1、第九章 非線性控制系統(tǒng)一、填空選擇題（每題2分）1非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與下列（ D ）因素有關(guān)。A 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù) B初始條件C輸入信號(hào)大小DA、B、C、2非線性系統(tǒng)自持振蕩是與-有關(guān)。A系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù) B初始條件C輸入信號(hào)大小DA、B、C、3非線性系統(tǒng)自持振蕩中的振幅和頻率是由- 系統(tǒng)本身的特性-決定的，4相平面法適用于-一、二-階非線性系統(tǒng)，描述函數(shù)法適用于任意-階非線性系統(tǒng)。5系統(tǒng)中有二個(gè)非線性元件串聯(lián)，其描述函數(shù)分別為N1、N2，則合成的描述函數(shù)必是（ D ） AN1/N2 BN1*N2 CN1+N2 D需重新分析計(jì)算6系統(tǒng)的-1/N和G（jw）如圖，在A和B處產(chǎn)生了自持振蕩，分析其穩(wěn)定

2、性，A點(diǎn)是-不穩(wěn)定-的，B點(diǎn)是-穩(wěn)定-的7非線性系統(tǒng)的相軌跡在相平面的上半部，其走向是從左-向右-方向運(yùn)動(dòng)，而在相平面的下半部則從右-向-左-運(yùn)動(dòng)。8相軌跡的對(duì)稱性是指其曲線可能對(duì)稱于-，-，或-坐標(biāo)原點(diǎn)-；正交性是指與-x-軸正交。9已知非線性系統(tǒng)的微分方程是：，則奇點(diǎn)位置是-。10已知非線性系統(tǒng)的微分方程是：，則奇點(diǎn)性質(zhì)是-。11極限環(huán)把相平面分為內(nèi)外二部分，相軌跡-不能-（填能或不能）從環(huán)內(nèi)穿越極限環(huán)進(jìn)入環(huán)外，-不能-（填能或不能）從環(huán)外穿越極限環(huán)進(jìn)入環(huán)內(nèi)。12已知非線性系統(tǒng)的微分方程是：，則奇點(diǎn)性質(zhì)是（ A ）。A、穩(wěn)定節(jié)點(diǎn) B、穩(wěn)定焦點(diǎn) C、鞍點(diǎn) D、中心點(diǎn)1 D2 A3 系統(tǒng)本身的

3、特性4 一、二，任意5 D6 不穩(wěn)定，穩(wěn)定7 左，右，右，左8 X， 坐標(biāo)原點(diǎn)，x9 坐標(biāo)原點(diǎn)10穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)11不能12A二、綜合計(jì)算題a1.（12分）二階阻尼系統(tǒng)： ，試用等傾斜線法繪制系統(tǒng)相軌跡。解：由 得到等傾斜線方程： 。如 ，則 。 3在相平面上作出這些等傾線，并在這些等傾線上作出對(duì)應(yīng)相軌跡的斜率 的短線段，光滑連接短線段即得到相軌跡。 9a2.（12分）已知， ， ，試用 法作出其相軌跡。解：取 ，則 在初始點(diǎn)， ： ， ，作圓弧 。 3然后確定相軌跡上的點(diǎn)A2，以該點(diǎn)坐標(biāo)為新起點(diǎn)，計(jì)算新的圓弧A2A3的圓心和半徑：A2（0.98,-0,2）： ， ，依此可作出相軌跡。有時(shí)為提高作圖

4、精度， 的中間位置作為新起點(diǎn)，然后按本法畫出相軌跡。 9b1.（12分）非線性系統(tǒng)： ，求系統(tǒng)奇點(diǎn)，作相軌跡圖并分析系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)解：（1）求奇點(diǎn)。由：求得相軌跡的奇點(diǎn)分別為：（0，0）和（2，0）。 2（2）在奇點(diǎn)（0，0）處泰勒級(jí)數(shù)展開： 。二個(gè)根為-0.25+j1039,-0.25-j1.39,故此奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。 2 （3）分析在奇點(diǎn) 處泰勒級(jí)數(shù)展開，令 ，由 ， ，二個(gè)根為1.19,-1.69,因此 奇點(diǎn)為鞍點(diǎn)。 2 當(dāng)初始條件為（2.2,0.5）時(shí)，系統(tǒng)的相軌跡如圖。 4初始條件不同，相軌跡或趨于原點(diǎn)，或趨于無窮遠(yuǎn)，系統(tǒng)分別為穩(wěn)定或不穩(wěn)定，即系統(tǒng)的穩(wěn)定性與其初始條件有關(guān)。 2b2.

5、（12分有一非線性控制系統(tǒng)如圖所示，令 。討論下面情況下的 相軌跡：當(dāng)輸入信號(hào)為階躍信號(hào) ，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零；解：首先根據(jù)控制系統(tǒng)框圖，設(shè)法得到各分區(qū)的線性方程。由得到： 將 代入方程，有： 2式中 、 為飽和非線性的輸出。根據(jù)飽和非線性的輸入輸出特性，可將相平面分為：正飽和、負(fù)飽和以及線性區(qū)域，如圖1。 2 圖1當(dāng)輸入信號(hào) 時(shí)， ，則各區(qū)域上的線性方程： 3當(dāng)輸入信號(hào)為階躍信號(hào) ，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零；在正、負(fù)飽和區(qū)域根軌跡是 相線根軌跡，而在線性區(qū)，由于參數(shù)均大于0，奇點(diǎn)可能是穩(wěn)定焦點(diǎn)或穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)，位于相平面的原點(diǎn)，系統(tǒng)的初始狀態(tài) ，因此可粗略畫出其相軌跡如圖2。5圖2輸入為階躍信

6、號(hào)的相軌跡b3.(12分) 具有飽和非線性的控制系統(tǒng)如圖所示，已知飽和非線性特性的描述函數(shù)為試求。(1) K=15時(shí)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。若有自持振蕩產(chǎn)生，求其頻率和振幅（其中振幅只要求列出表達(dá)式即可）。(2) 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定地工作，不出現(xiàn)自振蕩，K的臨界穩(wěn)定值是多少。題1非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖解：飽和非線性特性的描述函數(shù)已知，其中k=2，s=1，于是起點(diǎn)X=1時(shí)，-1/N(x)=-0.5。當(dāng)X¥時(shí)，-1/N(X)= -¥，因此-1/N(X)曲線位于-0.5 -¥這段負(fù)實(shí)軸上。 題1系統(tǒng)的G(jw)和-1/N(X)曲線系統(tǒng)線性部分的頻率特性為： 2令I(lǐng)mG(jw)=0即1

7、-0.02w2=0，得G(jw)曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的頻率為： 2代ReG(jw)，可求得G(jw)曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為： 2(1) 將K=15代入上式，得ReG(jw)= -1。圖中繪出了K=15時(shí)的G(jw)曲線與-1/N(A)曲線，兩曲線交于（-1，j0）點(diǎn)。顯然，交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是下一個(gè)穩(wěn)定的自振蕩，根據(jù)交點(diǎn)處的幅值相等，即： 求得與交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的振幅X=2.5。因此當(dāng)K=15時(shí)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為自振蕩狀態(tài)，其振幅和頻率為X=2.5，w=7.07rad/s。 3（2）欲使系統(tǒng)穩(wěn)定地工作，不出現(xiàn)自振蕩，由于G(s)極點(diǎn)均在左半s平面，故根據(jù)奈氏判據(jù)知，應(yīng)使G(jw)曲線不包圍-1/N(A)曲線，即故

8、K的臨界穩(wěn)定值為： 3b4.（12） 非線性系統(tǒng)如圖所示。1、把系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖變換成典型結(jié)構(gòu)，即單位反饋形式。2、試用描述函數(shù)法分析周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，并確定自振蕩的振幅和頻率。已知非線性特性是滯環(huán)繼電特性：M=1，h=0.2,題2非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 解：由圖可知，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖不是描述函數(shù)應(yīng)用時(shí)的典型結(jié)構(gòu)，因此首先變換成典型結(jié)構(gòu)。由于在用描述函數(shù)分析穩(wěn)定性和自振蕩時(shí)，不考慮r(t)的作用，故設(shè)r(t)=0。再根據(jù)結(jié)構(gòu)圖中信號(hào)間的相互關(guān)系，故圖變換成下圖a,b的典型結(jié)構(gòu)。 3（a） （b）題2解結(jié)構(gòu)圖變換由結(jié)構(gòu)圖知，非線性特性是滯環(huán)繼電特性：M=1，h=0.2,故畫出-1/N(X)曲線與G(jw)曲

9、線如圖所示，-1/N(A)曲線是一條虛部為-jph/4M=-j0.157的直線。 2 題2系統(tǒng)的G(jw)和-1/N(X)曲線顯然兩曲線的交點(diǎn)處決定了一個(gè)穩(wěn)定的自振蕩。令，試探法解下列方程：0.0157w(1+w2)=1得 w 4（rad/s） 2 將w=4代入ReG(jw)： 2令 ReG(jw) = Re-1/N(A)-0.588 = -得 X=0.775故自振蕩的振幅X=0.775，頻率w =4rad/s。 3b5（12分）一非線性系統(tǒng)中含滯環(huán)非線性，其線性環(huán)節(jié)的頻率特性如圖。試分析此非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。題3圖線性部分極坐標(biāo) 題3 圖線性與非線性相交解：（1）寫出此非線性特性的描述函數(shù)

10、為：對(duì)應(yīng)的負(fù)倒描述函數(shù)為：寫成實(shí)部和虛部形式： 3隨著A從1的增大，負(fù)倒描述函數(shù)的實(shí)部 的值從0變化到負(fù)無窮，其虛部 為 不變。因此可將 畫在 平面上，如上圖.（2）分析交點(diǎn)處振蕩的性質(zhì)。從圖中可看出， 與 共有三個(gè)交點(diǎn) 和 。設(shè)它們對(duì)應(yīng)的頻率： 、 和 ，且 ，對(duì)應(yīng)的幅值分別為： 、 和 ，且 。根據(jù)對(duì)自持振蕩的討論及其負(fù)倒描述函數(shù)的走向，可知 、 是穩(wěn)定的自持振蕩， 是不穩(wěn)定的振蕩。當(dāng)初始幅值 時(shí)，產(chǎn)生頻率為 、幅值為 的自持振蕩；當(dāng)初始幅值 時(shí)，產(chǎn)生頻率為 、幅值為 的自持振蕩。比較 、 處的自持振蕩發(fā)現(xiàn)， 處振幅大，頻率低； 處振幅小，頻率高。 9c.(14分) 已知非線性系統(tǒng)如圖所示

11、，圖中非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為 試求：(1) 該非線性系統(tǒng)穩(wěn)定、不穩(wěn)定以及產(chǎn)生自持振蕩時(shí)，線性部分的K值范圍。 (2) 判斷自持振蕩的穩(wěn)定性，并計(jì)算穩(wěn)定自持振蕩的頻率和振幅解：（1）此非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的負(fù)倒特性為：起點(diǎn)X=0時(shí)，-1/N(x)= -1/3。當(dāng)X¥時(shí)，-1/N(X)= -1，因此-1/N(X)曲線位于-1/3 -1這段負(fù)實(shí)軸上。 系統(tǒng)線性部分的頻率特性為： 2令I(lǐng)mG(jw)=0即1-w2=0，得G(jw)曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的頻率為： 2代ReG(jw)，可求得G(jw)曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為： 2（a）當(dāng)-k/2<-1,即k>2時(shí)，G(jw)包圍-1/N(x)

12、，非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定；（b）當(dāng)-1-k/2-1/3， 即 2/3k2時(shí)，G(jw)與-1/N(x)相交，非線性系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)（自持振蕩）；（c）當(dāng)-k/2>-1/3 ，即k<2/3 時(shí)，G(jw)不包圍-1/N(x)，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定； 4（2）當(dāng)2/3k2時(shí)，G(jw)與-1/N(x)相交，非線性系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)（自持振蕩），且曲線由不穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域，所以其振蕩是穩(wěn)定的。 此時(shí)，根據(jù)交點(diǎn)處的幅值相等，即： 所以自持振蕩的頻率是，振幅 4c1. （16分）一個(gè)具有非線性元件串聯(lián)的非線性控制系統(tǒng)如圖，試用描述函數(shù)法確定當(dāng)K=時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩的頻率和幅值，并研究產(chǎn)生自持振蕩時(shí)

13、的臨界增益K。解：首先對(duì)非線性串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效特性進(jìn)行分析。當(dāng)|e|<1，e1=0,u =0當(dāng)e>1,e1=2,u =k(e1-1)=1當(dāng)e<-1,e1=-2,u =k(e1-(-1)= -1因此等效的非線性環(huán)節(jié)特性如圖，是一帶死區(qū)的繼電器，對(duì)應(yīng)的負(fù)倒描述函數(shù)：將負(fù)倒描述函數(shù) 和線性部分的頻率特性繪制在極坐標(biāo)平面上，如圖，存在交點(diǎn) A1和 A2，容易分析A2點(diǎn)的自持振蕩是穩(wěn)定的，A1點(diǎn)的則不穩(wěn)定。 6下面計(jì)算交點(diǎn)處的頻率和幅值。線性部分的頻率特性：顯然當(dāng)=1時(shí)，與負(fù)實(shí)軸相交于-K。當(dāng)時(shí)，在交點(diǎn)處，計(jì)算得： 即在 A2處的穩(wěn)定振蕩幅值為，頻率為1，而在 A1點(diǎn)幅值為的振蕩實(shí)際上是

14、不存在的。 6'下面研究產(chǎn)生自持振蕩的臨界增益。在時(shí)，令得到：，根據(jù)自持振蕩產(chǎn)生的條件，得到臨界增益K： 4c2. （12分） 典型階線性系統(tǒng)如圖所示，試用相平法求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)和斜坡響應(yīng)。典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖解 由于是用相平法求r(t)作用下的系統(tǒng)的響應(yīng)，故相平面取為e平面，由結(jié)構(gòu)圖可寫出系統(tǒng)的微分方程為：因e=r-c，有 21階躍響應(yīng)此時(shí)r(t)=R×1(t)，則當(dāng)t>0時(shí)，有r(t)=R ，。代入上式，得階躍輸入下系統(tǒng)的誤差方程： 2由此繪制相軌跡曲線，奇點(diǎn)為（0，0）。設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為c(0)=0，(0)=0，則誤差的初始條件為e(0)=R，(0)=

15、0。若參數(shù)T、K使系統(tǒng)具有一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（欠阻尼），則其相軌跡如下圖 (a)所示。若具有兩個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)（過阻尼），則其相軌跡如下圖 (b)，分析相平面圖即可了解系統(tǒng)響應(yīng)的性質(zhì)。例如穩(wěn)態(tài)誤差為零，當(dāng)R=1時(shí)，超調(diào)量如圖所示等。3（a）欠阻尼 （b）過阻尼圖 階躍輸入時(shí)的相平面圖2斜坡響應(yīng)設(shè)輸入信號(hào)為r(t)=vt，t >0時(shí)， ，代入系統(tǒng)的誤差方程，得斜坡輸入下的誤差方程為它可以寫成作變量置換e¢=e-v/K則誤差e¢的方程為 3與階躍輸入的誤差方程相同。所以，只須把階躍輸入時(shí)的相平面圖右移v/K即可得出。由此可知此時(shí)相軌跡的奇點(diǎn)為（v/K，0）。下圖 (a)

16、、(b)分別對(duì)于欠阻尼和過阻尼情況，給出了系統(tǒng)在初始狀態(tài)c(0)=0，(0)=0下斜坡響應(yīng)的相平面圖。由于(0)=(0) -(0)=v，故相軌跡的起點(diǎn)為（0，v）。顯然由相平面圖可知系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差是v/K。 2（a）欠阻尼 （b）過阻尼圖 斜坡輸入時(shí)的相平面圖 應(yīng)當(dāng)特別指出，由于在非線性系統(tǒng)中，其非線性特性往往可以分段加以線性化，而在每一個(gè)分段中，系統(tǒng)都可以用線性微分方程描述，因此線性系統(tǒng)在相平面分析是非線性系統(tǒng)相平面分析的基礎(chǔ)。（a） 結(jié)構(gòu)圖 （b） 非線性特性題6圖 繼電控制系統(tǒng)c3. （12分） 繼電控制系統(tǒng)如下圖所示，試?yán)孟嗥矫娣ǚ治鱿到y(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解 由結(jié)構(gòu)圖知，系統(tǒng)的微分方程為

17、：因?yàn)椋陨鲜接挚蓪懗?2根據(jù)已知的非線性特性，當(dāng)>0時(shí)，有： 1當(dāng)時(shí)，有： 1因?yàn)?r(t)=1(t)，當(dāng)t>0時(shí)，有 1對(duì)于>0，e>e1 和<0，e>e0 時(shí)，其相平面圖漸近線為。 1 對(duì)于>0，e<-e0 和<0，e<-e1 時(shí)，該區(qū)相軌跡漸近線為。 1對(duì)于>0，e1>e>-e0和<0，e0>e>-e1時(shí)，則有或： 1在相平面上，則相應(yīng)為斜率為-1/T 的平行的直線。將以上各區(qū)域的相平面圖拼接后，可得系統(tǒng)的以為坐標(biāo)軸的總的相平面圖。 令T=1、K=4、e0=0.1、e1=0.2和M=0.2

18、，則該繼電控制系統(tǒng)在單位階躍輸入下的相軌跡曲線如下圖所示。由于假定系統(tǒng)在開始時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以相軌跡的起點(diǎn)為e(0)=1，(0)=0。 3圖 系統(tǒng)的相軌跡曲線由圖可見，在穩(wěn)態(tài)時(shí)，存在一個(gè)極限環(huán)。因此系統(tǒng)的輸出將持續(xù)振蕩。自振蕩的振蕩與e0和e1值有關(guān)，e1和（e1- e0）越大（即死區(qū)越大、滯環(huán)越寬），振幅也越大。此外，K、T和M的增大，也將使系統(tǒng)的振蕩加劇，因?yàn)榻唤缇€的換接點(diǎn)p1、p2、p3 ¼與橫軸的距離也增大了。 1c4. （12分） 采用非線性校正的控制系統(tǒng)如圖所示，試?yán)孟嗥矫娣ǚ治觯谠瓉淼木€性系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，采用非線性校正，可以顯著改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)品質(zhì)。（a） 非線性

19、校正的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 （b） 非線性特性題7圖 采用非線性校正的控制系統(tǒng)解 由圖（b）知，非線性特性為因此，相平面被分為二個(gè)區(qū)域，開關(guān)線分別為e=e0和e=-e0。系統(tǒng)方程為 2在線性區(qū)內(nèi)，½e½<e0，系統(tǒng)誤差方程為：在線性區(qū)內(nèi)，½e½>e0，系統(tǒng)誤差方程為： 2其中，增益K和k應(yīng)這樣選擇：一方面，為了在½e½>e0時(shí)獲得快速性，在線性區(qū)中應(yīng)選擇較大的K值，使系統(tǒng)阻尼較小，對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定焦點(diǎn)，具體地應(yīng)先選K>1/(4T)。另一方面，為了防止超調(diào)量過大，在½e½<e0時(shí)，在線性區(qū)中應(yīng)適當(dāng)選

20、擇k使系統(tǒng)處于臨界阻尼，對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)，具體地應(yīng)選k使k<1/(4T)。 2設(shè)輸入r(t)為階躍函數(shù)，當(dāng)t>0時(shí)，有，可得區(qū)內(nèi)系統(tǒng)的誤差方程為：此時(shí)的相平面圖如下圖1（a）所示，平衡點(diǎn)位于（0，0）是穩(wěn)定焦點(diǎn)。在區(qū)內(nèi)系統(tǒng)的誤差方程為： ，相平面圖如下圖1（b）所示，平衡點(diǎn)位于（0，0），是穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。 3把圖1（a）、（b）的相軌跡分別畫到相平面圖的各區(qū)域中，就得到系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖2所示。當(dāng)階躍輸入的幅度較小時(shí)，相軌跡曲線是圖中A A1 0 ，（a） II區(qū) （b） I區(qū)題7圖1 I區(qū)和II區(qū)的相軌跡題7圖2 單位階躍輸入時(shí)的相軌跡曲線階躍響應(yīng)是單調(diào)的，沒有超調(diào)，且響應(yīng)速度較快，若階躍幅度較大，則相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡是B0B1B2B30。顯然響應(yīng)是振蕩性的，但超調(diào)量和振蕩次數(shù)比線性增益（圖中虛線所示）的情況減小很多。 3由此例可以看出，在線性系統(tǒng)中，增益的選擇要兼顧調(diào)