1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精九、分類討論思想分類討論思想是高中重要數(shù)學(xué)思想之一，是歷年高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn).突出考察思維的邏輯性、全面嚴(yán)謹(jǐn)性， 比如在不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用相關(guān)的習(xí)題中，分類討論思想很常見。一、什么是分類討論思想：每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往 有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)果不能 唯一確定，有些問題的結(jié)論不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些含參 數(shù)的問題，參數(shù)的取值不同也會(huì)影響問題的結(jié)果，那么就要根據(jù)題目 的要求，將題目分成若干類型，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問題來解決，這種 按不同情況分類，然后再對(duì)分好的每類逐一研究、解決問題的數(shù)學(xué) 思想，就是

2、分類討論思想。二、分類討論的一般步驟：第一，明確討論對(duì)象，確定對(duì)象的取值范圍；第二確定分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類，不重不漏；第三，對(duì)分好的每類進(jìn)行討論，獲得階段性結(jié)果；第四，歸納總結(jié)，得出結(jié)論。三、分類討論的常見情形：1 .由數(shù)學(xué)概念引起的分類：有的概念本身就是分類給出的，在不同 條件下有不同結(jié)論，則必須進(jìn)行分類討論求解，如絕對(duì)值、指 數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、直線和平面所成的角等。2 .由性質(zhì)、定理、 公式的限制引起的分類： 有的數(shù)學(xué)定理、 公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同條件下結(jié)論不一致，如二次函數(shù)y= aX2+bx+c(a 0),由a的正負(fù)而導(dǎo)致開口方向不確定；等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式因公比 q 是否為

3、1 而導(dǎo)致公式的表達(dá)式不確定等.3。由某些數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論：如解不等式ax2+ bx+c>0, 2=0, a<0,a>0解法是不同的；除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)， 對(duì)數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求， 指數(shù)中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)時(shí)不等號(hào)的方向，三角函數(shù)的定義域等4。由圖形引的不確定性起的分類：有的圖形的類型、位置需要分類，比如角的終邊所在象限;立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等。5.由實(shí)際意義引起的分類：此類問題在實(shí)際應(yīng)用題中常見.特別是在解決排列、組合中的計(jì)數(shù)問題時(shí)常用6。由參數(shù)變化引起的分類:如含參數(shù)的方程、不等式,由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)

4、果不同，所以必須對(duì)參數(shù)的不同取值進(jìn)行分類討論；或?qū)τ诓煌膮?shù)值運(yùn)用不同的求解或證明方法四、下面我們通過幾種具體問題來看看常見的分類討論情形：1。 集合：注意集合中空集? 的討論2。 函數(shù)：(1)對(duì)數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)”一般應(yīng)分a1和0a1的討論；(2)函數(shù)y= aX2+ bx+ c有時(shí)候分a= 0和aw o的討論；(3廠次函數(shù)y= a*+bx+ c(aw 0),分a>05 a0討論，或?qū)ΨQ軸 位置的討論；( 4)判別式的討論3。 數(shù)列：例如，利用 &求%分n=i和n>i的討論；等比數(shù)列中 分公比q=1和qwi的討論.4。 三角函數(shù) :角的象限及函數(shù)值范圍的討論5。 不

5、等式：解不等式時(shí)含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論6。 立體幾何：點(diǎn)線面及圖形位置關(guān)系的不確定性引起的討論；7。 平面解析幾何:直線點(diǎn)斜式中k 分存在和不存在， 直線截距式中分b=0和bwo的討論；軌跡方程中含參數(shù)時(shí)曲線類型及形狀的討論8。 排列、組合、概率中的分類計(jì)數(shù)原理,就是將問題分成若干種情況進(jìn)行討論的問題9。 去絕對(duì)值時(shí)的討論及分段函數(shù)的區(qū)間討論等四、分類的原則及注意事項(xiàng) :1.通過以上常見的分類情形可知道,準(zhǔn)確理解掌握數(shù)學(xué)中的概念性質(zhì)、定理、公式等,會(huì)使考慮問題全面，在解題中方能準(zhǔn)確、恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類與討論,做到不重不漏。在有些函數(shù)、不等式等問題中數(shù)形結(jié)合是簡(jiǎn)化分類討論的重

6、要方法。2。按主元分類的結(jié)果應(yīng)求并集,按參數(shù)分類的結(jié)果要分類給出 .3.分類討論是一種重要的解題策略,但這種分類討論的方法有時(shí)比較繁雜，若有可能，應(yīng)盡量避免分類.以下幾個(gè)練習(xí)題來體會(huì)分類討論思想在解題中的應(yīng)用：練習(xí)題 :1.【2014課標(biāo)全國(guó)n理，4鈍角三角形ABC的面積是錯(cuò)誤!, AB=1,BC=! 5則 AC 等于（）學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精A. 5Bo 55C 2D. 12.12014廣東理，8】設(shè)集合 A=(xi,X2,X3,X4,X5)|XiW 1,0, 1, i=1,2, 3, 4, 5,那么集合A中滿足條件“1i!| + IX2 I +|X3| + I X4 I +|X5| W

7、 3” 的元素個(gè)數(shù)為()A. 60B 90C 120D. 130x 6 x 23o【2015福建理，14若函數(shù)f x 3 ,2 (a 0且a 1)的值域是 og a x, x 4,4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.4.12015湖北文，171a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)lx2 ax|在區(qū)間0，1上的最大值記為g.當(dāng)a 時(shí)，g的值最小.5鈍角三角形ABC的面積是T，ab 1,bc 求邊AC。6。在等差數(shù)列&中，已知S2和a是x2 6x+8=0的兩個(gè)解，求數(shù) 列an的通項(xiàng)公式.7。用0, 1,2, 3, 4,5可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比 2000大的四位偶數(shù)？8.關(guān)于x的不等式m2x2 2m 2x4

8、0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。練習(xí)題解析:11 .【2014課標(biāo)全國(guó)n理，4鈍角三角形ABC的面積是2，AB=1,BC=筋,則AC等于()A. 5B。錯(cuò)誤! C. 2D. 12.12014廣東理,8】設(shè)集合A= （刈，X2, X3, X4, x。| x長(zhǎng)1,0, 1,i=1, 2,3,4,5,那么集合A中滿足條件“1Wx1| + |X2 I +I X3| + IX4 I+ | X5| W 3” 的元素個(gè)數(shù)為（）A. 60B. 90C. 120D. 1303o【2015福建理，14若函數(shù)f x J。；： j2 (a 0且a 1)的值域是 3 log a x, x 2, 4,，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .4?！?015湖北文，171a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x) |x2 ax|在區(qū)間0,1上的最大 值記為g(a)。 當(dāng)a 時(shí)，g的值最小.5。鈍角三角形ABC的面積是1，AB 1,BC 凡 求邊AC。6。在等差數(shù)列 sn中，已知S2和S4是x26x+8=0的兩個(gè)解，求數(shù)學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精列an的通項(xiàng)公式.7。用0, 1, 2, 3, 4, 5可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)？8。關(guān)于X的不等式m 2x2 2m 2x 4 0對(duì)一切實(shí)數(shù)X恒成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。解士當(dāng)原一 2 = 0 1即融=2日寸,一48一"