1、.興趣數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)教你玩轉(zhuǎn)各類魔方魔方大概是如今最有影響力的智力游戲了，它是一個(gè)3×3×3的正方體，初始狀態(tài)下每個(gè)面的9個(gè)方格都涂上同樣顏色，6個(gè)面一共6種顏色。作為一個(gè)智力游戲，它的目的就是將任意擰亂的魔方盡快復(fù)原為每面所有小方格同色的初始狀態(tài)。為了贏得比賽，大家都致力于找到更快的魔方復(fù)原方法。大概一年前，Google的一幫人驗(yàn)證了任意擰亂的魔方可以在20步內(nèi)復(fù)原。但是，一般人要在20步內(nèi)復(fù)原任意魔方的話，就要記住一個(gè)碩大無比的表格大約8EB，一EB大約是一百萬TB，這東西只有擁有全知全能的上帝及其類似物比方說團(tuán)長(zhǎng)、春哥或者高斯才能做到，所以20這個(gè)數(shù)又

2、被稱為魔方的“上帝之?dāng)?shù)。魔方當(dāng)然不只有一種。最簡(jiǎn)單的變化方法就是將魔方的“邊長(zhǎng)或者叫階數(shù)變大。原版的魔方是3階的，也就是3×3×3的立方體。我們可以擴(kuò)展到4階4×4×4，5階，一直到7階，甚至有人目睹過11階的魔方。魔方的階數(shù)越大，解起來也越復(fù)雜，需要的步數(shù)也越多，它們的上帝之?dāng)?shù)也越大而且越難計(jì)算。如今，一幫在MIT的由Erik Demaine領(lǐng)銜的數(shù)學(xué)家，竟然說他們找到了任意階數(shù)魔方的上帝之?dāng)?shù)，而且還給出了一個(gè)復(fù)原的算法，需要的步數(shù)與上帝之?dāng)?shù)相差不遠(yuǎn)!我們?nèi)缃窬蛠砜磦€(gè)終究。怎么轉(zhuǎn)都轉(zhuǎn)不出那24個(gè)陷阱初看起來，魔方

3、每個(gè)面可以擰得千變?nèi)f化，讓人無從捉摸。然而對(duì)于魔方面上涂色的小方塊來說，它們可去的地方并不多假設(shè)我們能做的操作就是將魔方的某排擰動(dòng)90度。無論魔方被如何擰動(dòng)，圖中所示的小色塊一共只能到達(dá)最多24個(gè)位置。我們把這些位置稱作一個(gè)位置群。一個(gè)n階的魔方，不算邊角上的色塊，只有大約n-2²/4個(gè)位置群。這些位置群都是互相獨(dú)立的。要復(fù)原魔方，就相當(dāng)于要將所有位置群復(fù)原。Demaine從玩魔方的人們那里理解到，有標(biāo)準(zhǔn)的手法可以單單將一個(gè)位置群內(nèi)的小色塊復(fù)原，而不影響別的位置群的色塊。這就是為什么我們說這些位置群是獨(dú)立的。而因?yàn)槊總€(gè)位置群內(nèi)色塊的數(shù)目都是固定的不多于24個(gè)，所以要復(fù)原一個(gè)位

4、置群里的所有色塊，只需要固定步數(shù)的操作。這些知識(shí)，魔方社區(qū)早就一清二楚。但是，假如單靠這種方法來解n階魔方的話，因?yàn)橹辽儆衝-2²/4個(gè)位置群，所以用這種方法復(fù)原魔方需要的步數(shù)大約與n²成正比。有沒有可能用更少的步數(shù)復(fù)原魔方呢?復(fù)原所有魔方的步數(shù)有沒有下限呢?上帝之?dāng)?shù)不能太小為了方便，我們記n階魔方的上帝之?dāng)?shù)為Dn。他們首先證明了，對(duì)于足夠大的n，Dn不能太小，至少是c×n²/lnn，其中c是一個(gè)常數(shù)。這個(gè)計(jì)算并不太難，我們就一起來試試看。對(duì)于足夠大的n，我們大約有n²/4個(gè)位置群，它們各自有24個(gè)不同

5、位置的小色塊。在這24個(gè)色塊中，6種顏色分別各有4個(gè)，這是初始狀態(tài)決定的。用一點(diǎn)簡(jiǎn)單的組合知識(shí)就可以知道，我們一共有24!/4!?種方法打亂一個(gè)位置群中的色塊。因?yàn)槲恢萌褐g是獨(dú)立的，所以魔方至少有 24!/4!? n-2²/4 種不同的打亂方式還沒算邊角排列的各種可能性。由上帝之?dāng)?shù)的定義，我們可以在Dn步內(nèi)將任意魔方復(fù)原。假如我們將這些復(fù)原的步驟倒過來操作，這其實(shí)就意味著我們可以用至多Dn步將魔方打亂到所有可能的打亂方式。每一步我們有6n+1種操作，每次操作就是將某一排擰上90度，另外復(fù)原后舉起魔方夸耀然后被打倒在地踩上一萬只腳也算一次操作，可以爬起來然后屢次重復(fù)這項(xiàng)操作。

6、所以魔方至多有 6n+1 Dn 種打亂方式，因?yàn)槟承┫盗胁僮鲿?huì)導(dǎo)致同樣的打亂結(jié)果。我們就有了以下的不等式：從這個(gè)不等式我們可以得到：當(dāng)n趨向于無窮大的時(shí)候，上面那個(gè)看起來很復(fù)雜的量就跟 c×n²/lnn 差不多了，其中c大約是35.7164。可能我們做不到在 c×n²/lnn 步內(nèi)復(fù)原任意的n階魔方，但是能不能提出一種方法，即使復(fù)原的步數(shù)稍多一點(diǎn)，但是起碼增長(zhǎng)速度跟 n²/lnn 一樣呢?互搭便車的暴力復(fù)原方法可能是經(jīng)濟(jì)危機(jī)中人們的各種節(jié)省方式拼車之類的啟發(fā)了Demaine，他想，雖然位置群之間是互相

7、獨(dú)立的，但是也答應(yīng)以將不同位置群的復(fù)原操作兼并起來，一次擰動(dòng)同時(shí)解決多個(gè)位置群的問題。假如說原來的復(fù)原方法是每個(gè)位置群各自為政，各自擁有一條復(fù)原線路的話，Demaine他們的方法就相當(dāng)于建起了一條公交線路，一次將多個(gè)位置群送到此岸。利用這個(gè)方法，他們給出了一個(gè)算法，可以在c'×n²/lnn步內(nèi)復(fù)原任意的n階魔方。在這里c'是另一個(gè)常數(shù)，它比c大得多。本來筆者想在這里描繪一下證明過程，但無奈這個(gè)證明過于暴力，打上R-18也不為過，所以筆者也不好說太細(xì)，想詳細(xì)欣賞的重口味同學(xué)請(qǐng)上 arXiv 看現(xiàn)場(chǎng)。這里筆者只能寫意地描繪一下。

8、證明過程中最重要的引理之一是，對(duì)于某些特定的k×m個(gè)位置群，要復(fù)原它們中被打亂方式一樣的位置群，按照傳統(tǒng)的方法平均需要的步數(shù)正比于k×m，但我們可以建一條公交線路，只用正比于m+k的步數(shù)就可以將這些位置群一下子全部解決，代價(jià)是一些別的位置群“躺著也中槍，不知不覺就被改變了。然后，在一些必要的預(yù)處理比方說先解決邊角問題后，Demaine他們將魔方的所有位置群大約平均地分成n/4份，通過巧妙地應(yīng)用上面的引理，使每次中槍的都是固定的幾個(gè)位置群。當(dāng)所有其它的位置群都被復(fù)原后，剩下滿身彈孔認(rèn)識(shí)QB的同學(xué)請(qǐng)自行腦補(bǔ)的“中槍專用位置群數(shù)目也不多，可以用傳統(tǒng)的方法一個(gè)一

9、個(gè)解決。整個(gè)過程所需要的步數(shù)，恰好差不多正比于 n²/lnn ，與最優(yōu)的可能性只差一個(gè)乘法常數(shù)。這種過于暴力的方法，也是使常數(shù)c'變得很大的原因之一?？赡苣銜?huì)說筆者太坑爹，那些常規(guī)方法需要的步數(shù)，增長(zhǎng)趨勢(shì)也只是 n²，也就是說最多是另一個(gè)常數(shù)乘以 n²。我們?nèi)缃襁@么費(fèi)力也就是削下來了一個(gè) lnn 的因子，這個(gè)看起來沒什么用啊。但不要小看 lnn。常數(shù)畢竟是常數(shù)，它是不會(huì)變的，但是 lnn 可以無限增長(zhǎng)。當(dāng) n 不斷增長(zhǎng)，總有一天 lnn 會(huì)比任何常數(shù)都要大，n² 會(huì)比 n²/lnn 大得多

10、。那么，Demaine他們的工作意義是什么呢?他們其實(shí)證明了任意 n 階魔方的上帝之?dāng)?shù) Dn 的增長(zhǎng)趨勢(shì)與 n²/lnn 是一樣的。更詳細(xì)地說，盡管我們?nèi)缃袢匀徊恢繢n的詳細(xì)表達(dá)式可能永遠(yuǎn)也不會(huì)知道，但它必定在 c×n²/lnn 和 c'×n²/lnn 之間。用數(shù)學(xué)的語言來說，我們第一次確定了任意n階魔方上帝之?dāng)?shù)的階，第一次將它困在了一個(gè)區(qū)間里。這是萬里長(zhǎng)征第一步，之后我們可以進(jìn)展更精細(xì)的分析，縮短兩個(gè)常數(shù)的間隔 ，更好地確定上帝之?dāng)?shù)的位置。這也是Demaine他們下一步打算做的事情

11、。要練說，先練膽。說話膽小是幼兒語言開展的障礙。不少幼兒當(dāng)眾說話時(shí)顯得害怕：有的結(jié)巴重復(fù)，面紅耳赤；有的聲音極低，自講自聽；有的低頭不語，扯衣服，扭身子?？傊?，說話時(shí)外部表現(xiàn)不自然。我抓住練膽這個(gè)關(guān)鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語言交流關(guān)系。每當(dāng)和幼兒講話時(shí)，我總是笑臉相迎，聲音親切，動(dòng)作親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動(dòng)的、無拘無束地和我交談。二是注重培養(yǎng)幼兒敢于當(dāng)眾說話的習(xí)慣。或在課堂教學(xué)中，改變過去老師講學(xué)生聽的傳統(tǒng)的教學(xué)形式，取消了先舉手后發(fā)言的約束，多采取自由討論和談話的形式，給每個(gè)幼兒較多的當(dāng)眾說話的時(shí)機(jī)，培養(yǎng)幼兒愛說話敢說話的興趣，對(duì)一些說話有困難的幼兒，我總是認(rèn)真

12、地耐心地聽，熱情地幫助和鼓勵(lì)他把話說完、說好，增強(qiáng)其說話的勇氣和把話說好的信心。三是要提明確的說話要求，在說話訓(xùn)練中不斷進(jìn)步，我要求每個(gè)幼兒在說話時(shí)要儀態(tài)大方，口齒清楚，聲音響亮，學(xué)會(huì)用眼神。對(duì)說得好的幼兒，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表揚(yáng)，并要其他幼兒模擬。長(zhǎng)期堅(jiān)持，不斷訓(xùn)練，幼兒說話膽量也在不斷進(jìn)步。與當(dāng)今“老師一稱最接近的“老師概念，最早也要追溯至宋元時(shí)期。金代元好問?示侄孫伯安?詩云：“伯安入小學(xué)，穎悟非凡貌，屬句有夙性，說字驚老師。于是看，宋元時(shí)期小學(xué)老師被稱為“老師有案可稽。清代稱主考官也為“老師，而一般學(xué)堂里的先生那么稱為“老師或“教習(xí)?？梢姡袄蠋熞徽f是比較晚的事了。如今體會(huì)，“老師的含義比之“老師一說，具有資歷和學(xué)識(shí)程度上較低一些的差異。辛亥革命后，老師與其他官員一樣依法令任命，故又稱“老師為“教員。這個(gè)結(jié)果在魔方界也引起了不少人的興趣。據(jù)某些魔方高手所言，Demaine他們的“差一個(gè)常數(shù)最優(yōu)的算法過程，對(duì)他們探究解高階魔方的快速方法相當(dāng)有啟發(fā)，只是觀摩已經(jīng)滿足不了他們了。語文課本中的文章都是精選的比較優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。假如有選擇循序漸進(jìn)地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對(duì)進(jìn)步學(xué)生的程度會(huì)大有裨益。如今,不少語文老師在分析課文時(shí),把文章解體的支離破碎,總在文章的技巧方面下功夫。結(jié)果老師費(fèi)力,學(xué)生頭疼。分析完之后,學(xué)生收效甚微,沒過