1、思維特訓(xùn)(七) 拋物線背景下的等腰三角形存在性問題方法點津1沒有明確腰的等腰三角形有三種情況；可利用腰相等建立方程求解2 利用等腰三角形底邊上高也是底邊上的中線，同時也是頂角的平分線建立方程求解3在平面直角坐標(biāo)系中，表示線段的長時，通常用到同一直線上兩點間的距離公式以及勾股定理典題精練類型一等腰三角形兩個頂點在拋物線上，第三個頂點在拋物線的對稱軸上1 .如圖71,直線y=x+ 3與x軸、y軸分別交于點B, C,經(jīng)過B, C兩點的拋物 線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點為 A,頂點為P.(1)求該拋物線的解析式(2)在該拋物線的對稱軸上是否存在點M， 使以C， P， M 為頂點的三角形為等腰

2、三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖7 1類型二明確腰的等腰三角形2 如圖72，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A(1，0)，B(4，0)，C(0，4)三點， P 是直線 BC 下方拋物線上一動點(1)求這個二次函數(shù)的解析式(2)是否存在點P， 使 POC 是以 OC 為底邊的等腰三角形？若存在，求出點 P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖7 2類型三 含待定字母的拋物線形成的等腰三角形,一c 43 .已知函數(shù) Ci： y= kx2+依一3k)x4.3(1)求證：無論k為何值，函數(shù)圖象與 x軸總有交點.(2)當(dāng)kw。時，二次函數(shù)圖象與x軸交于A

3、, B兩點，與y軸交于點C,是否存在實數(shù)k, 使4ABC為等腰三角形？若存在，請求出實數(shù)k的值；若不存在，請說明理由.類型四 拋物線及直線上的點形成的等腰三角形4 .如圖73,拋物線y=ax26x+c與x軸交于點 A, B(5, 0),與y軸交于點C(0, 5), P是拋物線上的動點，設(shè)點 P的橫坐標(biāo)為t,連接PB, PC, PC與x軸交于點D,過點 P作y軸的平行線交x軸于點H,交直線BC于點E.(1)求該拋物線的解析式.(2)當(dāng)t<5時， BPE能否為等腰三角形？若能，請求出此時點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.圖73典題講評與答案詳析1 .解：(1) M線 y=x+3 與 x 軸、y

4、 軸分別交于點 B, C,B(3, 0), C(0, 3).把點B, C的坐標(biāo)分別代入拋物線的解析式可得9+3b+ c=0,b=-4,.解得 .c= 3,c= 3,，拋物線的解析式為 y=x2-4x+3.(2)存在.Ay = x2 _ 4x+ 3 = (x 2)2 1 ,拋物線的對稱軸為直線 x=2, P(2, 1).設(shè) M(2, t). C(0, 3),MC2=22+(t-3)2, MP2=(t+1)2, PC2=22+( 1 3)2= 20. AzCPM 為等腰三角形，,有 MC=MP, MC = PC 和 MP = PC 三種情況：當(dāng) MC=MP 時，則 MC2=MP2,3即 22+(t

5、3)2=(t+1)2,解得 t = 2,一，3此時 M(2, 2)；當(dāng) MC=PC 時，貝U MC2=PC2,即22+(t3)2=20,解得t = 1(與點P重合，舍去)或t=7,此時M(2, 7);當(dāng) MP=PC 時，則 MP2=PC2,即(t+1)2 = 20,解得 t= 1 + 2 J5或 t= 1 2 瓜此時 M(2, 1 + 2。5)或(2, 12 洞.3綜上可知，存在滿足條件的點M,其坐標(biāo)為(2,萬)或(2, 7)或(2, 1+2寸5)或(2, 1-2 鄧).2 .解：(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c.把A, B, C三點的坐標(biāo)代入，可得ab+c=0,a= 1,16a

6、+4b + c= 0,解得 b=- 3,c= - 4,c= 一 4,，二次函數(shù)的解析式為 y = x2- 3x- 4.(2)存在.如圖，作OC的垂直平分線 DP,交OC于點D,交BC下方的拋物線于點 P,則PO=PC,此時P即為滿足條件的點. C(0, -4),D(0, 2), 點 P 的縱坐標(biāo)為一2.將 y= 2 代入 y= x2-3x-4,可得3 師3 + V17x2-3x-4=- 2,解得x= 一2-(小于0,舍去)或*=一2一，存在滿足條件的點 P,其 、，3+國坐標(biāo)為(一2-, -2).3 .解：(1)證明：當(dāng)k= 0時，函數(shù)為一次函數(shù)，即 y=4x-4,函數(shù)圖象與x軸交于點3(3,

7、 0)；當(dāng)kwo時，函數(shù)為二次函數(shù)，4 c4 c,.(3-3k)2-4kx4)=(3k + 3)2>0,，函數(shù)圖象與x軸有一個或兩個交點.綜上可知，無論k為何值，函數(shù)圖象與 x軸總有交點.(2)母=kx2+(3-3k)x-4,c 4當(dāng) y=0 時，kx2+ (-3k)x-4= 0, 3解得 xi= 3, x2=，如果設(shè)點A的坐標(biāo)為（3, 0）,那么點B的坐標(biāo)為（一左，0）. 3K當(dāng) x=0 時，y= 4,.點C的坐標(biāo)為（0, 4）.當(dāng)3BC為等腰三角形時，點B的坐標(biāo)為（一3, 0）或（一2, 0）或（一看，0）或（8, 0）.4.當(dāng)37= 3 時,3k,4k=9；4.當(dāng)37= 2 時，3

8、k,2 k=3；47 2一=一時3k6k=7；-4/1當(dāng)一豕=8時，k= -6.綜上所述，滿足條件的實數(shù)4 2 81k的值為9, 3, 7， 6.4.解：(1)出(5, 0), C(0,5),c= 5,一 一 解得 _ 0= 25a 30+ c,c= 5,，拋物線的解析式為 y=x26x+5.(2)能. B(5, 0), C(0, 5),直線BC的解析式為y=x+ 5.由題意可知P（t, t2 6t+5）,則H（t, 0）, E（t, t+5）,且BHE為等腰直角三角形,BE=/BH = (5 t). BPE為等腰三角形， ,有 PE=PB, BE = PB 和 BE = PE 三種情況：當(dāng)PE=PB時，由于 PEB = 45° , .PEB為等腰直角三角形，點P在點A處.令 y=0,則 x26x+5=0,解得 xi=1, x2=5, .A(1, 0),即 P(1, 0),符合題意；當(dāng)BE=PB時，由于 PEABH, .HE=HP,即點E與點P關(guān)于x軸對稱，t+5 + t26t+5=0,解得 ti = 2, t2=5(不合題意，舍去),P(2, 3);當(dāng) BE=PE 時，BE=V2(5t), PE=|