1、1偏微分方程(Partial Differential Equations)5.二階偏微分方程式例:.t.x2（熱傳導(dǎo)方程式）；：2U;:t22：2U-2x（波動方程式）；：2u（拉普拉斯方程式）設(shè)雙變數(shù)二階 P.D.E 為:-2:ua2:x-2-2U: u2b c2:xy:yL、L、CUCUd e fU = g -x:y(1)其中係數(shù)均為 x、 y 的光滑函數(shù)且 a、 b、c 不同時(shí)為零。假設(shè):0(x, y )則可解得x ,以及x ,，並可得:2U丄c2u2 -2x x(4.a)(4.b)Y u生Qu訥丿+岳喬*肓衣（4.C）22；：2u-+-ex cy斜2 2 - 2ju廠 u；:u+-+

2、-+-2X：y:x：、：:xy(4.d)；：2u；：2u鈔丿j u 一： u_ +_.y：y鈔丿2(4.e)將第(4)式代入第(1)式後可得:；：2u：2uai22bi=cdi-:u點(diǎn)u上yfiu = gi(5)其中:(ct、2=a+ 2b- + c 二 X丿L、rex cy工 y猶釦(吐滬理:護(hù)-a- + b十rxL、exerrl、cy/釵2(亦=a十 2b-+ c exex cyaibi、2dix22b3尹 -:-c2d一e一?r re=a22bc2d e - 厶- -x2L、x y若取:2b-+x:y(6.a)(6.b)c)(6.d)(6.e)(6.f)(6.g)(7.a)3a+ c 二

3、xex工 y2=0(7.b)則可將第(7.a)式改寫為:2b x _0猶fdy(8)令:dy:xdx -:y(9)則可解得:dy _ b b2- acdxa(10)以上，第(9)式或第(10)式稱為特徵方程，相對應(yīng)的積分曲線稱為 特徵再考察的區(qū)域 G 中任取一點(diǎn) P xo,yo，則根據(jù)判別式:二 b2-ac可討論如下(11)(1)若0，則稱為雙曲線型(hyperbolic) P.D.E.?？蓪⒌?5)式改寫-2:一u點(diǎn)二比-:u(12)4若/=0，則稱為拋物線型(parabolic) P.D.E.?？蓪⒌?5)式改寫成,u,(3)若:0，則稱為橢圓型(elliptic) P.D.E,可將第(5

4、)式改寫成-22 =u例：x2ex-22U小y2 =o：y 2A , O uAns:4其中.2. 2:u: u2 2.s:rH3s,r,u,I cscur(14)(15)Ans：u = fif2=fi例：把方程式a = 2af Jex-2:一uL、L、xy-2o ua2yb c u = 0化做標(biāo)準(zhǔn)形式L、x y-2ACuAns:2腫23 衛(wèi)b丄-0a例：把方程式-2u-2-22.x x y：2u-2- 3二3一2yaa2= 0化做標(biāo)準(zhǔn)形式L、L、x -y(13)：22xyu-2:u-2y52C U例：解 Tricomi 方程y2Ex61bac 0（雙曲線型）,mi與為相異實(shí)數(shù)-2-2u : u

5、例：2 =0, u 二 fxygx-y。x：y2b2- ac = 0 （拋物線型），g = m2二 m0為實(shí)數(shù)2 _ 2 2 =,L、 厶L、L、L、 厶Zx x y：y6.只含二階偏導(dǎo)數(shù)的常係數(shù) P.D.E.其標(biāo)準(zhǔn)式為.2. 2u& u2b c2二f x,y(16)當(dāng) f x,y =0 時(shí)稱為齊次式，f x,y =0 時(shí)稱為非齊次式（1）齊次解令 u = f x my，其中 f 為任意函數(shù)，則可得特徵方程式am22bm c = 0(i) b2- ac = 0,則(16)式的通解為(17)比=f x gy g x my(ii) b2- ac = 0,則(16)式的通解為(18)山=f

6、x gy yg x my細(xì)分如下：(19)a；：2u7-2 - 2 - 2；u?。簎；u cufx y ygx y。3b2-ac“0（橢圓型）,g 與 m2為共軛複數(shù)例:(20)8.2一2u: u例：一22=0, u = f x iy g x - iy。excy.2 .2 .2u u u c例：試解-322=0exexeycy特解(I)代定係數(shù)法f (X)Upa二常數(shù)2 2Ax + Bxy + Cy.mxHnyeAemx如cos( mx + ny )Acos mx+ ny)sin( mx+ ny)Asin( mx+ ny)m nx yx，y 之 m+n+2 次之齊次式(II)逐項(xiàng)求解法若可將(

7、16)式因式分解成Ans:u=f(x + y)xJy】i 2丿9cuu令-m2一=v x, y代回上式，則可化簡為xyu : u：y=f x,y(28)10/ r、eVeVra g= f(x, y)、泳紹)求上式特解 V x, y 再代入-m2excy推廣：若雙變數(shù) n 階常係數(shù) P.D.E 為(i)齊次解其特徵方程式為anmnIIIaga。= 0(23)1若(23)式具有 n 個(gè)相異根 m、m2、m.，則(22)式的通解為比=fixmy f2xm2yIII fnx mny(24)2若(23)式具有 k 個(gè)重根 m = m2= Hl = mk=m0，則(22)式的通解為比珂f1(x + m(y

8、)+yf x + m y+川+yk*fk(x+m yd+|H(25)(ii)特解(同前)：4：4：4例：試解雙諧和方程式韋2具 U= 0。n、akk =0-n:u7mZkx :yf x,y(22)(21)v x,y即可求得原式之特解11XQX門 門Ans:f1x iyyf2x iyf3x - iyyf4x-iy(28)127.定解條件和定解問題在偏微分方程是反映某一類物理過程的共同規(guī)律，實(shí)際中提出的物理模型都有特定的”環(huán)境”和”起始狀態(tài)”如弦的微小振動等，這種特定的”環(huán)境”和”初始狀態(tài)”的數(shù)學(xué)表示是就是”邊界條件”和”初始條件”。以弦的振動為例，設(shè)其長度為，其振動規(guī)律 u x,t 滿足一維波傳導(dǎo)方程式。(1)邊界條件第 I 類邊界條件：；u(O,t )= (t)u(f.,i)= f2(i )例如端點(diǎn)固定。第 II 類邊界條件:(27)例如自由端點(diǎn)，張力為零。3第 III 類邊界條件:+ ku彳x=0(26)13+ kuX三例如端點(diǎn)與彈性支座相聯(lián)。(28)14以上的邊界條件可整理為：-f P,t（29）S其中 S 為區(qū)域 G 的邊界面， P 為 S 上的動點(diǎn)， f P,t 為已知函數(shù)，若 f P,t =0，稱邊界條件是齊次的，否則稱為非齊次邊界條件。（2）初始條件所謂的初始條件是指整個(gè)被研究系統(tǒng)的某些初使?fàn)顟B(tài)初始條件和邊界條件統(tǒng)稱為定解條件，對於具