1、數(shù)學(xué)信息遷移題求解例說湖北省谷城縣第一中學(xué)高金銘（ 441700 ）所謂信息遷移題，就是在新的情境下給出一定容量的新信息，要求考生以已有的知識(shí)為基礎(chǔ)進(jìn)行解答的一類問題.求解這類問題，需要首先閱讀材料、理解題意,將新信息編譯為已知的數(shù)學(xué)模型,實(shí)現(xiàn)信息的遷移 ,再根據(jù)所掌握的知識(shí)使問題獲得解決.近幾年，信息遷移題在各地測試題及高考題中屢次出現(xiàn).本文通過實(shí)例試作分析，以期對(duì)考生有所啟發(fā).例 1（ 2002 年京、皖春季高考題）對(duì)于任意兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=x 1+y 1 i , z2=x 2+y2 i(x1、y 、 x 、 y為實(shí)數(shù) )，定義運(yùn)算“”為：z z=x x +yy .設(shè)非零復(fù)數(shù) w1 、 w2

2、在復(fù)122121212平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P1、P2，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn) .如果 w1 w2 =0 ，那么在 P1 OP2 中，P1OP2 的大小為 _.分析：定義新運(yùn)算，是信息遷移題中的基礎(chǔ)題型 .這類問題，可以考察考生接受、理解新信息等繼續(xù)學(xué)習(xí)所需的能力，培養(yǎng)學(xué)生不斷鉆研、勇于探索、敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神 .解答這類問題，只需“按圖索驥”，搞清新運(yùn)算、新符號(hào)的含義，將題中的新運(yùn)算化為我們已經(jīng)熟知的老運(yùn)算即可. 此題根據(jù) z1 z2=x1x2+y 1y2 及 w1 w2 =0 立即可得 P1OP2.2例 2（ 2001年上海春季高考題）若記號(hào)“”表示兩個(gè)實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的運(yùn)算，即 a b= ab

3、 ，則兩邊均含有“”和“+”，且對(duì)于任意 3個(gè)實(shí)數(shù) a,b,c 都2能成立的一個(gè)等式可以是 _.分析：需要理解 a b 的含義 .注意含有“”和“ +” 且對(duì)于任意3 個(gè)實(shí)數(shù) a,b,c都能成立的等式并不唯一，可以是a (b c)=(a+b ) (a+c )、 (a b)+c=a c+b c、a (b+c )=b( a+c )=c (a+b )等 .例 3 （ 2001 年全國高考題）如圖， 小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)， 結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A 向結(jié)點(diǎn)B 傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時(shí)傳遞則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量

4、為A 26B 24C 20D 19分析：這是一道設(shè)計(jì)新穎的高考題，運(yùn)算量不大，重在分析.此題反映出信息高速公路的傳輸情況，考察了考生隨機(jī)應(yīng)變的能力.問題類似于電學(xué)中的串、并聯(lián)電路.仔細(xì)閱讀題目，聯(lián)想到“木桶盛水的多少取決于最短的一塊木板”或“高速公路汽車并行”的實(shí)際，便能得出單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為3+4+6+6=19.從上面幾例可以看出，解答信息遷移題的基礎(chǔ)是閱讀理解.適當(dāng)進(jìn)行聯(lián)想、 類比，即轉(zhuǎn)換問題背景、搞清問題相當(dāng)于我們熟知的什么問題，在解答信息遷移題中顯得也很重要 .例 4（ 1999 年普通高校招收保送生綜合能力測試題）現(xiàn)有流量均為300 m3/ s的兩條河流A 、 B匯合于某處

5、后，不斷混合，它們的含沙量分別為2 kg / m3 和0.2 kg / m3.假設(shè)從匯合處開始，沿岸設(shè)有若干觀測點(diǎn)，兩股水流在流經(jīng)相鄰的兩個(gè)觀測點(diǎn)的過程中，其混合效果相當(dāng)于兩股水流在1 秒鐘內(nèi)交換100 m3 的水量，即從A股流入B 股100 m3 水，經(jīng)混合后，又從B 股流入A 股 100 m 3 水并混合.問：從第幾個(gè)觀測點(diǎn)開始，兩股水的含沙量之差小于0.01 kg / m 3 （不考慮泥沙沉淀）？分析：溶液配制問題是考生熟悉的問題.將“流量均為300 m3 / s ，含沙量分別為2 kg / m3 和 0.2 kg / m3 的兩條河流A 、B ”視為“盛有 300 m3 ，濃度分別為2

6、 kg / m 3和 0.2 kg / m3 的兩個(gè)容器 A 、 B”，“河流混合一次”即“溶液配制一次” ，“從第幾個(gè)觀測點(diǎn)開始，兩股水的含沙量之差小于0.01 kg / m3 ”即為“從第幾次操作開始，兩種溶液的濃度之差小于0.01 kg / m3 ”.這樣， 就將一個(gè)新情境下的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)我們熟知的問題了.解：設(shè)經(jīng)過第k 個(gè)觀測點(diǎn)處A 、 B兩股河流的含沙量分別為ak kg / cm3 和bk kg / cm 3 ，則有a12 ， b10.2 .b k100 a k 1300 b k 1 1a k 13bk 1 (k 2 ).40044a k1100 )1100 a k1 300 bk

7、 1100 )31(200 a k 1 bk300( 200 a k 1400a k 1b k 1 ,30044則 a k b k1 ( a k 1b k 1) ,則 akbk 為首項(xiàng) a1b11.8 ，公比為1 的等比數(shù)列 .22因此， a kbk1 .8(1) k 1 .從而有 1 .8(1) k 10.01 ，22即( 1 ) k 11, k1lg 180112 lg 37 .4 即 k8.42180lg 2lg 2故從第 9 個(gè)觀測點(diǎn)開始，兩股水的含沙量之差小于0.01 kg / m3.例 5（ 2000年上海高考題）根據(jù)指令(r ,)(r0,180180 ) ，機(jī)器人在平面上能完成下

8、列動(dòng)作：先原地旋轉(zhuǎn)角度（為正時(shí)，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，為負(fù)時(shí)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)），再朝其面對(duì)的方向沿直線行走距離r .（ 1）現(xiàn)機(jī)器人在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，且面對(duì) x 軸正方向，試給機(jī)器人下一個(gè)指令，使其移動(dòng)到點(diǎn)（ 4， 4） .（ 2）機(jī)器人在完成該指令后， 發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)（ 17，0）處有一小球正向坐標(biāo)原點(diǎn)作勻速直線滾動(dòng)，已知小球滾動(dòng)的速度為機(jī)器人直線行走速度的2 倍，若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，問機(jī)器人最快可在何處截住小球？并給出機(jī)器人截住小球所需的指令 （結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位） .分析：雖然本題的背景來源于高科技，但閱讀完此題，相信大多數(shù)考生都會(huì)聯(lián)想到極坐標(biāo)的概念或復(fù)數(shù)的模與輻角主值 .

9、 將新情境轉(zhuǎn)化為我們熟知的情境，將情景語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，建立合理的數(shù)學(xué)模型，將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，此題也就迎刃而解了 .解：（ 1）4 2,45 ，得指令為 (4 2 ,45 ) .r（2）設(shè)機(jī)器人最快在點(diǎn)P( x,0) 處截住小球， 則因?yàn)樾∏蛩俣仁菣C(jī)器人速度的2 倍，所以在相同時(shí)間內(nèi)有 |17x |2(x 4)2(04)2，即 3x 22 x161 0，得 x23或 x 7 ，3要求機(jī)器人最快地去截住小球，即小球滾動(dòng)距離最短，x 7 ，故機(jī)器人最快可在點(diǎn)P(7,0) 處截住小球，所給的指令為(5, 98.13 ) .近幾年來，一些具有現(xiàn)代科技背景的試題頻頻出現(xiàn)于滬、京高考題及平時(shí)測試題中

10、，這是一個(gè)值得注意的動(dòng)向 .如下兩例是與計(jì)算機(jī)語言有聯(lián)系的例子：例 6（ 2001 年上海高考題）對(duì)任意函數(shù)f ( x), xD , 可按如圖所示構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：輸入數(shù)據(jù)x0D ,經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出x1f (x0 ) ；若x1D ,則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若 x1D ，則將x1反饋到輸入端，再輸出x2f ( x1 ) ，并依此規(guī)律繼續(xù)下去 .現(xiàn)定義4x2f ( x).x149 xn ，(1)若輸入 x0，則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列65請(qǐng)寫出數(shù)列 xn 的所有項(xiàng)；（ 2）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)無窮的常數(shù)數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù) x0 的值；（ 3）若輸入 x0 時(shí)，產(chǎn)生的無窮數(shù)列 x

11、n 滿足： 對(duì)任意整數(shù) n ，均有 xnxn 1 ，求 x0 的取值范圍 .分析：本題以“循環(huán)語句”結(jié)合流程圖的形式，說明了如下事實(shí)： 已知函數(shù)f (x)及其定義域D ，若數(shù)列中的某一項(xiàng)xiD , 則按 xi 14xi2f ( xi ) 即 xi 1繼續(xù)產(chǎn)xi1生數(shù)列中的項(xiàng)，否則結(jié)束任務(wù).此題以計(jì)算機(jī)語言為載體，給出了數(shù)列的遞推關(guān)系.解：（ 1） f (x) 的定義域 D(, 1)( 1,) ，數(shù)列 xn 只有三項(xiàng)：x1 11 , x21 , x31.1954x 2（ 2） f ( x)x ，即 x23x 2 0,x 1或 x 2 .x1即當(dāng) x0 =1 或 2 時(shí)， xn 14xn2xn .

12、xn1故當(dāng) x0=1 時(shí)， xn1；當(dāng) x0 =2 時(shí)， xn2(nN ).（ 3）解不等式x4x21或1x 2 ，x得 x1要使 x1x2 ，則 x11或1 x12.4x26，若 x11,則 x2f (x1 ) 4,對(duì)于函數(shù) f (x)14xx1x3 f ( x2 ) x2 .若 1 x12 ，則 x2f ( x1 )x1 且1 x22 ，依此類推，可得數(shù)列 xn 的所有項(xiàng)均滿足xnxn 1 ，此時(shí) 1 x02 .綜上所述，x0 的取值范圍是（1， 2） .例 7 （ 2002 年 5 月北京海淀期中練習(xí)）這是一個(gè)計(jì)算機(jī)程序的操作說明：（ 1）初始值 x=1， y=1 ， z=0， n=0；

13、（ 2） n=n+1（將當(dāng)前 n+1 的值賦予新的 n）；（ 3） x=x+2（將當(dāng)前 x+2 的值賦予新的 x）；（ 4） y=2y（將當(dāng)前 2y 的值賦予新的 y）；（ 5） z=z+xy（將當(dāng)前 z+xy 的值賦予新的 z）；（ 6）如果 z 7000，則執(zhí)行語句（ 7），否則回語句（ 2）繼續(xù)進(jìn)行；（ 7）打印 n，z；（ 8）程序終止 .由語句（ 7）打印出的數(shù)值為，.以下寫出計(jì)算過程：分析：理解了初始值n=0 ， n=n+1 （將當(dāng)前n+1 的值賦予新的n）的含義即遞推關(guān)系 N0 1,Nn Nn 11后（其余類似理解） ，結(jié)合如下表格， 再解此題也就水到渠成了 .執(zhí)行程序次數(shù)nxy

14、z11323 2225223 25 2 2337233 25 227 23nn2n+12n23n32 527 2(2n 1) 2解：設(shè) n=i 時(shí)， x， y， z 的值分別為 xiii， y ， z.依題意 ,x01,xnxn 12, xn 是等差數(shù)列 ,且 xn=2n+1.y0 1, yn2yn1. yn 是等比數(shù)列，且yn2n ， z00, znzn 1xn yn ，znx1 y1x2 y2xn yn3 25227 23(2n1)2n2zn3 225 237 24(2n 1) 2 n( 2n 1) 2n 1以上兩式相減，得 zn3 2 2 222 232 2n(2n 1) 2n 1=2n+2+2+ （ 2n+1）2n+