1、基于利潤最大化的質(zhì)量成本數(shù)學(xué)模型的研究趙云輝,白寶光,孫振(內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院,呼和浩特010051)摘要:本文闡述了傳統(tǒng)質(zhì)量成本理論模型的形成及其存在的問題.通過對基于利潤最大化的質(zhì)量成本理論模型的研究,本文比較了龔珀資(GOMPERTS)曲線模型和柯伯道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)分別模擬質(zhì)量成本的優(yōu)劣,從而選擇最適宜的質(zhì)量成本數(shù)學(xué)模型.關(guān)鍵詞:質(zhì)量成本;數(shù)學(xué)模型;質(zhì)量水平中圖分類號:F253.3文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A0引言質(zhì)量成本是企業(yè)為保證或提高產(chǎn)品質(zhì)量所進(jìn)行的管理活動而支出的費(fèi)用與出現(xiàn)質(zhì)量故障所造成的損失之和.企業(yè)可通過對質(zhì)量成本進(jìn)行預(yù)測、計劃、核算、控制和分析,考察質(zhì)量成本的發(fā)生、分布及趨勢.尋找質(zhì)

2、量管理存在的問題,為質(zhì)量改進(jìn)提供依據(jù),達(dá)到降低成本、提高經(jīng)濟(jì)效益的目的.1傳統(tǒng)質(zhì)量成本模型及其局限性1.1傳統(tǒng)質(zhì)量成本模型質(zhì)量成本與合格質(zhì)量水平之間存在著一定的關(guān)系,這種關(guān)系最早由美國質(zhì)量管理專家朱蘭博士通過曲線進(jìn)行描述,形成傳統(tǒng)質(zhì)量成本模型.如圖1所示:模型中y1表示預(yù)防和鑒定成本之和(投入),它隨著合格品率的增加而增加;y2表示內(nèi)部和外部損失成本之和(損失),隨著合格品率的增加而減少;y是y1和y2的和,表示質(zhì)量成本曲線.y曲線上有一極小值點(diǎn)M,M點(diǎn)對應(yīng)的合格品率為Q,就是企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)時應(yīng)當(dāng)控制的經(jīng)濟(jì)的制造質(zhì)量水平,其所對應(yīng)的質(zhì)量成本是最佳的質(zhì)量成本.圖1傳統(tǒng)質(zhì)量成本1.2傳統(tǒng)質(zhì)量成本特征

3、曲線的局限性隨著科技的發(fā)展,質(zhì)量的內(nèi)涵在不斷的擴(kuò)大,質(zhì)量管理理論在不斷的創(chuàng)新,傳統(tǒng)的質(zhì)量成本分析模型日益表現(xiàn)出局限性,主要表現(xiàn)在以下幾個方面.:.第1期趙云輝等基于利潤最大化的質(zhì)量成本數(shù)學(xué)模型的研究77力.1總額得已下降,其原因在于從源流階段強(qiáng)化預(yù)防成本的投入,起到了事半功倍的效果.2基于利潤最大化的質(zhì)量成本理論模型2的最優(yōu)質(zhì)量成本確定理論.該理論模型滿足壟斷競爭市場結(jié)構(gòu)的一般條件,并且隱含了兩個前提假設(shè)的條件,總結(jié)如下:1)質(zhì)量成本為產(chǎn)品質(zhì)量水平的凸函數(shù).2)一定范圍內(nèi),收入為質(zhì)量水平的增函數(shù).該理論所要討論的內(nèi)容如圖2所示:在圖2中,總收入為質(zhì)量水平的增函數(shù)用向上斜線表示,總質(zhì)量成本用下凸

4、曲線表示.因?yàn)樵趒2處總成本曲線的斜率與總收入線的斜率相等,即在q2處總收入與總質(zhì)量成本之間的差額最大,q2處的質(zhì)量水平為企業(yè)獲得最大利潤的質(zhì)量水平.而采用傳統(tǒng)方法確定的最優(yōu)質(zhì)量成本為總質(zhì)量曲線的最低點(diǎn),即為q1處的總質(zhì)量成本.因?yàn)閝2在q1的右邊,所以當(dāng)考慮到增長收入的情況下,企業(yè)的最優(yōu)質(zhì)量成本要高于傳統(tǒng)方法所確定的最優(yōu)質(zhì)量成本,最優(yōu)質(zhì)量水平也要高于用傳統(tǒng)方法所確定的質(zhì)量水平.圖2的下半部分為邊際分析圖,水平線為邊際收入線,為總收入線的斜率.向上的斜線表示邊際成本線,該邊際成本線在最小總質(zhì)量成本點(diǎn)的左邊取負(fù)值,右邊取正值.可以注意到在最小質(zhì)量成本點(diǎn)(q1)處,邊際收入仍大于邊際成本.為了實(shí)現(xiàn)

5、利潤最大化企業(yè)將提高產(chǎn)品質(zhì)量直到q2處,在此邊際收入等于邊際成本.此處的質(zhì)量水平為企業(yè)可獲得最大利潤的質(zhì)量水平點(diǎn).圖2基于利潤最大化的質(zhì)量成本3實(shí)證分析及數(shù)學(xué)模型的確定3.1質(zhì)量成本模型確定的定性分析設(shè)y表示質(zhì)量成本,y1表示預(yù)防鑒定成本,y2表示質(zhì)量損失成本,而x(%)表示產(chǎn)品平均合格品率(01y2.1,78內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)學(xué)報2006年而當(dāng)x增加時,y1也隨之增加,當(dāng)x達(dá)到一定的值時,y1將變得非常大;另外x與質(zhì)量成本y2的關(guān)系是:當(dāng)x較大時,y2較小,而當(dāng)x減少時,y2將增加,但當(dāng)x減少到一定的值時,y2將變得很大;當(dāng)產(chǎn)品合格率x較小時,y很大,隨著x的增加,y將隨之減少,但x增大到一定數(shù)

6、值時,y將會隨著x的增大而更快地增大.根據(jù)這一分析,當(dāng)產(chǎn)品合格率x處于某一范圍時,質(zhì)量成本y可以達(dá)到最小,利用這一結(jié)果,可控制產(chǎn)品質(zhì)量成本的支出.由于x與y1、y2之間存在投入與產(chǎn)出的關(guān)系,有人曾用柯伯道格拉斯生產(chǎn)函3數(shù)來建立數(shù)學(xué)模型.-21x1y2= 2xy1=式中 1 2和 1 2是非負(fù)的待定常數(shù).這一模型雖然可以反映產(chǎn)品合格率與產(chǎn)品質(zhì)量成本之間的關(guān)系,但還不夠完善,特別是當(dāng)產(chǎn)品合格率處于x=0和x=100附近時,質(zhì)量成本的變化情況無法反映出來,因?yàn)楫?dāng)x趨于100時,y1和y2趨于某一確定的值,即y1和y2的變化情況非常不明顯,同理,可知x趨于0時,y1趨于0,而y2趨于.也不能反映出y1

7、和y2的變化情況.為了更好地反映它們之間的關(guān)系,可以用龔珀資(GOMPERTS)曲線模型.x=ka,其中k,a,b是待定系數(shù),且k是極限參數(shù).這一模型可以描述產(chǎn)品合格率與產(chǎn)品質(zhì)量成本之間的關(guān)系,用極限參數(shù)k1作為反映產(chǎn)品合格率的上限,同樣地,k2作為產(chǎn)品合格率的下限.即在x=0和x=100附近時,根據(jù)極限參數(shù)上下限的不同,分別作出產(chǎn)品合格率與質(zhì)量成本之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.這樣可以反映出在x=0和x=100附近時的變化情況.3.2質(zhì)量成本模型確定的定量分析4by3通過收集到的數(shù)據(jù)來分析兩個模型的優(yōu)劣,當(dāng)采用柯伯道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)時,由于該函數(shù)是非線性的,于是通過對數(shù)變換得到如下結(jié)果:1+ 1lnx

8、lny2=ln 2- 2lnxlny1=ln(單位:萬元)項(xiàng)目/編號平均合格品率(%)預(yù)防鑒定成本損失成本質(zhì)量總成本售價銷量(萬件)用Eviews軟件模擬得到預(yù)防鑒定成本、內(nèi)外部故障損失成本與質(zhì)量水平的模型分別如下:15-3.108y1=0.012xy2=1482739.9x由y成本=y1+y2,得:y成本=0.012 x率與質(zhì)量損失成本的數(shù)學(xué)模型:x1=k1a11x2=k2a2導(dǎo)出y1與x,y2與x之間的關(guān)系式:y1=(ln(lnk1-lnx)-ln(-lna1)/lnb1y2=(ln(lnx-lnk2)-lnlna2)/lnb2為求出模型的參數(shù),利用Eviews軟件計算,但注意到參數(shù)K是一

9、個極限參數(shù),而作為企業(yè)的產(chǎn)品合1by1by21.5+1482739.9 x-3.108(1)第1期趙云輝等基于利潤最大化的質(zhì)量成本數(shù)學(xué)模型的研究79能的,故取K1=99.9,同樣地,作為產(chǎn)品合格率的下限,可以取K2=10.Eviews運(yùn)行后得如下模型:y1=5.654919-1.721204 ln(4.60417-ln(x)y2=11.108472-12.453021 ln(lnx)-2.302585)由y成本=y1+y2,得:y成本=16.76339-1.721204 ln(4.60417-ln(x)-12.453021 ln(lnx)-2.302585)用Eviews軟件模擬得到總收入與質(zhì)

10、量水平模型如下(該模型的擬和優(yōu)度為99.97%):S收入=14.226817 x+365.833429根據(jù)模型(1)和模型(3)得:y成本-S收入=0.012 x1.5(2)(3)+1482739.9 x-3.108-14.226817 x-365.833429根據(jù)模型(2)和模型(3)得:y成本-S收入=-14.226817 x-349.07+1.739615 ln(4.60417-ln(x)+12.453021 ln(lnx)-2.302585)為求y成本-S收入的最小值,令(y成本-S收入)的一階導(dǎo)數(shù)為零得:(y成本-S收入)=y成本-S收入=04結(jié)論通過以上的分析表明:選擇模型曲線模擬

11、質(zhì)量成本時,應(yīng)該考慮到質(zhì)量成本曲線的實(shí)際走向,近年來伴隨著“6 “管理理論的完善與實(shí)踐,在產(chǎn)品趨于零缺陷時,質(zhì)量成本曲線不是像傳統(tǒng)質(zhì)量成本模型所描述的趨于無窮的,而是隨質(zhì)量水平的提高而發(fā)生相應(yīng)的變化.因此選擇龔珀資(GOMPERTS)曲線模型來模擬質(zhì)量成本.當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量水平與收入正相關(guān)時,企業(yè)實(shí)際選擇產(chǎn)品的最優(yōu)質(zhì)量水平確實(shí)大于傳統(tǒng)最適宜質(zhì)量成本分析法所確定的質(zhì)量水平.企業(yè)在確定最優(yōu)質(zhì)量水平時不應(yīng)只考慮成本分析,企業(yè)可以通過更高的產(chǎn)品質(zhì)量,增加的市場份額和更高的售價獲得收入.當(dāng)考慮收入因素時,此時企業(yè)的最優(yōu)質(zhì)量成本要高于用傳統(tǒng)方法確定的最低總質(zhì)量成本,產(chǎn)品的最優(yōu)質(zhì)量水平要高于傳統(tǒng)最優(yōu)質(zhì)量成本法的確定水平.參考文獻(xiàn):1汪邦軍.質(zhì)量成本曲線方程與質(zhì)量改進(jìn)的經(jīng)濟(jì)分析J.北京機(jī)械工業(yè)學(xué)院學(xué)報,2002.6.2JonR,Miller,JonS.MorrisIsQualityFreeorProfitable?QualityProgress,2000.13曾方紅.質(zhì)量成本控制的數(shù)學(xué)模型J.廣西師范學(xué)報,1998.09.4銀路,劉衛(wèi).質(zhì)量經(jīng)濟(jì)效益分析M.成都出版社,1992.06.80內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)學(xué)報2006年AMATH