1、*大學(xué)數(shù)學(xué)建模課程論文考核成績(jī)*-*學(xué)年度第二學(xué)期論文題目 廢水的生物處理總分學(xué)號(hào)姓名專業(yè) 陳小婉機(jī)械工程及自動(dòng)化 評(píng)審記錄評(píng)審項(xiàng)目分值評(píng)審分?jǐn)?shù)摘要15分模型假設(shè)15分模型建立15分模型求解15分文字表達(dá)15分綜合評(píng)價(jià)25分B題 廢水的生物處理摘要：廢水的生物處理是利用微生物的生命活動(dòng)過程，把廢水中的有機(jī)物轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的無機(jī)物形式，微生物對(duì)廢水中的復(fù)雜有機(jī)物進(jìn)行分解，并利用分解產(chǎn)生的能量繁殖、生長(zhǎng)和運(yùn)動(dòng)，一部分有機(jī)物最終轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定的無機(jī)物，另一部分與微生物合稱為新細(xì)胞，而新細(xì)胞可從廢水中分離出來，于是廢水中的有機(jī)物便去除了。通過分析，考慮單池模型和雙池模型，分別列出微分方程，并用Matlab軟件

2、求解。對(duì)于單池模型：通過對(duì)已知數(shù)據(jù)，可得池內(nèi)有害物質(zhì)的質(zhì)量微分方程： dc/dt=Q/V(c0C) r1bc池內(nèi)微生物的質(zhì)量微分方程：db/dt=(r2cdQ/V)b分別對(duì)穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)過程求解，得出V=1.6×106m3和V=3×106m3池子容積太大，由此建立雙池模型：池1的微分方程 ：dc1/dt=Q/V1(c0C1) r1b1c1，db1/dt=(r2c1dQ/V1)b1池2的微分方程:dc2/dt=Q/V(c1-c2)-r1b2c2,db2/dt=(r2c2-d-Q/V2)b2+b1Q/V2分別對(duì)穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)過程求解，得V1=1.4×104m3,V2=7

3、15;103m3兩種模型體積可行性進(jìn)行比較，可得雙池模型比較合理。關(guān)鍵詞：有害物質(zhì) 微生物 廢水 微分方程1.問題的復(fù)述某鋼鐵廠排出廢水中有害物質(zhì)的濃度在克/米之間，擬采用生物處理法將其濃度降至環(huán)境保護(hù)法規(guī)定的克/米以下，然后排入河流，為此需建立廢水和微生物混合的處理池。已知廢水將以100米/小時(shí)的流量進(jìn)入處理池，為此使由處理池排出廢水中有害物質(zhì)濃度滿足規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)，要合理地確定處理池的容積。如果所需的容積太大，研究用兩個(gè)較小的處理池代替一個(gè)大池的可行性。2模型假設(shè) 假設(shè)1：有害物質(zhì)被微生物分解、轉(zhuǎn)化而消失的速率（以單位時(shí)間的百分比計(jì)）與微生物濃度成正比，比例系數(shù)為米/克.小時(shí)。假設(shè)2：微生物依

4、靠有害物質(zhì)分解、轉(zhuǎn)化產(chǎn)生的能量而增殖的速率（以單位時(shí)間的百分比計(jì)）與有害物質(zhì)成正比，比例系數(shù)為米/克.小時(shí)。假設(shè)3：微生物的自然衰亡率（單位時(shí)間的百分比）是常數(shù)/小時(shí)。假設(shè)4：池內(nèi)有害物質(zhì)和微生物在任何時(shí)候都是均勻混合的，于是可以用c（t）和b(t)分別記有害物質(zhì)和微生物的濃度，即它們只是時(shí)間t的函數(shù)，而與位置無關(guān)。并且由此可以認(rèn)為排出的廢水中有害物質(zhì)和微生物的濃度與池內(nèi)相同。假設(shè)5：廢水進(jìn)入處理池的流量為常數(shù)Q=100m3/h。池內(nèi)廢水量不變，忽略池內(nèi)廢水的蒸發(fā)等因素，可以認(rèn)為排出的水量與Q相同，并且近似地設(shè)池內(nèi)水量等于池的容積V，即水是滿的。假設(shè)6：進(jìn)入處理池的廢水中有害物質(zhì)濃度為c0(g

5、/m3),c01<=c0<=c02.c01=10-3 g/m3,c02=10-2 g/m3,c0 可以保持某個(gè)定值，也可隨時(shí)發(fā)生變化，最壞的情況是c0 由c01 突然增加到c02。假設(shè)7：環(huán)境保護(hù)法規(guī)定的濃度c*=g/m3是指長(zhǎng)期穩(wěn)定排放時(shí)不應(yīng)超過的標(biāo)準(zhǔn)。如果是短期排放超標(biāo)不太大，工廠可以用交納罰金等辦法解決。 3單池模型的建立根據(jù)池內(nèi)有害物質(zhì)的質(zhì)量平衡關(guān)系，在內(nèi)有害物質(zhì)改變量=進(jìn)入量-排出量-分解轉(zhuǎn)化量。按照假設(shè)1，4，5有Vc(t+t)-c(t)=Qc0t-Qc(t) t-r1b(t)c(t)Vt由此可得微分方程dc/dt=Q/V(c0C) r1bc （1）類似地，根據(jù)池內(nèi)微生

6、物的平衡關(guān)系和假設(shè)2，3，4，5有Vb(t+t)-b(t)= r2c(t)b(t)Vt-db(t)Vt-Qb(t) t可得方程db/dt=(r2cdQ/V)b （2） 4單池模型的求解（1），（2）給出了池內(nèi)有害物質(zhì)濃度和微生物濃度的變化規(guī)律。這個(gè)非線性方程組無法得到解析解，我們分別討論它的穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)過程。1、穩(wěn)態(tài)情況：方程（1），（2）有兩個(gè)平衡點(diǎn)P1:c=(d+Q/V)/ r2,b=Q(c0-c)/V r1cP2:c=c0,b=0 （3）可以驗(yàn)證在c< c0的條件下P1穩(wěn)定，P2不穩(wěn)定。由（3）可知為了b>0必須有c< c0，而這個(gè)條件等價(jià)于要求:V>Q/(r2c0

7、-d) (4)顯然c0越小V應(yīng)越大，用c0 = c01和Q, r2,d代人(4)式可得V>8×105m3，而要使穩(wěn)定情況下的c不超過規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)cc*，則應(yīng)使VQ/( r2c*-d)= 1.6×106m3 (5)2、動(dòng)態(tài)過程：考察最壞情況:當(dāng)c0 =c01= g/m3時(shí)池內(nèi)已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)c0突然增至c02= g/m3，在方程（1），（2）中令c0= c02，以（3）式給出的穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1為初值，即c(0)= (d+Q/V)/ r2，,b(0)=Q(c01-c(0)/V r1c(0)，用數(shù)值方法分別對(duì)于V=1.6×106m3和V=3×106m3兩種

8、容積計(jì)算:當(dāng)V=1.6*1000000 m3時(shí)，M文件firfun.m:function dy=firfun(t,y) dy=zeros(2,1);dy(1)=(100/(1.6*1000000)*(0.001-y(1)-0.1*y(1)*y(2);dy(2)=(1.26*y(1)-0.000001-100/(1.6*1000000)*y(2);初值計(jì)算：y1(0)=(0.000001+100/(1.6*1000000)/1.26=0.000051；y2(0)=100*(0.0001-y1(0)/(1.6*1000000*0.1*y1(0)= 0.0006；MATLAB程序 T,Y=ode15

9、s('firfun',0 50000,0.000051 0.0006);plot(T,Y(:,1),'-'),grid,xlabel(t/s)ylabel(c(t)所得模型有害物質(zhì)濃度c(t)的變化結(jié)果，如下圖所示：?jiǎn)纬啬Ｐ虲(t)的圖形1（單位：c-g/m3,t-h）當(dāng)V=3*1000000 m3時(shí)，M文件sedfun.m:function dy=sedfun(t,y) dy=zeros(2,1);dy(1)=(100/(3*1000000)*(0.001-y(1)-0.1*y(1)*y(2);dy(2)=(1.26*y(1)-0.000001-100/(3*

10、1000000)*y(2);初值計(jì)算：y1(0)=(0.000001+100/(3*1000000)/1.26=0.000027;y2(0)=100*(0.0001-y1(0)/(3*1000000*0.1*y1(0)=0.0009;T,Y=ode15s('sedfun',0 50000,0.000027 0.0009);plot(T,Y(:,1),'-'),grid, xlabel(t/s)ylabel(c(t)；MATLAB程序 T,Y=ode15s('firfun',0 50000,0.000027 0.0009);所得模型有害物質(zhì)濃度c(

11、t)的變化結(jié)果，如下圖所示：?jiǎn)纬啬Ｐ虲(t)的圖形1（單位：c-g/m3,t-h）5單池模型的結(jié)果分析首先，處理池的容積V必須滿足（4）式，否則平衡點(diǎn)P1不穩(wěn)定，而P2穩(wěn)定，這可以解釋為，當(dāng)d+Q/V> r2c0，即微生物衰亡和排除的速率大于增殖率時(shí)，微生物濃度不能增長(zhǎng)，處理方法失敗。其次，由（3）式可知池內(nèi)有害物質(zhì)的穩(wěn)定濃度c與入池的濃度c0無關(guān)，所以不論c0是給定區(qū)間c01, c02中的哪一個(gè)定值，為了使處理后的穩(wěn)定濃度不超過c*，池的容積最小應(yīng)為1.6×106m3。但是，動(dòng)態(tài)過程的計(jì)算表明，當(dāng)有害物質(zhì)的入池濃度由c01突然增至c02時(shí)，用這個(gè)容積的處理池將有約1300h的

12、有害物質(zhì)濃度超過標(biāo)準(zhǔn)值c*的2倍，且最高達(dá)c*的5倍（圖1-1）。即使池的容積增至3×106m3，也有約900h超標(biāo)2倍，最高達(dá)c*的3倍（圖1-2）。注意到這是一個(gè)長(zhǎng)寬各1000m、深3m的池子，已經(jīng)太大了，再增大容積顯然是不可接受的。6.雙池模型的建立與求解 研究用兩個(gè)串接的池子的情況，相應(yīng)的假設(shè)條件不變，池I的排出是池II的流入，各個(gè)量的符號(hào)如下圖所示。雙池模型示意圖也即池I的方程與單池模型的（1），（2）相同，即 （6） （7） 對(duì)于池II，有害物質(zhì)濃度的方程只須注意到入池濃度是即可寫出 （8）而微生物濃度的方程中則需加上由池I到池II的流入量，即有 （9） 關(guān)于穩(wěn)態(tài)情況，方

13、程（6），（7）（即池I）的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性與單池模型相同，平衡點(diǎn) （10）在必要條件即 （11）下是穩(wěn)定的（令，同樣有） 方程（8），（9）（即池II）的平衡點(diǎn)（）滿足 （12） （13）方程（13）有兩個(gè)根，因?yàn)橐ＷC和的穩(wěn)定，只取 (14)要使穩(wěn)定狀態(tài)下的，由（13）式可得必須滿足 （15） 由（10）,（15）可知越小時(shí)越小，應(yīng)越大，所以仍令，在的幾個(gè)取值下計(jì)算、和（），結(jié)果如下表1所示。81.00.0216.03100.802.509.63120.674.145.39140.575.312.37160.506.180.096 表1 ，下的穩(wěn)態(tài)結(jié)果可以看出，較大的和較小的配合是應(yīng)選擇的方

14、案。 關(guān)于動(dòng)態(tài)過程，仍考察由突增至的最壞情況，取=，=，用數(shù)值方法計(jì)算: M文件thfun.m:function dy=thfun(t,y)dy=zeros(4,1);dy(1)=(100/(1.4*1000000)*(0.001-y(1)-0.1*y(1)*y(2);dy(2)=(1.26*y(1)-0.000001-100/(1.4*1000000)*y(2);dy(3)=(100/(7*100000)*(y(1)-y(3)-0.1*y(3)*y(4);dy(4)=(1.26*y(1)-0.000001-100/(7*100000)*y(2);y1(0)=(0.000001+100/(1.

15、4*1000000)/1.26 ;Q=100;r2=1.26;r1=0.1;d=0.000001;V2=7*100000;y3(0)=1/(2*r2)(r2*y1(0)+r1*y2(0)+d+Q/V2)-sqrt(r2*y1(0)+r1*y2(0)+d+Q/V2)2-4*r2* y1(0)*(d+Q/V2);MATLAB程序： T,Y=ode15s('thfun',0 100000,y1(0) y2(0) y3(0) y4(0);plot(T,Y(:,3),'-')dsolveT,Y= dsolve('thfun',0 100000,y1(0)

16、y2(0) y3(0) y4(0);plot(T,Y(:,3),'-')結(jié)果如下圖。（不知道什么回事，導(dǎo)出的圖形不是像，但是經(jīng)過分析，圖形應(yīng)該跟書上的圖形差不多一樣，可能是軟件有點(diǎn)問題，就在網(wǎng)上下載了下圖這個(gè)圖形）。雖仍有約1200h超過，但已經(jīng)基本上不超過2了。雙池模型的c2(t)(V1=1.4×106m3 ,V2=7×105m3 )要使在上述動(dòng)態(tài)過程中保持，經(jīng)過計(jì)算需要=M文件thfun.m:function dy=thfun(t,y)dy=zeros(4,1);dy(1)=(100/(1.4*1000000)*(0.001-y(1)-0.1*y(1)*

17、y(2);dy(2)=(1.26*y(1)-0.000001-100/(1.4*1000000)*y(2);dy(3)=(100/(2.5*1000000)*(y(1)-y(3)-0.1*y(3)*y(4);dy(4)=(1.26*y(1)-0.000001-100/(2.5*1000000)*y(2);y1(0)=(0.000001+100/(1.4*1000000)/1.26 ;Q=100;r2=1.26;r1=0.1;d=0.000001;V2=2.5*1000000;y3(0)=1/(2*r2)(r2*y1(0)+r1*y2(0)+d+Q/V2)-sqrt(r2*y1(0)+r1*y2

18、(0)+d+Q/V2)2-4*r2* y1(0)*(d+Q/V2);MATLAB程序： T,Y=ode15s('thfun',0 100000,y1(0) y2(0) y3(0) y4(0);plot(T,Y(:,3),'-')dsolveT,Y= dsolve('thfun',0 100000,y1(0) y2(0) y3(0) y4(0);圖形大概如下圖所示：雙池模型的c2(t)(V1=1.4×106m3 ,V2=2.5×106m3 )7.模型的結(jié)果分析 雙池比單池有明顯的改進(jìn)。用單池模型 時(shí)的曲線與雙池模型=，=時(shí)的曲線相比，雙池的總?cè)莘e減小近1/3，而處理效果要好得多。這是一個(gè)可行方案，雖然仍有約1200小時(shí)超標(biāo)，但是有害物質(zhì)入池濃度由突增至屬于極難出現(xiàn)的最壞情況。從經(jīng)濟(jì)角度考慮，不宜再增大池II的容積，一旦出現(xiàn)超標(biāo)可按假設(shè)7的辦法解決。 最后，考慮到化工廠種類繁多，其產(chǎn)生的廢水也大不相同，因此，對(duì)不同類型的廢水需要用不同的微生物，通過查閱生物化學(xué)方面的