1、距離公式的靈活應(yīng)用平面上兩點間的距離公式的推導(dǎo)，其實質(zhì)是將二維空間的長度計算問題轉(zhuǎn)化為一維空間的長度計算問題；點到直線的距離公式的推導(dǎo)，充分利用面積關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合。對于距離公式，既要掌握公式的一些正向運用，同時還要研究它的一些逆用，從而靈活運用距離公式于解題。一、 公式的直接運用例1、已知點P是直線l：3x4y+5=0上的動點，點Q（1，1），求線段PQ長的最小值及取得最小值時點P的坐標。解法一：設(shè)點P（x，），則，故當x=時，=，此時點P的坐標為（，）。解法二：線段PQ長取得最小值時，當且僅當PQl，此時線段PQ長的最小值為點P到直線l的距離，點P坐標為直線PQ 與直線l的交點，即，

2、解得P（，）。評注：解法一巧妙假設(shè)點的坐標，轉(zhuǎn)化為利用兩點間的距離公式，以數(shù)輔形，借助于二次函數(shù)進行研究；解法二數(shù)形結(jié)合，巧妙地將求線段PQ長的最小值轉(zhuǎn)化為點P到直線l的距離，利用求交點的方法，求出了點P的坐標。練習1：已知點P（x，y）在直線上，O是原點，求OP的最小值。解：因為P（x，y）在直線上，所以。，OP的最小值為另解：由OP的最小值即原點O到直線的距離，可直接由得到所求的解。例2、已知點A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求的面積。解：設(shè)AB上的高為h，則由兩點間的距離公式，得因為直線AB的方程為，所以點（-1，0）到的距離為，故評注：利用兩點間的距離公式可求線段長，利用點

3、到直線的距離可求高，從而可求三角形的面積。練習2：求直線上到直線的距離為的點的坐標解：設(shè)為直線上到的距離為的點，則，所以點的坐標為由點到直線的距離公式，得，或所求點的坐標為或二、逆向使用距離公式例2、求函數(shù)的最小值分析：兩點的距離公式是平面解析幾何中最基本的公式根據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)設(shè)點的坐標，利用兩點的距離公式，數(shù)與形相結(jié)合，可以使一些代數(shù)問題得到直觀、形象、簡捷、合理的解答。 解：改變式子的表示的形式：，易聯(lián)想到兩點的距離公式，從而將問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決如圖。在平面直角坐標系內(nèi)，設(shè)點，則，即（其中等號在三點共線時成立），評注：此題若用純代數(shù)知識求解，則比較麻煩，但聯(lián)想到利用兩點的距離公式，就

4、會茅塞頓開代數(shù)問題幾何化是解析幾何的一個重要特點。練習3：如果點P（x，y）在直線3x4y+4=0上，求的最小值及相應(yīng)的x、y的值。解：設(shè)A（3，5）、B（2，15）， 則問題轉(zhuǎn)化為在直線3x4y+4=0上，求點P（x，y）使的最小值。令A(yù)（3，5）關(guān)于直線3x4y+4=0的對稱點為A/（a，b），則有，解得a=3，b=3，故的最小值為，此時點P的坐標可由直線A/B與直線3x4y+4=0的交點求得P（）。例3、已知a，bR，且ab=1，求 (a2)2(b2)2的最小值分析：本題是求二元函數(shù)的最小值問題，可以通過轉(zhuǎn)化，將其化為二次函數(shù)來求解，再聯(lián)系到點到直線的距離，則問題就變得更巧妙解：依題意，設(shè)點M(a，b)在直線l：xy=1上，而(a2)2(b2)2可視為點M到點N(2，2)的距離的平方，由于點N(2，2)到點M(a，b)的距離不小于點N(2，2)到直線l的距離所以，即(a2)2(b2)2的最小值為。評注：在求解某些最值問題時，應(yīng)用點到直線的距離公式，可使抽象問題直觀化，并能簡化解題過程，提高解題速度練習4：滿足，求的最小值解：原式可化為，其幾何意義為兩點和