd)e1 (21d2160/60物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-208例例2在高速旋轉(zhuǎn)圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直在高速旋轉(zhuǎn)圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其

5、橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動開始時，它的其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動開始時，它的角速度角速度 ，經(jīng)，經(jīng)300 s 后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到 18 000 rmin-1 轉(zhuǎn)子的角加速度與時間成正轉(zhuǎn)子的角加速度與時間成正比問在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？比問在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？00解解 令令 ，即，即 ，積分，積分 ctcttddtttc00dd得得221ct物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-209當(dāng)當(dāng) t =300 s 時時11srad600minr00018322srad7530060022tc2215021tct221ct物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2010由由2150dd

6、tt得得tttd150d020在在 300 s 內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)43103)300(45022Nrad4503t物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2011 例例3 有一大型水壩高有一大型水壩高110 m、長、長1 000 m ,水深水深100m，水面與大壩表面垂直，如圖所水面與大壩表面垂直，如圖所示示. 求作用在大壩上的力，以及這個力對通求作用在大壩上的力，以及這個力對通過大壩基點過大壩基點 Q 且與且與 x 軸平行的力矩軸平行的力矩 .QyOxyOhxL物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2012 解解 設(shè)水深設(shè)水深h，壩長，壩長L，在壩面上取面積，在壩面上取面積元元

7、，作用在此面積元上的力，作用在此面積元上的力yLAdd ypLApFdddyOhxyAdydQyOxL物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2013)(0yhgpp令大氣壓為令大氣壓為 ，則，則 0pyLyhgpAPFd)(dd0hyLyhgpF00d)(代入數(shù)據(jù)，得代入數(shù)據(jù)，得N1091. 510FyOhxyAdyd2021gLhLhpL物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2014QyOyydFdhFyMdd 對通過點對通過點Q的軸的力矩的軸的力矩FdyLyhgpFd)(d0hyLyhgpyM00d)(3206121LhgLhp代入數(shù)據(jù)，得：代入數(shù)據(jù)，得：mN1014212 .M物理學(xué)物理

8、學(xué)第五版第五版2022-3-2015討論討論JM（1）tJJMdd（2）（3） =常量常量M，0轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律JM 物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2016三轉(zhuǎn)動慣量三轉(zhuǎn)動慣量 J 的的意義：意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度轉(zhuǎn)動慣性的量度 . 轉(zhuǎn)動慣量的單位：轉(zhuǎn)動慣量的單位：kgm22jjjrmJmrJd2物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2017v 質(zhì)量離散分布質(zhì)量離散分布22222112jjjjrmrmrmrmJ J 的計算方法的計算方法 v 質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布VrmrrmJVjjjdd222 ：質(zhì)量元：質(zhì)量元md ：體積元：體積元Vd物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2018

9、例例4 質(zhì)量為質(zhì)量為mA的物體的物體A 靜止在光滑水靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計的繩索相連接，繩平面上，和一質(zhì)量不計的繩索相連接，繩索跨過一半徑為索跨過一半徑為R、質(zhì)量為、質(zhì)量為mC的圓柱形滑輪的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為，并系在另一質(zhì)量為mB 的物體的物體B上，上，B 豎豎直懸掛直懸掛滑輪與繩索間無滑動，滑輪與繩索間無滑動， 且滑輪與且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計軸承間的摩擦力可略去不計( (1) )兩物體的兩物體的線加速度為多少？線加速度為多少？ 水平和豎直兩段繩索的水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？張力各為多少？( (2) ) 物體物體 B 從靜止落下距從靜止落下距離離 y 時

10、，其速率是多少時，其速率是多少？物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2019解解 ( (1) ) 用用隔離法分隔離法分別對各物體作受力分析，別對各物體作受力分析，取如圖所示坐標(biāo)系取如圖所示坐標(biāo)系A(chǔ)BCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCF物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2020amFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra yOT2FBPBmT2FT1FCPCFAPOxT1FNFAm物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-20212CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF解得：解得：物理學(xué)物理學(xué)第五

11、版第五版2022-3-2022如令如令 ，可得，可得BABAT2T1mmgmmFF （2） B由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，由靜止出發(fā)作勻加速直線運動，下落的速率下落的速率2/22CBABmmmgymayv0Cm2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2023穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時，細(xì)穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動試計算細(xì)桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成動試計算細(xì)桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成 角時角時的角加速度和角速度的角加速度和角速度例例5一長為一長為 l 、質(zhì)

12、量質(zhì)量為為 m 勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈其下端與一固定鉸鏈O相相接，并可繞其轉(zhuǎn)動接，并可繞其轉(zhuǎn)動由于由于此豎直放置的細(xì)桿處于非此豎直放置的細(xì)桿處于非m,lOmg物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2024 解解 細(xì)桿受重力和細(xì)桿受重力和鉸鏈對細(xì)桿的約束力鉸鏈對細(xì)桿的約束力 作用，由轉(zhuǎn)動定律得作用，由轉(zhuǎn)動定律得NFJmglsin21式中式中231mlJ 得得sin23lgNFm,lOmg物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2025 解解 細(xì)桿受重力和細(xì)桿受重力和鉸鏈對細(xì)桿的約束力鉸鏈對細(xì)桿的約束力 作用，由轉(zhuǎn)動定律得作用，由轉(zhuǎn)動定律得NFJmglsin21式中式

13、中231mlJ 得得sin23lgNFm,lOmg物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2026ipjp0, 0p一一 質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒定律質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒定律 vmp 質(zhì)點質(zhì)點運動運動JL 剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動0, 0p物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2027 例例6 一半徑為一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直平的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi)面內(nèi). 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 的小的小球穿在圓環(huán)上球穿在圓環(huán)上, 并可在并可在圓環(huán)上滑動圓環(huán)上滑動. 小球開始小球開始時靜止于圓環(huán)上的點時靜止于圓環(huán)上的點 A (該點在通過環(huán)心該點在通過環(huán)心 O 的的水平面上水平面上)，然后從，

14、然后從 A點開始下滑設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦力略點開始下滑設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦力略去不計求小球滑到點去不計求小球滑到點 B 時對環(huán)心時對環(huán)心 O 的角的角動量和角速度動量和角速度物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2028 解解 小球受力小球受力 、 作用作用, 的力矩為的力矩為零，重力矩垂直紙面向里零，重力矩垂直紙面向里由質(zhì)點的角動量定理由質(zhì)點的角動量定理cosmgRM tLmgRddcostmgRLdcosdNFPNF物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2029考慮到考慮到2,ddmRmRLtvgRmLLdcosd32得得由題設(shè)條件積分上式由題設(shè)條件積分上式0320dcosdgRmLLL2

15、1)sin2(Rg2mRL 2123)sin2(gmRL 得得物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2030 例例7一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 的登月飛船，在離月的登月飛船，在離月球表面高度球表面高度 h 處繞月球作圓周運動飛船采處繞月球作圓周運動飛船采用如下登月方式：當(dāng)飛船位于點用如下登月方式：當(dāng)飛船位于點 A 時，它向時，它向外側(cè)短時間噴射出粒子流，使飛船與月球相外側(cè)短時間噴射出粒子流，使飛船與月球相切地到達(dá)點切地到達(dá)點 B , 且且OA 與與 OB 垂直飛船所垂直飛船所噴氣體相對飛船的速度為噴氣體相對飛船的速度為 試問：登月飛船在登月過程中所需消耗燃料試問：登月飛船在登月過程中所需消耗燃料的質(zhì)

16、量的質(zhì)量 是多少是多少? ?14sm1000. 1um物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2031kg1020. 14mkm100h14sm1000. 1ukm7001R2sm62. 1g0vAvBBvuvhORA已知已知物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2032 解解 設(shè)飛船在點設(shè)飛船在點 A 的速度的速度 , 月球質(zhì)月球質(zhì)量量 mM ,由萬有引力和由萬有引力和牛頓定律牛頓定律0v12120sm6121)(hRgRv0vAvBBvuvhORAhRmhRmmG202M)(v2MRmGg 物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-203321)(220vvvAu0vAvBBvuvhORA 飛船

17、在飛船在A點以相對點以相對速度速度 向外噴氣的短向外噴氣的短時間里時間里 , 飛船的質(zhì)量飛船的質(zhì)量減少了減少了 而為而為 , 并并獲得速度的增量獲得速度的增量 , 使飛船的速度變?yōu)槭癸w船的速度變?yōu)?, 其值為其值為vAvmm物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2034RmhRmBvv)(01sm7091)(RhR0Bvv 質(zhì)量質(zhì)量 在在 A 點和點和 B 點只受有心力作用點只受有心力作用 , 角動量守恒角動量守恒m 飛船在飛船在 A點噴出氣體后，在到達(dá)月球的點噴出氣體后，在到達(dá)月球的過程中，機(jī)械能守恒過程中，機(jī)械能守恒RmmGhRmmGMM21212B2Avmvm物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版20

18、22-3-2035RmmGhRmmGMM21212B2AvmvmRmGhRmGMM222B2Avv即即1sm6151Av于是于是121sm100)(202Avvv而而vmum)(kg120ummv物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2036 例例8 質(zhì)量很小長度為質(zhì)量很小長度為l 的均勻細(xì)桿，可的均勻細(xì)桿，可繞過其中心繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動內(nèi)轉(zhuǎn)動當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時，有一只當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時，有一只小蟲以速率小蟲以速率 垂直落在距點垂直落在距點O為 l/4 處，并背處，并背離點離點O 向細(xì)桿的端點向細(xì)桿的端點A 爬行設(shè)小蟲與細(xì)桿爬行設(shè)小

19、蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m問：欲使細(xì)桿以恒定的角速問：欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動，小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點爬行度轉(zhuǎn)動，小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點爬行?0vl/4O物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2037220)4(1214lmmllmvl0712 v解解蟲與桿的蟲與桿的碰撞前后，系統(tǒng)角碰撞前后，系統(tǒng)角動量守恒動量守恒物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2038l0712 v由角動量定理由角動量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考慮到考慮到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg得得此即小蟲需具有的爬行速率此

20、即小蟲需具有的爬行速率物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2039 例例9一雜技演員一雜技演員M由距水平蹺板高為由距水平蹺板高為h 處自由下落到蹺板的一端處自由下落到蹺板的一端A，并把蹺板另一，并把蹺板另一端的演員端的演員N彈了起來問演員彈了起來問演員N可彈起多高可彈起多高? ?ll/2CABMNh物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2040設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長度為設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，長度為l，質(zhì)量為質(zhì)量為 ，蹺板可繞中部支撐點蹺板可繞中部支撐點C 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，演員的質(zhì)量均為演員的質(zhì)量均為m假定演員假定演員M落在蹺板上，落在蹺板上，與蹺板的碰撞是與蹺板的碰撞是完全非彈性完

21、全非彈性碰撞碰撞m解解碰撞前碰撞前M落在落在 A點的速度點的速度21M)2( ghv碰撞后的瞬間，碰撞后的瞬間，M、N具有相同的線速度具有相同的線速度2lu 物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2041M、N和蹺板組成的系統(tǒng)，角動量守恒和蹺板組成的系統(tǒng)，角動量守恒22M21121222mllmlmuJlmvll/2CABMNh物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2042lmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演員演員N以以u起跳，達(dá)到的高度：起跳，達(dá)到的高度：hmmmglguh2222)63(8222M21121222mllmlmuJlmv物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版

22、2022-3-2043 例例10 留聲機(jī)的轉(zhuǎn)盤繞通過盤心垂直盤留聲機(jī)的轉(zhuǎn)盤繞通過盤心垂直盤面的軸以角速率面的軸以角速率 作勻速轉(zhuǎn)動放上唱片作勻速轉(zhuǎn)動放上唱片后，唱片將在摩擦力作用下隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)后，唱片將在摩擦力作用下隨轉(zhuǎn)盤一起轉(zhuǎn)動設(shè)唱片的半徑為動設(shè)唱片的半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，它與轉(zhuǎn)，它與轉(zhuǎn)盤間的摩擦系數(shù)為盤間的摩擦系數(shù)為 ，求：，求：( (1) )唱片與轉(zhuǎn)盤唱片與轉(zhuǎn)盤間的摩擦力矩；間的摩擦力矩； ( (2) )唱片達(dá)到角速度唱片達(dá)到角速度 時需時需要多長時間；要多長時間；( (3) )在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤的驅(qū)在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)盤的驅(qū)動力矩做了多少功？動力矩做了多少功？物理學(xué)物理學(xué)第五版第五版2022-3-2044RrdrdllrRmgfddd2fdo 解解 ( (1) ) 如圖