1、APT套利定價理論單因素和多因素模型推導一、單因素模型推導 資本資產(chǎn)定價模型中，證券市場線認為證券的收益率和貝塔系數(shù)存在線性關系，可以將收益率表示成：變形得到：其中， 代表市場上所有證券構(gòu)成的組合，即市場組合。 ()miffiE rrRr (1)miifiE rrR mR 在實際運用中，通常用市場指數(shù)近似代替市場組合，得到證券i的收益率為：同時為了分析的需要，通常對隨機項 做出如下假設：miiiiraR0,0,0iijmiEC O VC O VRi 有了隨機項的這些假設，可以根據(jù)市場模型求出證券i的期望收益率和方差：其中證券i的方差有兩部分構(gòu)成，一是由宏觀因素的不確定性導致的風險 ，相當于系統(tǒng)

2、風險，二是由隨機項帶來的風險 ，相當于非系統(tǒng)風險。( )miiiE raR2222iiM 22iM 2 市場模型中，證券的收益率由市場組合即市場指數(shù)決定，將這個結(jié)論推廣就得到單因素模型。 證券的收益率由某一個經(jīng)濟因素決定，這個因素可以是市場組合的收益率，也可以是其他任何經(jīng)濟因素?？梢院唵斡靡粋€回歸模型來表達這種關系。其中F代表決定爭取收益率的經(jīng)濟因素，對隨機項的假設和市場模型一致。iiiiraF 根據(jù)這些假設條件可以得到任意兩個證券協(xié)方差計算公式：對于由N個證券構(gòu)成的組合P而言，收益率有兩種表達方式，即 和所以組合P的收益率為： 2,ijijijFCOV r r1NpiiiRWRiiiiraF

3、1111() = =NpiiiiiNNNiiiiiiiiipppRW aFWaWFWaF 其中，同時可以推出組合P的方差：公式表明：證券組合的風險也由系統(tǒng)性風險和非系統(tǒng)性風險兩部分組成。111,NNNpipiipiiiiiaW aWW2222ppFp 二、多因素模型的推導 單因素模型假定證券收益率只受一個經(jīng)濟因素的影響，證券之間的協(xié)方差由該因素決定。而多因素指對證券收益率產(chǎn)生的共同影響的因素不止一個，同時模型也沒有明確表明有多少個因素，所以一般表達式為：同樣的進行一些假設：1 122iiiiikkiraFFF 0,0,0,(,)0iijiiijECOVCOVFCOV F F 多因素模型下，證券

4、i的方差為：同時類似單因素模型的推導得到：其中，222222221122()()()iiiikkFFF 1122pppppkkpRaFFF111,(1,2, ),NNNpiipjiijpiiiiiaWaWjnW套利定價理論 套利定價理論認為，套利行為是現(xiàn)代有效市場形成（也就是市場均衡價格形成）的一個決定因素。 套利行為：是指利用同一資產(chǎn)的不同價格來賺取無風險利潤的行為。（在不同市場上商品存在價格差異，利用低買高賣獲取價差收益，這種套利行為會改變市場上商品的供求，最終供求均衡）。 同樣，可以由每個證券的方差：最后需要強調(diào)的是，無論單因素模型還是多因素模型，都不像資本資產(chǎn)定價模型那樣明確指出市場組

5、合這個因素會影響證券收益率。222222221122()()()ppppkkpFFF 三、純因素組合 介紹了單因素和多因素模型，有必要引入純因素組合。所謂純因素組合是指消除了其他因素的影響，只對某一個因素具有敏感性，而且敏感性為1的資產(chǎn)組合。套利定價理論的假設 APT最基本假設就是投資者都相信證券i的收益率會受到k個共同因素的影響。應用多因素模型表示為：1122iiiiinniraFFF 其他假設 APT的限制條件不如CAPM那樣嚴格。APT和CAPM相同的假設包括：投資者具有相同的預期；投資者追求效用最大化；市場是完美的。套利組合 套利組合需要滿足以下三個特征：特征一：套利組合不需要投資者增

6、加任何額外資金。用公式表示為： 表示投資者對證券n的持有量變化。120nxxx nx 特征二：套利組合對任何因素都沒有敏感性。這一特征可以表示為：在存在多個影響因素的情況下，可以表示為： 同時為了滿足特征1和2的解，要求 。0jp11122111122222112200 0nnnnkknnkxxxxxxxxx n k 特征三；套利組合的期望收益率必須為正值。公式表示為： 當一個組合可以同時滿足上述三點要求時，該組合就是一個套利組合。當市場給出了期望收益率和敏感性的時候，利用同時特征一和特征二可以得到無窮多個滿足上述特征一和特征二的組合。最后利用特征三來檢驗。如果期望收益率可以大于0，則是套利組

7、合。 11220nnx E rx E rx E r套利定價模型 假設一個組合中有三種證券，并且滿足套利定價組合，加入證券1和證券2收益率高，而證券3收益率低。由于每個投資者必定買入證券1和證券2并賣出證券3，屆時他們的期望收益率做出相應的調(diào)整。具體來說由于不斷增加的買方壓力，證券1和證券2的價格將上升，進而導致期望收益率的下降，相反證券3的價格下降和期望收益率上升。 這種買賣行為將持續(xù)到所有套利機會明顯減少或者消失為止。而此時，期望收益率和因素風險之間將近似買足如下的線性關系（假定單因素模型）： （11）其中 和 為常數(shù)，意味著，期望收益率和因素敏感性之間存在線性關系。 01iiE r 01

8、對套利定價中的 和 的解釋：假設存在一項無風險資產(chǎn)，這樣的資產(chǎn)具有一個為常數(shù)的期望收益率，因而對因素無敏感性。從 可以看出，對任何 的資產(chǎn)均有 。因此對于無風險資產(chǎn)又有 ?？梢?，方程中的常數(shù) 一定等于 ，從而該方程可改寫為： （12）就 而言，可以考察一個純因素組合，用 表示，意味著 =1.0，從而得出 的值。0101iiEr 0i 0iE r ifE rr0fr 1ifiE rr 1*P*p1 于是 稱為單位敏感性的組合的期望超額收益率（即表示高出無風險利率的那部分期望收益率），也被稱作因素風險溢價。用表示對因素有單位敏感性的組合的期望收益率，則可以得到： 則套利定價的第二種形式為：*1fpE rr*1fpErr1 *1pE r11fr 1()iffiE rrr 對套利定價模型進一步擴展，可以考察證券收益率有多個因素生成的情形，即多因素模型的情形：因此，證券的期望收益率等于無風險利率加上證券對K個因素敏感性的風險溢價。 1122