1、數(shù)學(xué)建模選拔隊員問題【摘要】全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽是一項關(guān)系到學(xué)校和個人榮譽(yù)的比賽，因此一個參賽院校如何選拔最優(yōu)秀的隊員和科學(xué)合理地組隊是一個亟待解決的問題。我們建立模型解決數(shù)學(xué)建模隊員選拔與組隊問題。第一，隊員選擇模型。首先，我們將所給隊員的七項基本條件指標(biāo)劃分為知識、能力、表現(xiàn)三類。運(yùn)用層次分析法，建立成對比較矩陣，得到三類的權(quán)重繼而得到七項條件的權(quán)重。然后采用模糊物元法，計算每位隊員各項指標(biāo)的聯(lián)系系數(shù)，并與權(quán)重結(jié)合得到隊員的聯(lián)系度，依此排名，淘汰排名最后的五位隊員。第二，最佳組隊模型。首先對于某些互補(bǔ)性的條件指標(biāo)，取三名隊員的最大值作為整隊指標(biāo)；對于某些整體性的條件指標(biāo)，取三名隊員的平均

2、值作為整隊指標(biāo)。然后結(jié)合各指標(biāo)權(quán)重建立競賽水平函數(shù)，同時對每項指標(biāo)進(jìn)行一定約束。最后通過Matlab軟件計算，求得最佳組隊隊員?！娟P(guān)鍵詞】 選拔隊員與組隊 層次分析法 模糊物元法 競賽水平函數(shù)1 引言數(shù)學(xué)建模競賽要求以不超過三人的團(tuán)隊參加，其主旨為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和團(tuán)隊精神。這是一項關(guān)系到學(xué)校和個人榮譽(yù)的比賽，因此一個參賽院校如何選拔最優(yōu)秀的隊員和科學(xué)合理地組隊是一個亟待解決的問題。目前，2012年浙江師范大學(xué)有26名隊員準(zhǔn)備參加競賽,已知每位隊員的平時成績、智力水平、計算機(jī)能力、參賽經(jīng)驗、寫作能力、協(xié)作能力、身體狀況。假設(shè)所有隊員接受了同樣的培訓(xùn),不考慮其他隨機(jī)因素的影響,我們建立數(shù)學(xué)模型

3、解決如下問題：1. 在26名隊員中選擇21名優(yōu)秀隊員參加競賽；2. 確定一個最佳的組隊方案使競賽技術(shù)水平最高。2 模型假設(shè)1. 假設(shè)所有隊員接受了同樣的培訓(xùn),不考慮其他隨機(jī)因素的影響；假設(shè)層次分析求權(quán)重帶來的主觀因素影響不會有太大影響；3 符號說明符號說明A、B成對比較矩陣表示第i個因素相對于第j個因素的比較結(jié)果CI一致性檢驗指標(biāo)數(shù)RI隨機(jī)一致性指標(biāo)CR一致性比率指標(biāo)權(quán)重方案特征評價指標(biāo)指標(biāo)量值x ji的最大值x ji的最小值關(guān)聯(lián)系數(shù)各個條件指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)隨機(jī)取三個人的第項條件的聯(lián)系系數(shù)第項條件聯(lián)系系數(shù)的最大值第項條件聯(lián)系系數(shù)的平均值競賽水平函數(shù)4 隊員選擇模型我們在選拔數(shù)學(xué)建模隊員時，一個隊

4、員的能力是可以從多方面衡量的，比如計算機(jī)能力，智力水平，寫作能力等。我們采用層次分析法和模糊物元法相結(jié)合來進(jìn)行多因素的排序。4.1層次分析法求各條件指標(biāo)權(quán)重不同的條件指標(biāo)對于數(shù)學(xué)建模隊員選拔的影響效力是不同的，因此對于各指標(biāo)需要給定權(quán)重。我們采用層次分析法。層次分析法是一種解決多目標(biāo)的復(fù)雜問題的定性與定量相結(jié)合的決策分析方法。該方法將定量分析與定性分析結(jié)合起來，用決策者的經(jīng)驗判斷各衡量目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)之間的相對重要程度，并合理地給出每個決策方案的每個標(biāo)準(zhǔn)的權(quán)數(shù)，利用權(quán)數(shù)求出各方案的優(yōu)劣次序，比較有效地應(yīng)用于那些難以用定量方法解決的課題。4.1.1層次結(jié)構(gòu)通過分析數(shù)學(xué)建模隊員要求，我們可以發(fā)現(xiàn)

5、，有的要求是針對隊員的知識，如平時成績、智力水平；有的要求是針對隊員的能力，如計算機(jī)能力、參賽經(jīng)歷、寫作能力，這些都是三人的數(shù)模團(tuán)隊中有人可以達(dá)到較高水平就可以的；而有的要求是針對隊員的表現(xiàn)，如協(xié)作能力、身體狀況，這些需要三個人都達(dá)到較高水平才能取得更好成績?；镜膶哟谓Y(jié)構(gòu)如下圖所示：隊員評價 知識表現(xiàn)能力計算機(jī)能力參賽經(jīng)歷智力水平身體狀況協(xié)作能力寫作能力平時成績26名隊員4.1.2 構(gòu)造成對矩陣，層次單排序?qū)哟畏治鍪且环N定性分析和定量計算相結(jié)合的分析方法，根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)構(gòu)造各因素間的成對比較矩陣。表1 判斷矩陣元素aij的標(biāo)度方法尺度含義1表示兩個因素相比，具有同樣重要性3表示兩個因素相比，一

6、個因素比另一個因素稍微重要5表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素明顯重要7表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素強(qiáng)烈重要9表示兩個因素相比，一個因素比另一個因素極端重要2、4、6、8上述兩相鄰判斷的中值倒數(shù)因素i與j比較的判斷aij，則因素j與i比較的判斷aji=1/aij 知識、能力和表現(xiàn)的成對比較矩陣。求出矩陣A的特征值和特征向量，并做歸一化處理，得到各個因素權(quán)重：=（0.3108，0.4934，0.1958）由于=3.0536，查表得RI=0.58，可得：一致性指標(biāo)CI=0.02680.1，一致性比率CR=0.04620.1。通過一致性檢驗。 平時成績和智力水平的成對比較矩陣。求出矩陣

7、B1的特征值和特征向量，做歸一化處理，通過一致性檢驗，得到各個因素權(quán)重：=（0.3333，0.6667） 計算機(jī)能力、參賽經(jīng)驗和寫作水平的成對比較矩陣。求出矩陣A的特征值和特征向量，并做歸一化處理，得到各個因素權(quán)重：=（0.5278，0.1396，0.3326）由于=3.0536，查表得RI=0.58，可得：一致性指標(biāo)CI=0.02680.1，一致性比率CR=0.04620.1。通過一致性檢驗。 協(xié)作能力和身體狀況的成對比較矩陣。求出矩陣A的特征值和特征向量，做歸一化處理，通過一致性檢驗，得到各個因素權(quán)重：=（0.75，0.25）4.1.3 層次總排序根據(jù)以上層次單排序，求得每項條件指標(biāo)的權(quán)重

8、，以平時成績?yōu)槔浩錂?quán)重。同樣地，得其余各項條件指標(biāo)的權(quán)重。得層次總排序如下：4.2模糊物元法選拔隊員由于多因素關(guān)系的描述具有不確定性、隨機(jī)性和模糊性，我們采用模糊物元法。模糊物元法是在物元分析的基礎(chǔ)上提出描述事物模糊性的一門介于數(shù)學(xué)與試驗之間的科學(xué)工具。它是由一個三元有序組構(gòu)成的，即由事物N，特征C 和關(guān)于模糊特征的量值V組成的三元有序組R，R= ( N , C, V)。它比模糊數(shù)學(xué)更能給出有關(guān)模糊的定量描述和處理，使排序決策結(jié)果更具真實(shí)性和準(zhǔn)確性。4.2.1模糊物元多因素排序的具體過程與步驟方法第1步：建立排序決策方案的物元；對于排序決策方案, 將其事物、特征以及量值用有序三元組描述，即事

9、物就是方案Mi，特征評價指標(biāo)Cj，量值x ji構(gòu)成的如下物元，即：第2 步: 確定指標(biāo)的隸屬度；排序?qū)嶋H就是指標(biāo)衡量標(biāo)準(zhǔn)的優(yōu)劣確定，通常指標(biāo)有成本型和效益型指標(biāo)兩大類。成本型指標(biāo)是指數(shù)值越小越好的指標(biāo)；而效益型指標(biāo)是指數(shù)值越大越好的指標(biāo)，對于兩類指標(biāo)可以采用如下的方法來確定隸屬度。對于成本型指標(biāo)：(1)對于效益型指標(biāo)：(2)第3步：從隸屬度到關(guān)聯(lián)數(shù)變換；關(guān)聯(lián)度變換就是隸屬度與關(guān)聯(lián)系數(shù)的轉(zhuǎn)換,由于在物元分析中其值是相等的，因此關(guān)聯(lián)系數(shù)；第4步：模糊物元排序方案矩陣建立；用隸屬度值代替聯(lián)系系數(shù)值后，即建立了聯(lián)系系數(shù)的模糊物元，記：(3)第5步：利用層次分析法確定指標(biāo)權(quán)重系數(shù)；權(quán)重系數(shù)的計算方法很多

10、，有AHP法、變異系數(shù)法、專家經(jīng)驗判斷法、綜合賦權(quán)等方法。本文采用如上AHP（層次分析法），得指標(biāo)權(quán)重。第6步：計算聯(lián)系度并進(jìn)行最終優(yōu)劣排序。關(guān)聯(lián)度是模糊物元排序決策方案之間關(guān)聯(lián)性的大小，通過其值大小進(jìn)行優(yōu)劣排序即可得到最終結(jié)果，聯(lián)系度：。4.2.2 隊員選拔聯(lián)系系數(shù)的模糊物元該七項條件指標(biāo)均為效益型指標(biāo)，故采用公式計算隸屬度，并用隸屬度值代替聯(lián)系系數(shù)值，建立了聯(lián)系系數(shù)的模糊物元，得到下表2：表2 各隊員效益型指標(biāo) 條件隊員平時成績智力水平計算機(jī)能力參賽經(jīng)驗寫作能力協(xié)作能力身體狀況G1.00000.79170.32140.50000.37140.72410.4688K0.00000.66670

11、.28570.43331.00000.62070.8438D0.77781.00000.28570.50000.74290.82760.8125B0.88890.83330.10710.33330.48570.93100.7813Q0.74070.33330.78570.66670.62860.86210.4688I1.00000.37500.82140.86670.48570.62070.6875X0.74070.87500.42860.60000.74290.37930.5313U0.48150.00000.42860.90000.82860.62070.6875N0.37040.6667

12、0.60710.80000.34290.79310.6250V0.92590.95830.35710.56670.65710.86210.7813T1.00000.37500.75000.83330.42860.44830.0000E0.18520.33330.57141.00000.77140.48281.0000R0.70370.87500.46430.56670.51430.86210.5313Z0.44440.75000.17860.83330.71430.65520.5000W0.44440.62500.00000.76670.82860.00000.4688P0.70370.791

13、70.82140.86670.62860.65520.8125A0.51850.66670.03570.50000.82860.93100.3750C0.18520.83330.85710.73330.77140.44830.5313F0.85190.79170.10710.00000.00000.44830.6563O0.74070.75000.64290.70000.82861.00000.6875M0.81480.91670.21430.06670.45710.82760.5625Y0.70370.58330.82140.70000.11430.65520.8750J0.81480.79

14、171.00000.46670.45710.58620.8438S0.44440.25000.75000.93330.71430.44830.4688L0.51850.75000.85710.16670.68570.89660.8438H0.66670.87500.14290.50000.48570.79310.9375將權(quán)重代入公式，求得各隊員聯(lián)系度及排名：表3 各隊員聯(lián)系度排名排名隊員聯(lián)系度排名隊員聯(lián)系度排名隊員聯(lián)系度1G0.764310V0.649119F0.55892K0.749811T0.614620O0.55253D0.743512E0.613821M0.54334B0.72941

15、3R0.593122Y0.53905Q0.699314Z0.576123J0.52676I0.684115W0.570424S0.48437X0.679916P0.570225L0.38738U0.659517A0.564226H0.37829N0.651218C0.5635我們將最后5名的隊員Y,J,S,L,H淘汰，選擇排名1至21的隊員參加比賽。作如下圖1所示的G,Y,J,S,LH隊員的雷達(dá)圖，可以直觀地看到依據(jù)聯(lián)系度得到的排名第一（G）和最后五位（Y,J,S,L,H）的差別，可見在選擇數(shù)學(xué)建模隊員時，有著很明顯的缺陷是不可取的。圖1 六名隊員的雷達(dá)圖5最佳組隊模型第二問是確定最佳的組隊方

16、案，使競賽技術(shù)水平最高。對某隊的競賽技術(shù)水平，我們可作如下解讀：1. 對于某些條件，須考慮隊員之間的互補(bǔ)性，即該隊某項條件的優(yōu)劣程度應(yīng)以該組中最優(yōu)者為準(zhǔn)。這些考慮互補(bǔ)性的條件包括平時成績、智力水平、計算機(jī)能力、參賽經(jīng)驗和寫作能力。故可取三人聯(lián)系系數(shù)的最大值作為該隊某項條件的聯(lián)系系數(shù)。2. 對于某些條件，則須考慮三人總體的優(yōu)劣情況，比如協(xié)作能力和身體狀況，每位參賽隊員的協(xié)作能力和身體狀況都會對整支隊伍的競賽水平帶來影響。故取三人聯(lián)系系數(shù)的平均值作為該隊某項條件的聯(lián)系系數(shù)。再根據(jù)由第一問層次分析法所得的每項條件指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，建立競賽水平函數(shù)。并任取3名隊員組合，根據(jù)值大小確定最佳組隊方案。設(shè)表示

17、20個人中隨機(jī)取三個人的第項條件的聯(lián)系系數(shù)，表示取三個人第項條件聯(lián)系系數(shù)的最大值為新聯(lián)系系數(shù)，表示取三個人第項條件聯(lián)系系數(shù)的平均值為新聯(lián)系系數(shù)，仍表示每項條件指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)。和反映的是該組隊伍各項條件指標(biāo)的優(yōu)劣情況，為保證每組隊伍的每項指標(biāo)的能力都能在中等以上，我們對其大小做一定的限定，規(guī)定其均須不小于0.5。根據(jù)以上分析，我們建立如下模型：(4) (5) (6) (7)此目標(biāo)函數(shù)即為一個隊的競賽水平，任取3名隊員組合，根據(jù)值大小找到競賽水平最高的隊伍，即確定了最佳組隊方案。我們運(yùn)用Matlab編程求解，將問題一中淘汰的5名隊員的各項聯(lián)系系數(shù)歸零，并仍然在26個人中挑選隊員。由于要求的是目標(biāo)函

18、數(shù)的最大值，故對此沒有影響，淘汰的5名隊員會被程序自動排除。并先隨機(jī)選取一個隊伍，程序跑遍所有可能的情況，取全部情況的最大值作為最高競賽水平的隊伍。得到結(jié)論為，隊員為D,G,Q時，競技水平最高。再觀察三位隊員的各項聯(lián)系系數(shù)可知，該組前五項指標(biāo)的最大值為：0.9259，0.9583，1，0.7，0.8286均名列前茅，后兩項指標(biāo)的總體水平：0.8161，0.7709也比較高。6 模型評價6.1模型的優(yōu)點(diǎn)1. 問題三基于兩種不同目的分別建立模型，并結(jié)合可能的臨界分?jǐn)?shù)對兩種模型確立的組隊情況進(jìn)行比較取舍。2. 層次分析法和模糊物元法相結(jié)合能客觀準(zhǔn)確地對受多因素影響的隊員總體實(shí)力進(jìn)行排名。3. 建立的模型方法簡單易行，適用于現(xiàn)實(shí)生活中的一般情況。6.2 模型的缺點(diǎn)1. 層次分析法中構(gòu)建成對比較矩陣含有一定的主觀性。2. 均衡模型法雖然可以使獲獎率變大，但是也有一定的風(fēng)險，可能較高的臨界分?jǐn)?shù)反而會減少獲獎組數(shù)?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1張誠.基于模糊物元的中部六省物流能力分析J,中國流通經(jīng)濟(jì),2011,(04):