1、上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)實驗數(shù)學(xué)實驗尋找最速降線尋找最速降線 數(shù)學(xué)給我們一個用之不竭,充滿真理的寶庫,這些真理不是孤立的,而是以相互密切的關(guān)系并立著,而且隨著科學(xué)的每一成功進(jìn)展,我們會不斷發(fā)現(xiàn)這些真理之間的新的接觸點. C.F.Gauss 數(shù)學(xué)既不嚴(yán)峻,也不遙遠(yuǎn),它和幾乎所有的人類活動有關(guān),又對每個真心對它感興趣的人有益. R.C.Buck 介紹一類最優(yōu)問題的求解新框架-變分方法 連續(xù),多元函數(shù)極值,積分等內(nèi)容提要內(nèi)容提要 回顧微積分有關(guān)知識 復(fù)習(xí)微分方程的求解的解析與數(shù)值方法 最速降線求解的仿真方法 1696年John Bernoulli向他的兄長和其他數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)

2、性地提出了最速降線（捷線）問題:一質(zhì)量為m的質(zhì)點，在重力作用下從定點A沿曲線下滑到定點B，AB試確定一條曲線，使得質(zhì)點由A到B下滑時間最短. 假定B比A低，不計摩擦力和其他阻力等因素. 此問題導(dǎo)致數(shù)學(xué)新分支的產(chǎn)生.背景故事背景故事思考思考 這是一個求最值的問題 與求函數(shù)的極值一樣嗎？ 與求線性規(guī)劃問題中的極值一樣嗎？ 它的數(shù)學(xué)形式怎樣？歷史歷史1697年5月號“教師學(xué)報”接收了5篇解答報告貝努利貝努利 約翰約翰 Bernoulli,Johann 歐洲著名科學(xué)家族 涉獵 微積分、微分方程、解析幾 何、 概率論以及變分法 誰發(fā)現(xiàn) LHospital 法則 歐拉的指導(dǎo)者和老師更貢獻(xiàn)于物理、化學(xué)和天文

3、學(xué) 瑞士的驕傲 問題數(shù)學(xué)形式問題數(shù)學(xué)形式ABxyc), 0 (),(cxxyy設(shè)曲線為滿足 y(0)=0, y(c)=H我們要求的是怎樣的函數(shù)y(x)下滑的時間)(yTT質(zhì)點沿 y=y(x)若使得T(y) 取得最小值minT(y)近似方法近似方法如圖建立坐標(biāo)系,設(shè)A為原點, B為(c,H), 將帶狀區(qū)域直線 y=yk=kH/n 把這區(qū)域ABxycyk-1xk-1ykxk分成 n個帶狀小區(qū)域.在帶狀域yk-1yyk ,可近似認(rèn)為kkgyv2221)()(iiiyxx而曲線段近似認(rèn)為是直線段,其長度 0 y 1e-10s=0;for j=1:nv=sqrt(2*g*j*h);s=s+v/sqrt(

4、1.0-c2*v2);endf=c-G/(h*s);if f0b=c;else a=c;endc=(a+b)/2;i=i+1;endx(1)=sqrt(g*h/2)*c*h/sqrt(1.0-c*c*2*g*h);T=sqrt(x(1)-a)2+h2)/sqrt(2*g*h)for k=2:nv=sqrt(2*g*k*h);x(k)=x(k-1)+c*v*h/sqrt(1.0-c*c*v*v);T=T+sqrt(x(k)-x(k-1)2+h2)/v;end plot(x,-(0.1:h:H),*r)利用數(shù)學(xué)軟件求近似最速降線和最短時間利用數(shù)學(xué)軟件求解得到的曲線再作分析再作分析質(zhì)點要走最快的路線

5、(曲線)，應(yīng)該如何變化？ 依然用從質(zhì)點速度變化的角度考慮設(shè)質(zhì)點從A1經(jīng)直線 l 到達(dá)A2，質(zhì)點速度在l 的上側(cè)為v1，下側(cè)為v2，則質(zhì)點如何運(yùn)動才最省時？A1A212 ClOD如圖,若A1,A2到l 的垂足分為a, b, OD =c, 質(zhì)點經(jīng)過l于C別為O,D, A1,A2 到l的距離分別OC =x 那么質(zhì)點由A1到A2需時間222221)(bxcvxcaxvx222221)(bxcvxcaxvxdxdt惟一駐點滿足也即2211sinsinvv這就是光學(xué)中的 Snell 折射定律A1A212ClODxabcx222122)(vbxcvaxt建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型分析：如圖建坐標(biāo)系，AB 分割

6、成小段, 考慮在第kABxyck+1k層與k +1層質(zhì)點在曲線上的下滑，依能量守恒律，可近似認(rèn)為質(zhì)點在每層內(nèi)的速度不變，于是依輔助結(jié)論知11sinsinkkkkvv注意上式對任何k成立，若用與x 軸平行的直線將ABxyc令平行線的間距趨于零，我們就得到在曲線上任何一點（常數(shù)）1sinCv其中 為該點切線與鉛垂線的夾角故導(dǎo)出（常數(shù)）1sinCvkk導(dǎo)出微分方程導(dǎo)出微分方程gyv2ABxyccottan y又因111cot1sin22y于是得到2212)1 (121CyyCygy一個引理設(shè)集合E0=g(x)C1 g(a) =g(b)=0如果在a,b連續(xù)函數(shù) f(x)滿足那么f (x) 0( ) (

7、 )d0baf x g x x 對g (x) E0 ，總有), 0 (),(cxxyygyv2另一種方法變分法ABxyc設(shè)曲線為滿足 y(0)=0, y(c)=H在曲線上P(x,y）處質(zhì)點速度為又設(shè)從A到P的弧長為s,則221d1ddddd2yxyxsvtttgy從而質(zhì)點沿曲線由A到B需時間2011( )d2cyTT yxyg,Ey)(min) (yTyTEy那么我們的問題成為求某個使得引進(jìn)集合0)(, 0) 0 (, , 0 )(10ccCxE顯然若)( xy是最速曲線函數(shù),則0,)()( E,ExxyR于是函數(shù))()(yTF在0取得最小值故得0d0dF設(shè)集合)(, 0)0(, , 0)(1

8、HcyycCyxyEyygyyf2121),(0( )(,)dcFf yyx那么對0( )(,)(,) dcyyFfyyfyyx 0 (0)( ,)( ,) dcyyFfy yfy yx依復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法注意第二項000d ( ,)d( ,)( ,) ddcccyyyfy yxfy yfy yxx0為了計算)0(F,記的任意性，由d ( ,)( ,)0dyyfy yfy yxyygyyf2121),(d ( ,)( ,)0dyy fy yf y yx上式乘以可化為y 1),(),(Cyyfyyfyy這里滿足方程即 y 00d ( ,)( ,) d0,dcyyfy yfy yxEx于是導(dǎo)出2122

9、1)1 (gCyy注意從降線定義可知,0 y故121)2(1gCC,yCy其中1）可求解析解解法2）也可以用數(shù)值方法，例如歐拉法求解得到方程為由于在原點y = 0 ,可改寫方程0d0dyxyxyCy 求解析解求解析解提示：提示：(sin ),(1cos )xRyR解析解function cycloid(G,H,n)if nargin=2 %兩個參數(shù)則默認(rèn)n為100 n=100;endg=9.8;h=H/n;minc=0;maxc=1/sqrt(2*g*h*n);x=0;y=0; while abs(G-x)1e-4 x=0; c=(minc+maxc)/2; %二分法求c值 for j=1:n

10、 y=j*h; v=sqrt(2*g*y); x=x+c*v*h/sqrt(1-c2*v2); gx(j)=x; gy(j)=y; end最速降線問題仿真方法最速降線問題仿真方法Matlab程序程序if xG %判斷最后一個點與所給點的位置情況 minc=c; else maxc=c; endend T=0;for j=1:n v=sqrt(2*g*j*h); if j=1 s=sqrt(gx(1)2+h2); else s=sqrt(gx(j)-gx(j-1)2+h2); end T=T+s/v;end plot(gx,-gy,*r);Tend取G=H=10，n=100取G=H=10，精確解取G=H=10，仿真方法與精確解實驗任務(wù)實驗任務(wù)1. 分別用數(shù)值方法和解析方法求出的最速降線的曲線和下降時間,將兩種結(jié)果比較2. 在一條直線 l 的上側(cè)有兩個點A,B,試找出一條從A 到B的曲線,使得這曲線繞l 旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)面的面積最小.設(shè)直線l與點A,B在xy 平面，l為x軸，A為(0,（e+e-1)/2), B為(3，(e2+e-2)/2)(設(shè)c=/2, H=1)0(122yzx用曲線連接面上A(0,0,1), B(1,3,0)兩點,求使得AB 弧長最短的曲線(短程線)4. 在第3題中，將曲面改為22yxz求在曲面上連接A(1,0,