1、第十二章 教育評估模糊數(shù)學(xué)論 何兆華：教育評估的模糊數(shù)學(xué)技術(shù)與方法，中國教育評估專業(yè)委員會第二次代表大會暨第五屆學(xué)術(shù)年會論文，1994年10月，天津。模糊數(shù)學(xué)(Fuzzy Mathematics)自1965年創(chuàng)立以來，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于社會科學(xué)研究領(lǐng)域。本章在簡要介紹模糊數(shù)學(xué)的基本原理和探討教育及其評估現(xiàn)象模糊性的基礎(chǔ)上，研究模糊數(shù)學(xué)的理論與方法在教育評估中的應(yīng)用。第一節(jié) 模糊數(shù)學(xué)的基本原理與教育現(xiàn)象的模糊性一、模糊數(shù)學(xué)的基本原理(一)模糊數(shù)學(xué)概述模糊數(shù)學(xué)是1965年由美國控制論專家扎德(LAZaden)首先提出來的，它是研究模糊領(lǐng)域中事物數(shù)學(xué)化的一門邊緣學(xué)科，現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)的一個重要分支。數(shù)學(xué)起源

2、于對實際問題的描述，實踐是數(shù)學(xué)的源泉。而人類實踐的范圍是廣闊的，用數(shù)學(xué)的觀點可以把實踐中所遇到的現(xiàn)象大致分為三類：確定現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象和模糊現(xiàn)象。為解決和描述確定現(xiàn)象，逐步發(fā)展起來的數(shù)學(xué)工具有幾何、代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、微分方程等，習(xí)慣上把其稱為“經(jīng)典數(shù)學(xué)”；為解決和描述隨機(jī)現(xiàn)象，逐漸發(fā)展起來的數(shù)學(xué)工具有概率論和數(shù)理統(tǒng)計，習(xí)慣上稱其為“統(tǒng)計數(shù)學(xué)”；而人們的實踐中往往發(fā)現(xiàn)有一條不相容原理當(dāng)一個系統(tǒng)的復(fù)雜性增加時，人們使它精解化的能力將減小，在達(dá)到一定閾值以上時，復(fù)雜性與精確性互相排斥，與復(fù)雜性緊緊相伴的，就是模糊性。而模糊數(shù)學(xué)就是研究和處理模糊現(xiàn)象的一種新的數(shù)學(xué)方法?！皵?shù)學(xué)”與“模糊”本來是互相對立的詞

3、，扎德把二者統(tǒng)一在一起，不是讓數(shù)學(xué)變成模模糊糊的東西，也不是讓數(shù)學(xué)放棄它的嚴(yán)密性去遷就模糊性，而是要讓數(shù)學(xué)進(jìn)入模糊現(xiàn)象這個禁區(qū)。但是，也不能把“模糊”一詞看成純粹消極的貶義詞，過分的精確反倒模糊，適當(dāng)?shù)哪：吹咕_，模糊的手段常?？梢赃_(dá)到精確的目的。模糊數(shù)學(xué)的一個重要特點，就是要使數(shù)學(xué)回過頭來吸取人腦識別和判決的模糊特點，使之運用于計算機(jī)，使部分自然語言能夠作為算法語言直接進(jìn)入程序，使人能以簡易的程序調(diào)動機(jī)器完成更復(fù)雜的任務(wù)，從而大大提高機(jī)器的活性，形成一種新的更加靈活而簡捷的處理手段與方法。概率論和數(shù)理統(tǒng)計的產(chǎn)生，把數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從必然現(xiàn)象領(lǐng)域擴(kuò)大到偶然現(xiàn)象領(lǐng)域，彌補(bǔ)了經(jīng)典數(shù)學(xué)之不足。模糊數(shù)

4、學(xué)的產(chǎn)生，把數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍從精確現(xiàn)象領(lǐng)域擴(kuò)大到模糊現(xiàn)象領(lǐng)域，彌補(bǔ)了經(jīng)典數(shù)學(xué)和統(tǒng)計數(shù)學(xué)之不足。概率論和數(shù)理統(tǒng)計研究和處理隨機(jī)性，模糊數(shù)學(xué)研究和處理模糊性，二者都屬于不確定數(shù)學(xué)，他們之間有深刻的聯(lián)系，但又有著本質(zhì)的不同。模糊數(shù)學(xué)把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)從“二值邏輯”的基礎(chǔ)擴(kuò)展到連續(xù)值上來，更具有深遠(yuǎn)的意義。(二)模糊子集的基本概念集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在經(jīng)典數(shù)學(xué)的普通集合論中，一個元素是否屬于集合A是明確的。即 或 二者必屬其一，且只屬其一，它的邏輯基礎(chǔ)是二值邏輯。除了普通集合(亦稱論域)的子集外，還有另外一種子集，他們沒有明確的“邊界”，稱其為“模糊子集”，并用下面帶波浪的大字母(如等)來表示。為了表示某一

5、元素與模糊子集的關(guān)系，扎德提出了“隸屬度”的概念，即是說，對于論域的每一個元素ui在閉區(qū)間0，1中給它一定對應(yīng)的數(shù)字指標(biāo)，用以表明ui對于模糊子集的隸屬程度，并用 (ui)或i表示，稱為元素ui對模糊子集的隸屬度。定義：給定論域U，所謂指定了U上的一個模糊子集，是指對任意uU，都有一個隸屬度(01)與之相對應(yīng)。稱為的隸屬函數(shù)，記作=(u)或(u)顯然 (u)值愈大，表示u對隸屬程度愈高；1時表示u肯定屬于；(u)0時表示u肯定不屬于。扎德建議將模糊子集表示成 = (Ui)其中U為論域，這里的“”號并無求和之意。當(dāng)論域U中的元素為無窮不可數(shù)時，則可記成 ()同樣這里的積分號也無求積分之意。顯然，

6、模糊子集完全可以由其隸屬函數(shù)來描述，因此也可以用模糊向量(即隸屬度向量)來表示當(dāng)一個子集的隸屬度只取0或1時，則子集就退化成普通子集，普通子集的隸屬函數(shù)稱為特征函數(shù)，用CA(u)表示，即注意模糊子集是通過隸屬函數(shù)來下定義的，它本身沒有明確的范圍，若一定要問其圖像，需要選取門坎。是介于0，1之間的一個實數(shù)，當(dāng)，便算作，否則，便算作，這樣得到一個普通子集，記作叫做A的圖像，叫置信水平。當(dāng)從1下降到零，逐漸擴(kuò)張，象征是一個具有游動邊界的集合。(三)模糊集合的運算可以利用特征函數(shù)CA(u)和隸屬函數(shù) (u)來定義子集的運算，這樣便很自然地將普通子集的運算推廣到模糊子集的運算上去。設(shè)A、B、C、D為論域

7、U上的四個普通子集，為論域U上的四個模糊子集，則兩類子集的運算規(guī)則可以對比如下：1.相等若A=B,則對一切uU,有CA(u)=CB(u)若，則對一切uU,有2.包含若AB，則對一切uU,有CA(u)CB(u)若，則對一切uU,有3.余集(補(bǔ)集)若A與互為余集，則對一切uU,有若與互為余集，則對一切uU,有4.并集若C=AB，則對一切uU，有Cc(u)=maxCA(u),CB(u)若，則對一切uU，有5.交集若D=AB，則對一切uU，有若,則對一切uU，有并集和交集的隸屬函數(shù)可表示為 其中“”和“”分別表示“取大”和“取小”運算。模糊子集的并、交運算可以推廣到任意多個模糊子集上去，設(shè) 且有式中s

8、up、inf分別表示上確界和下確界6.代數(shù)積模糊集與的代數(shù)積為，其隸屬函數(shù)規(guī)定為7.代數(shù)和模糊集與的代表和記為+，其隸屬函數(shù)，規(guī)定為 8.環(huán)和模糊集，和記為，其隸屬函數(shù)規(guī)定為規(guī)定為注意，當(dāng)雖在于1，但不超過1時，應(yīng)直接計算，而不應(yīng)取=1。顯然環(huán)和也可由下算出9.絕對差模糊集的絕對差記為，其隸屬數(shù)規(guī)定為=二、教育及其評估現(xiàn)象的模糊性所謂模糊性，是指客觀事物差異的中間過渡的“不分明性”、事物類屬的不清晰性、事物性狀的不確定性，表現(xiàn)了客觀事物兩極對立的不充分性和自身同一的相對性。教育這種事物也具有模糊性。(一)教育歸屬的不清晰性教育是培養(yǎng)人的社會活動，屬于一種社會范疇，其在類屬性是明確的而不是模糊的

9、。但其界限又不很分明，具有模糊性。從教育與社會的經(jīng)濟(jì)、 政治制度的關(guān)系來看，一定社會的教育總是受一定社會政治、 經(jīng)濟(jì)的制約，政治、 經(jīng)濟(jì)決定教育的性質(zhì)，決定教育的領(lǐng)導(dǎo)權(quán)和受教育權(quán)，決定教育的方針政策，決定教育的目的和某些教育內(nèi)容。教育的這些方面是隨著經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)的變化而變化的，屬于上層建筑的范疇。但是，自然學(xué)科的內(nèi)容、 各科教法、 教學(xué)中的組織形式、學(xué)制中的入學(xué)年齡、 各級各類學(xué)校的入學(xué)年限等，則不隨經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)的變化而變化，故不屬于上層建筑的范疇。從教育與生產(chǎn)力的關(guān)系來分析，教育能夠進(jìn)行勞動力再生產(chǎn)；教育勞動是一種生產(chǎn)勞動，因為它已經(jīng)成為“總體工人的一個器官”，教師勞動是為了“訓(xùn)練保持勞動能力”，他

10、們也是生產(chǎn)勞動者；同時，教育還可以使知識形態(tài)的生產(chǎn)力轉(zhuǎn)化為直接的生產(chǎn)力，它是從物質(zhì)生產(chǎn)部門中分化出的一個生產(chǎn)部門。因此，教育又具有生產(chǎn)力的屬性。實質(zhì)上，從教育的起源、教育發(fā)展的歷史事實以及教育與生產(chǎn)力和生產(chǎn)關(guān)系等方面綜合分析，我們認(rèn)為教育具有生產(chǎn)力和上層建筑的雙重屬性，具有階級斗爭和生產(chǎn)斗爭工具的雙重特征。這兩種屬性和職能是矛盾的，但又不具備充分性；又是統(tǒng)一的，但其有相對性；兩者同一于模糊性。(二)教育功能的相對性隨著人類文明的發(fā)展，教育的社會功能愈來愈顯示出多方面的意義。但是由于人們對社會發(fā)展和教育功能認(rèn)識的局限性，以及教育系統(tǒng)中每一個能動者的主觀性，教育諸方面的功能只能部分地或在一定程度上

11、實現(xiàn)，甚至于與社會的要求相反。具體說，在一定的歷史條件下，教育動機(jī)和教育效果不會是絕對地成“正比例”關(guān)系。不少的時候卻是，好的教育動機(jī)沒有收到良好的教育效果，同一教育方法的作用也是此一時彼一時，而某一受教育者的激奮感和危機(jī)感又可能來自同一教育內(nèi)容。因此，可以認(rèn)為，每一位教育者的作用或每一種教育方法的功能大小，則大多數(shù)是以兩極之間的某一狀態(tài)反映出來，它既是全體受教育者反應(yīng)中的概率性體現(xiàn)，也是某個受教育者接受程度的不確定性表現(xiàn)。教育功能的相對性還在于教育功能過程的多維性。教育功能體現(xiàn)的主要指標(biāo)是促進(jìn)受教育者的自我完善和社會化，而受教育者不僅是教育影響的接受者，也是教育過程的主體和能動者；不僅是教育

12、過程的參與者，也是社會之成員。受教育者性狀的極大可塑性，既表現(xiàn)在品德、知識、能力和個性各方面的質(zhì)和量的變化的彈性上，也存在于接受外界影響的多渠道、心理內(nèi)部因素的多因聯(lián)動、以及身心內(nèi)外交互作用的復(fù)雜性上。這種學(xué)習(xí)過程中功能上的復(fù)合性，使教育功能更具不穩(wěn)定性，使教育現(xiàn)象具有模糊性。(三)教育性狀的不確定性和教育評估的模糊性事物的類屬區(qū)分總是以它們的某種性狀為依據(jù)的。清晰事物某性狀是肯定的、分明的，而模糊性則是事物性狀的不確定性。在教育評估的實踐中，我們常說“某某學(xué)校辦學(xué)水平高”，“某位校長治校藝術(shù)好”、“某位教師很會教書”、“某套教材編得很好”、“某位學(xué)生數(shù)學(xué)成績一般”等等。這“高”、“好”、“很

13、會”、“很好”、“一般”等程度副詞就是一種性狀描述。但是，怎樣才算辦學(xué)水平“高”，“很好”到了什么程度，怎樣才算“很會”教書等等，顯然是模糊的。另外，事物性狀是一種質(zhì)的規(guī)定性，而同一質(zhì)的不同程度之間的差異則是一種量的區(qū)別，唯物辯證法質(zhì)量規(guī)律表明，事物的質(zhì)變，是一種量的不斷積累，也是事物不同發(fā)展階段的連接。在教育評估中，質(zhì)量互變過程的劃分往往也是模糊的。如高考初錄線為500分，考生錄取與否以500分為界而發(fā)生質(zhì)變，但不能因此就說落榜者的知識、技能和智力發(fā)展水平絕對不及錄取者。如此等等，教育評估過程中這種消除不了的性狀變化在量上的不確定性，決定了教育評估的模糊性。教育的模糊性是教育過程諸要素普遍聯(lián)系和不斷變化產(chǎn)生的差異性的反映，它本身是客觀的。但是，人們的認(rèn)識總是不斷地深入，去接近教育的本來面目的。由于認(rèn)識過程還要受到主客觀條件的限制，因此，認(rèn)識只能是教育現(xiàn)象的近似抽象。由于不同的人對教育現(xiàn)象判斷依據(jù)的差異性，使教育現(xiàn)象本身的確定性方面又產(chǎn)生了差異。因此，教育現(xiàn)象的相對性也是主客體交互作用的反映，也是人們的一種主觀判斷。綜上所述，教育現(xiàn)象的模糊性是其歸屬的不清晰性、功能的相對性、性狀的不確定性和評估的模糊性等特性在差異量上的一種客觀體現(xiàn)。它的變化服從因果律而有其確定性的一面