1、度量空間摘要：度量空間是一類特殊的拓?fù)淇臻g，并且它是理解拓?fù)淇臻g的一個(gè)重要過程.因此，本文通過度量空間的基本概念，力圖給出度量空間的一些重要性質(zhì).并且引入一些度量空間的其它性質(zhì).關(guān)鍵詞：度量空間導(dǎo)集閉集正文：度量空間是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一種基本的、重要的、最接近于歐幾里得空間的抽象空間.19世紀(jì)末葉，德國(guó)數(shù)學(xué)家G.康托爾創(chuàng)立了集合論，為各種抽象空間的建立奠定了基礎(chǔ).20世紀(jì)初期，法國(guó)數(shù)學(xué)家M.-R.弗雷歇發(fā)現(xiàn)許多分析學(xué)的成果從更抽象的觀點(diǎn)看來，都涉及函數(shù)間的距離關(guān)系，從而抽象出度量空間的概念.1.度量空間的定義度量空間是一類特殊的拓?fù)淇臻g，它對(duì)于拓?fù)淇臻g的理解起著非常重要的作用.因此，研究度量空間的一

2、些性質(zhì)是必要的.為了證明這些性質(zhì)，首先介紹以下定義.定義1.1設(shè)X是一個(gè)集合，若對(duì)于X中任意兩個(gè)元素x,y都有唯一確定的實(shí)數(shù)p(x,y)與之對(duì)應(yīng)，而且這一對(duì)應(yīng)關(guān)系滿足下列條件：(1)正定性p(x,y)之0,并且p(x,y)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=y；(2)對(duì)稱性p(x,y)=px,y);(3)三角不等式p(x,zAp(x,y)+p(y,z)則稱p是集合X的一個(gè)度量，同時(shí)將(X,p豚為度量空間或距離空間.X中的元素稱為點(diǎn)，條件(3)稱為三點(diǎn)不等式.定義1.2設(shè)(X,p混一個(gè)度量空間，xwX.對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)名A0,集合yWXp(x,y)記作B(x,一稱為一個(gè)以x為中心，以名為半徑的球形鄰域，簡(jiǎn)稱為x的

3、一個(gè)球形鄰域2度量空間的一些例子例2.1離散的度量空間設(shè)X是任意的非空集合，對(duì)X中的任意兩點(diǎn)（x,ywX）,令d(x,y)=qfl當(dāng)x-二y當(dāng)x=y容易驗(yàn)證d（x,y劑足關(guān)于距離的定義中的條件.我們稱（X,d）為離散的度量空問.由此可見，在任何非空集合上總可以定義距離.使它成為度量空間.例2.2序列空間S令S表示實(shí)數(shù)列（或復(fù)數(shù)列）的全體，對(duì)S中任意兩點(diǎn)x=（m寶,，時(shí)，）及y=P產(chǎn)2,Jn,），令2i1；i-i易知d（x,y泄足距離條件d(x,y)之0,d(x,y)=0的充要條件為x=y.(2.1)下驗(yàn)證d（x,y腳足距離條件d(x,y)d(x,z)+d(y,z)對(duì)任意z都成立.(2.2)為此

4、我們首先證明對(duì)任意兩個(gè)復(fù)數(shù)a和b,成立不等式a+b0.所以f（t）在b,g）上單調(diào)增加，由不等式1ta+bWa+b|,我們得到a+b1-.-|ab1+|a|+|ba上引1+|a|+|b|1+同+|b;二ab1+|a|1+|b令z=(。，g,，二,)，a=,b=。一，則a+b=-，代入上面不等式,行.11._11.IJiJii+.1+|易一i1+18,-111+|-i-ni|由此立即可知d(x,y泗足距離條件(2.2),即S按d(x,y)或一度量空間.例2.3有界函數(shù)空間B(A)設(shè)A是一給定的集合，令B(A底示A上的有界實(shí)值(或復(fù)值)函數(shù)全體,對(duì)B(A)中任意兩點(diǎn)x,y,定義dx,y=supxt

5、-yt.teA下面驗(yàn)證d(x,y)滿足條件(2.1)和(2.2).d(x,y)顯然是非負(fù)的.又d(x,y)=0等價(jià)于對(duì)一切twA,成立x(t)=y(t),所以x=y,即d(x,y并兩足(2.1),止匕外，對(duì)所有的twA成立xt-yt_xt-zth-|zt-yt_supxt-ztsupzt-yt.t.AtzA所以supx(t)-y(tjsupx(t)-z(t)十supz(ty(t).t三At三At三A即d(x,y閘足條件(2.2).特別地，當(dāng)A=hb】時(shí)，記B(A)為Bb.bl例2.4可測(cè)函數(shù)空間M(X)設(shè)M(X)為X上的實(shí)值(或復(fù)值)的Lebesgue可測(cè)函數(shù)全體，m為L(zhǎng)ebesgue測(cè)度，若

6、m(X)8,對(duì)任意兩個(gè)可測(cè)函數(shù)f(t)及g(t),由于f(t)-g(t)1+f(t)g(t)：二1所以這是X上的可積函數(shù)，令d(f,g)=Lf(t)-g(t)_dtX1+f(t)-g(t)ab1-|a1b如果把M(X)中的兩個(gè)幾乎處處相等的函數(shù)視為M(X)中的同一個(gè)元，那么利用,正-a+b|不等式_L1ab及積分性質(zhì)很容易驗(yàn)證d(f,g)是距離.因此M(X)按上述距離d(f,g)成為度量間.例2.5Cb,bl空間令Ca,b1表示閉區(qū)間b,bl上的實(shí)值(或復(fù)值)連續(xù)函數(shù)全體，對(duì)Cb,bl中任意兩點(diǎn)x,y,定義d(x,y)=maxx(t)-y(t)容易驗(yàn)證它滿足距離條件(2.1)和(2.2).例2

7、.6l2記l2=/x=Qx20l.設(shè)x=Lkl2,y=yjwl2定義,k工，1二2ad(x,y)=、(yk-xk).,k4則d是l2的距離。距離條件(2.1)是容易得出的，現(xiàn)檢驗(yàn)條件(2.2).對(duì)任何正整數(shù)n,x(n)=(xi，xn)和y(n)=(y1,，yn)都R中的元素，由Cauchy不等式xkYkx：、kT)kT再令右端nt8，即得Zxkyk|WZxkk=1kk=i再令左端的nt笛，即得,oc工XkYkkJ2-1oO2二X2kJoO.2-、yk:二二k1由此可得2、(Xkyk)-Xkcd2XXkykk4cOy；k1二二1二二m、x2-20x2y2)2-、y2k=1kz4k=4k=4Xk+

8、yk)1k4)j令取x=4=*,，=.以Xk=-4,ykk-，k代入上式，即可得的三點(diǎn)不等式d(,)0,使得對(duì)于任意的ywX,y#X，有p(X,y)6X.于是x的球形鄰域B(x,6x)=x,所以，&為開集.由x的任意性以及開集的性質(zhì)，故X為離散空間.必要性若X為離散空間，則對(duì)于任意的xwX,單點(diǎn)集&為開集，于是存在x的球形鄰域B(x,&)=x,令Sx=:,則對(duì)于任意的yWX并且y#x,有p(x,y)dx,所以，P為離散的度量.定理3.2度量空間的每一個(gè)子集的導(dǎo)集都是閉集.證設(shè)(X,P)為一個(gè)度量空間，A是X的任意一個(gè)子集.欲證A的導(dǎo)集d(A)為閉集，只需證ddAdA.如果d(d(A)=%顯然d

9、(d(A)戶d(A).如果d(d(A)#%由于d(d(A)戶AUd(A),所以對(duì)于任意xwd(d(A),有xeA或xwd(A).若xwA,則對(duì)于x的任意一個(gè)球形鄰域B(x,名)，有Bx,；dA-二.于是，對(duì)于任意的yBx,；dA-lx)，則y#x,取、=min*px,y,-px,y:則By,Bx,；,并且By,6iA-ly；k*=又由于B(y,3P(Ay)B(y”(A仁B(x.”(A&),所以b(x,)n(A-x)#*,因此綜上，對(duì)于任意xwd(d(A),有xwd(A).所以，d(d(A)戶d(A)定理3.3度量空間中的每一個(gè)單點(diǎn)集都是閉集.證(X,P訥一個(gè)度量空間，xwX,對(duì)于任意ywX,y

10、=x,令名=見羅，于是名下0,并且B(y,8&=,所以，y僅，于是“=僅,因此，單點(diǎn)集黑為閉集.由x的任意性，度量空間X中的每一個(gè)單點(diǎn)集都是閉集.定理3.4X是一個(gè)度量空間,如果X有一個(gè)基只含有有限個(gè)元素,則X必為只含有有限多個(gè)點(diǎn)的離散空間.證假設(shè)X是無限集.由于X是一個(gè)度量空間，由定理3.1可知，X中的每一個(gè)單點(diǎn)集都是閉集，于是，對(duì)于任意xwX,集合X-x都是開集.因此，拓?fù)淇臻gX中有無窮多個(gè)不同的開集.又由已知X有一個(gè)基只含有有限個(gè)元素，它們中的任意多個(gè)元素之并只能組成有限個(gè)開集，所以X中的開集只有有限個(gè)，這與上述矛盾！因此假設(shè)錯(cuò)誤，X只能是有限集.最后，由于含有有限多個(gè)點(diǎn)的度量空間都是離

11、散的度量空間，故由定理1可知，X是一個(gè)離散空間.定理3.5度量空間X中的任何一個(gè)收斂序列都只有惟一的極限.證設(shè)(X,P誕一個(gè)度量空間，匕十是X中的一個(gè)收斂序列.假若序列X電不少有兩個(gè)極限x和y.由于y=x,則p(x,y)A0.設(shè)；=px,y0,于是對(duì)于x的球形鄰域B(x,&),存在MiCZ+,使得當(dāng)iaMi時(shí)，有xiwB(x,名);對(duì)于y的球形鄰域B(y,8),存在M2CZ+,使得當(dāng)jaM2時(shí)，有x產(chǎn)B(y,w).則一方面B(x,B(y,)=.(3.1)另一方面，令M=maxM1,M2,于是當(dāng)iM時(shí)，有xiwB(x,w)nB(y,W),這與(3.1)式矛盾！所以假設(shè)錯(cuò)誤.因此，度量空間X只有一

12、個(gè)極限.定理3.6設(shè)X是一個(gè)度量空間，AcX,xcX有一個(gè)序列為*在X&中并且U斂于x當(dāng)且當(dāng)x是集合X的一個(gè)凝聚點(diǎn).證必要性設(shè)序列小乜+在X-板中并且斂于x.如果U是x的一個(gè)鄰域,則存在MwZ+使xM1,xM2,一U，因此xM1,xM2,UA-X)，從而UA-ix)=.所以x是A的一個(gè)凝聚點(diǎn).充分性如果x是A的一個(gè)凝聚點(diǎn)，則對(duì)于x任意一個(gè)或形鄰域B(x,z)有Bx,；A-X二，于是對(duì)于任給的正實(shí)數(shù)名有亍0,其中iwZ卡.并且Bx,：門(A-&)#4.UpP(X，y)X，yA定義4.1.2設(shè)(X,p顯一個(gè)度量空間，A是X的一個(gè)開覆蓋.實(shí)數(shù)兒：0成為開覆蓋A的一個(gè)Lebesgue數(shù)，如果對(duì)于X中的

13、任何一個(gè)子集A,只要diam(A)lnn,則任何一個(gè)實(shí)數(shù)都不是它的Lebesgue數(shù).定理4.1.1(Lebesgue數(shù)定理)序列緊致的度量空間的每一個(gè)開覆蓋有個(gè)Lebesgue數(shù).證設(shè)X是一個(gè)序列緊致的度量空間，A是X的一個(gè)開覆蓋.假若開覆蓋A1一沒有Lebesgue數(shù)，則對(duì)于任何iwZ+,實(shí)數(shù)-不是A的Lebesgue數(shù)，所以X有一i1個(gè)子集Ei使彳Sdiam(Ei)0使得球形鄰域B(y,w/A.由于序列XN0,XN1,收斂于y,所以存在整數(shù)M0使得當(dāng)M時(shí)2XNiuB(y,).令k為任意一個(gè)整數(shù)，使得kM+公，則對(duì)于任何z-ENk有：(z,y)1,假定點(diǎn)Xi,X2,，x已經(jīng)取定，由于BXi

14、二IB%二,，Bx二!不是X的覆蓋，選取xwx使得3八3)3力Xi正Jj；BXj,按照歸納原則，序列Xi,X2已經(jīng)取定，易見對(duì)于任意j3Ji,jWZ+,i#j,有P(Xi,Xj巨土，序列Xi,X2,沒有任何收斂的子序列，(因?yàn)?任彳ywX的球形鄰域By,-j中最多只能包含這個(gè)序列中的一個(gè)點(diǎn).)這與X是6J序列緊致空間相矛盾.r(九、(九現(xiàn)在設(shè)BBXi,BX2,.,BXn,I是開覆蓋B的一個(gè)有限子覆蓋.由L13八3)13力于其中每一個(gè)元素的直徑都小于九,所以對(duì)于每一個(gè)i=i,2,n存在A亡A似f,、的BXj,I匚A.于是，1A,A2,.An是A的一個(gè)子覆蓋.0,由球形鄰域構(gòu)成的集族B（x,wjx

15、wX是X的開覆蓋，它有一個(gè)有限子覆蓋，設(shè)為Ite（Xi,）（X2,名），B（Xn上易見有限集合&1,X2，Xn是X的一個(gè)Z網(wǎng).這證明X是完全有界的.為證明（X,P屈完備的，設(shè)序列Gn%以+是X中的一個(gè)Cauchy序列.由于緊致的度量空間是序列緊致的，所以序列Xnnez+有一個(gè)收斂的子序列，設(shè)這個(gè)子序列收斂于X這時(shí)序列國(guó)門,三+也必收斂于X.這證明X中的每一個(gè)Cauchy序列都收斂.另一方面，設(shè)（X,P屆一個(gè)完全有界白完備度量空間.為證明X是緊致的.只需證明它是序列緊致的.由于X是一個(gè)完備度量空間，這又只要證明X中的每一個(gè)序列有一個(gè)子序列是Cauchy序列.設(shè)&nne+是X中的一個(gè)序列.我們按歸

16、納方式對(duì)于每一個(gè)iWZ+定義一個(gè)序列%=媼+如下：首先，令%=XnLz+.其次對(duì)于i1,假定內(nèi)已經(jīng)定義設(shè)Q,Z2,，Zm是X的一個(gè)21序列%是序列的一個(gè)子序列，并且對(duì)于任何m,nwZ+有P（yim,yin）2+）.于是序列匕=的子序列用%,i=1,2,，的“對(duì)角線”序列口=y.匕+是序列xng+的一個(gè)子序列，由于對(duì)于任意i,jwZ+，iEj,有P（y,yjj）2寸平）,所以ot是一個(gè)Cauchy序列.定理4.2.2（Baire）設(shè)X是一個(gè)完備的度量空間.如果GG2,是X中的可數(shù)個(gè)稠密的開集，則n噂+Gi是X中的一個(gè)稠密子集.證設(shè)Gi，G2,是X中的可數(shù)個(gè)稠密的開集.為證明6=口應(yīng)戶是X中的一個(gè)稠密子集,只要證明對(duì)于X中的任何一個(gè)非空開集U有UnG#也設(shè)U是X中的一個(gè)非空開集.我們對(duì)于每一個(gè)YZ+,定義一