1、第第1.11.1節(jié)節(jié) 函數(shù)的概念及基本性質(zhì)函數(shù)的概念及基本性質(zhì)第第1章章 函數(shù)與模型函數(shù)與模型1 1、定義、定義 設(shè)設(shè) 為兩個變量，為兩個變量， 為非空實數(shù)集，若對任意為非空實數(shù)集，若對任意的的 ，變量變量 均按照一定的法則均按照一定的法則 有惟一的值與之有惟一的值與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)，則稱 是是 的函數(shù)（的函數(shù)（function)function)，記作，記作 . . 其中其中 稱為自變量稱為自變量(independent variable)(independent variable)， 的取值范的取值范圍稱為函數(shù)的定義域圍稱為函數(shù)的定義域(domain)(domain)，常記為，常記為 ；

2、稱為因變量稱為因變量(dependent variable)(dependent variable)，與之對應(yīng)的值稱為函，與之對應(yīng)的值稱為函數(shù)值，函數(shù)值的集合數(shù)值，函數(shù)值的集合 稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的值域(range)(range)，常記為常記為 . .DxDxyyx,yyx)(xfy fDxxf )(fDfZxx注注：（1 1）函數(shù)兩要素：定義域、對應(yīng)法則；）函數(shù)兩要素：定義域、對應(yīng)法則； （2 2）函數(shù)表示法）函數(shù)表示法 ：表格法、圖形法、公式法；：表格法、圖形法、公式法； （3 3）單值函數(shù)，多值函數(shù)。）單值函數(shù)，多值函數(shù)。例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的定義域的定義域. .245sin)3l

3、g()(xxxxxf 解解 要使要使 有意義，顯然要滿足：有意義，顯然要滿足：)(xf 0450sin032xxxx)(513為為整整數(shù)數(shù)即即kxkxx 所以定義域為：所以定義域為： ) 3 , 0() 0 , 10, 31 xxxDf注：注：（4 4）函數(shù)定義域的確定：）函數(shù)定義域的確定：（i i）由算式表示的函數(shù)，定義域是自變量所能取的使算式有意義）由算式表示的函數(shù)，定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)組成的集合的一切實數(shù)組成的集合. .（iiii）有實際意義的函數(shù)，根據(jù)實際意義確定）有實際意義的函數(shù)，根據(jù)實際意義確定. .例例2 2 判斷下列函數(shù)是否相同，并說明理由，畫圖表示判斷

4、下列函數(shù)是否相同，并說明理由，畫圖表示. .| xy （1） 與與 （2） 與與2xy 2lgxy xylg2 解解（1 1）相同）相同. .它們的對應(yīng)法則與定義域均相同它們的對應(yīng)法則與定義域均相同. .（2 2）不相同）不相同. .它們的定義域不同它們的定義域不同. .第一個函數(shù)的定義域為第一個函數(shù)的定義域為 , ,而第二個函數(shù)的定義域為而第二個函數(shù)的定義域為 .0 x0 x-2-112x12y-2-112x12y-2-112x-2-11y-2-112x-2-11y 例例3 3 符號函數(shù)符號函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)1-1xyo圖形如上圖。圖形如上圖。值域值域其定義域其定

5、義域,1 , 0 , 1),( fRD例例4 4 取整函數(shù)取整函數(shù) y=y= x x , , x x為任意實數(shù)為任意實數(shù),x x 表示不超過表示不超過x x的最大整數(shù)的最大整數(shù). . 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 -xyo稱稱其其為為階階梯梯曲曲線線。圖圖形形如如右右圖圖，值值域域其其定定義義域域例例如如,),(,13 ,053ZRDf 注注 （5 5）分段函數(shù)）分段函數(shù)例例5 5 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 滿足方程，滿足方程， 求求解解 先先 將換為將換為 再求出的表達式再求出的表達式. . 因為因為 （1 1） （2 2） 聯(lián)立（聯(lián)立（1 1）（）（2 2） 解出解出)(xfxxfxf1

6、)1()(2 )(xfxxfxf1)1()(2 x1xxxfxf )()1(2xxxf32)(2 定義定義 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) ， 如果能從如果能從 中解中解出出 ，則稱，則稱 為為 的反函數(shù)，的反函數(shù)，記作記作)(xfy )(xfy )(xfy )(1yfx 注：（注：（1）反反；的的定定義義域域與與值值域域正正好好相相和和)()(1yfxxfy （2 2）函數(shù)）函數(shù) 的圖形關(guān)于的圖形關(guān)于 直線直線 y=x y=x 對稱對稱 )()(1xfyxfy 與與其其反反函函數(shù)數(shù))(1yfx )(1xfy)( xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)( xy 反反函函數(shù)數(shù) 直接函數(shù)與反函

7、數(shù)的圖形關(guān)于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線 對稱對稱. .xy 例例6 6 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 0,0,1)(2xxxxxfy（1 1）求）求 的表達式、定義域、值域；的表達式、定義域、值域；（2 2）畫出）畫出 與與 的圖形的圖形. .)(1xfy )(xfy )(1xfy 解：解：;0;110)1(2yxxyxyxxyx 得得時時，由由當(dāng)當(dāng)?shù)玫脮r時，由由當(dāng)當(dāng) 0,1,1)(1xxxxxf故故).,(), 1(0 ,( 值域為值域為定義域為定義域為（2 2）圖形為：）圖形為：-2-112x-3-2-1123y三、函數(shù)的基本性質(zhì)三、函數(shù)的基本性質(zhì)1 1、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的單調(diào)性: :,)(DI

8、Dxf 區(qū)間區(qū)間的定義域為的定義域為設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2121時時當(dāng)當(dāng)及及上任意兩點上任意兩點如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間xxxxI )()(21xfxf 恒恒有有則則稱稱函函數(shù)數(shù)）或或,)()(21xfxf .)(減減少少）的的上上是是單單調(diào)調(diào)增增加加（或或單單調(diào)調(diào)在在區(qū)區(qū)間間 Ixf)(xfy )(1xf)(2xfxyoI)(xfy )(1xf)(2xfxyoI2 2、函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的奇偶性: :有有如果對于如果對于關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱的定義域的定義域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(DxDxf ,)()()()(xfxfxfxf （或（或。為偶函數(shù)（或奇函數(shù)）為偶函數(shù)（或奇函數(shù)）則稱則稱)(xf偶函數(shù)偶

9、函數(shù)yx)(xfy ox-x奇函數(shù)奇函數(shù)yxox-x)(xfy A A* *A A)(xf), 0( )(xf)0 ,( 例例7 7 已知已知是偶函數(shù)，且在是偶函數(shù)，且在內(nèi)單調(diào)遞減，內(nèi)單調(diào)遞減，在在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)還是單調(diào)減函數(shù)，內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)還是單調(diào)減函數(shù)，試判斷試判斷并證明你的判斷并證明你的判斷.解解因為因為 是偶函數(shù)，所以是偶函數(shù)，所以)(xf)()(xfxf ), 0( 內(nèi)單調(diào)遞減，內(nèi)單調(diào)遞減，)(xf在在,02121時時當(dāng)當(dāng)及及）上任意兩點）上任意兩點，在（在（xxxx ),()(21xfxf ）內(nèi)是單增的）內(nèi)是單增的，在（在（即即，因此，因此，且且時時當(dāng)當(dāng)及及）上任意兩點）上任意兩點

10、，在（在（0)()()()()(0,0212121212121 xfxfxfxfxfxxxxxxxx3 3、函數(shù)的周期性、函數(shù)的周期性（通常說周期函數(shù)的周期是指最小正（通常說周期函數(shù)的周期是指最小正周期周期）. .,)(Dxf的的定定義義域域為為設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù), l如如果果存存在在一一個個正正數(shù)數(shù))()(xflxf 且且為為周周則則稱稱)( xf.)(,DlxDx 有有使使得得對對于于.)(,的的周周期期稱稱為為期期函函數(shù)數(shù)xfl.恒恒成成立立2l 2l23l 23l 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f f ( (x x) ) 在區(qū)間上在區(qū)間上I I 有定義，如果存在常數(shù)有定義，如果存在常數(shù)M M，使得，使得對任意的對任意的 x x I I ，恒有，恒有4.4.函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性MxyoM（1 1）| |f f ( (x x)|)|00），則稱函數(shù)），則稱函數(shù) f f ( (x x) ) 在在 I I 上有上有界界; ;否則稱函數(shù)否則稱函數(shù) f f ( (x x) ) 在在 I I 上無界上無界. .（2 2）f f ( (x x