1、專題 59 二項(xiàng)式的展開項(xiàng)【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】縱觀近幾年的高考試題，本節(jié)內(nèi)容考題比較靈活，熱點(diǎn)是通項(xiàng)公式的應(yīng)用，利用通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)或特定 的項(xiàng)的系數(shù)，或已知某項(xiàng)，求指數(shù)n 求參數(shù)的值等，難度控制在中等或中等以下.本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，舉例說明1、 二項(xiàng)式(a+b $(展開式(a+b $=。佃+013+C2a2b2+ 川+0忽2廿 +川 +C：bn, 從恒等式中我們可以發(fā)現(xiàn)這樣幾個(gè)特點(diǎn)(1)(a+b$完全展開后的項(xiàng)數(shù)為(n +1 )(2)展開式按照a的指數(shù)進(jìn)行降幕排列， 對(duì)于展開式中的每一項(xiàng)，a,b的指數(shù)呈此消彼長(zhǎng)的特點(diǎn)。指數(shù)和 為n(3) 在二項(xiàng)式展開式中由于按a的

2、指數(shù)進(jìn)行降幕排列，所以規(guī)定“+”左邊的項(xiàng)視為a，右邊的項(xiàng)為b, 比如：(x +1$與(1 +x )雖然恒等，但是展開式卻不同，前者按x的指數(shù)降幕排列，后者按1的指數(shù)降幕 排列。如果是(a -b，則視為 韋+(4)丁進(jìn)行展開(4)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tr 1= C$(注意是第r 1項(xiàng))2、 二項(xiàng)式系數(shù)：項(xiàng)前面的C0,C：,|山C：稱為二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的和為2n二項(xiàng)式系數(shù)的多項(xiàng)式乘法的理論基礎(chǔ)是乘法的運(yùn)算律(分配律，交換律，結(jié)合律)，所以在展開時(shí)有這樣一個(gè)特征：每個(gè)因式都必須出項(xiàng)，并且只能出一項(xiàng)，將每個(gè)因式所出的項(xiàng)乘在一起便成為了展開時(shí)中的某項(xiàng)。對(duì)于a b可看作是n個(gè)a b相乘，對(duì)于an_r

3、br意味著在這n個(gè)a b中，有n-r個(gè)式子出a, 剩下r個(gè)式子出b，那么這種出法一共有C；種。所以二項(xiàng)式展開式的每一項(xiàng)都可看做是一個(gè)組合問題。而 二項(xiàng)式系數(shù)便是這個(gè)組合問題的結(jié)果。3、系數(shù)：是指該項(xiàng)經(jīng)過化簡(jiǎn)后項(xiàng)前面的數(shù)字因數(shù)注：(1)在二項(xiàng)式定理中要注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)。二項(xiàng)式系數(shù)是展開式通項(xiàng)公式中的cn，對(duì)于確定的一個(gè)二項(xiàng)式，二項(xiàng)式系數(shù)只由r決定。而系數(shù)是指展開并化簡(jiǎn)后最后項(xiàng)前面的因數(shù)，其構(gòu)成一方面是二項(xiàng)式系數(shù)，同時(shí)還有項(xiàng)本身的系數(shù)。例如：(2x+1 |展開式中第三項(xiàng)為T3=C；、(2x)312，其中C；為該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而T3(2xf 12=80 x3化簡(jiǎn)后的結(jié)果80為該項(xiàng)的系數(shù)（2

4、 ）二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念不同，但在某些情況下可以相等：當(dāng)二項(xiàng)式中每項(xiàng)的系數(shù)均為1時(shí)（排除項(xiàng)本身系數(shù)的干擾），則展開后二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)相同。例如（x+lj展開式的第三項(xiàng)為T3=G2.（X）312， 可以計(jì)算出二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)均為 103、有理項(xiàng)：系數(shù)為有理數(shù),次數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)，比如2X2,丄就是有理項(xiàng)，而3x.5x就不是有理項(xiàng)。5xnn4、（a +b ）與（a -b ）的聯(lián)系：首先觀察他們的通項(xiàng)公式：（a+bj；:Tr=C；an-br（ab）n:蟲詁心（b ）r=（1 j C；anbr兩者對(duì)應(yīng)項(xiàng)的構(gòu)成是相同的，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)。其絕對(duì)值相等。所以在考慮a-bn系數(shù)的絕對(duì)值問題時(shí)，可將

5、其轉(zhuǎn)化為求a b “系數(shù)的問題5、 二項(xiàng)式系數(shù)的最大值：在cnCIC；中，數(shù)值最大的位于這列數(shù)的中間位置。若n為奇數(shù)（共有偶數(shù)23項(xiàng)），則最大值為中間兩個(gè)，例如n=5時(shí)，最大項(xiàng)為C5-C5，若n為偶數(shù)（共有奇數(shù)數(shù)項(xiàng)），則最大值為3中間項(xiàng)，例如n = 6時(shí)，最大項(xiàng)為Ce證明：在C,Cnll,Cn中的最大項(xiàng)首先要比相鄰的兩項(xiàng)大，所以不妨設(shè)最大項(xiàng)為C，則有n!_ _ n_ ri i:cn蘭陽門（n-r!（r-1Ln-（r-門喬石九 = ixlO = 例 7.【2017 山東，理 11】已知 1 3xn的展開式中含有 x2項(xiàng)的系數(shù)是54，則n二【答案】4【解析】由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式.rCn3xr3乂

6、，令r=2得：C23 54，解得n=4.點(diǎn)睛：這幾個(gè)題都是二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是一是利用恒等定理(兩個(gè)多項(xiàng)式恒等，則對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等)；二是賦值.這兩種思路相結(jié)合可以使得二項(xiàng)展開式的系數(shù)問題迎刃而解.另外，通項(xiàng)公式主要用于求二項(xiàng)式的指數(shù)，求滿足條件的項(xiàng)或系數(shù)， 求展開式的某一項(xiàng)或系數(shù)， 一般都需先轉(zhuǎn)化為方程(組)求出n,r, 然后代入通項(xiàng)公式求解.例 8.【安徽省宿州市 2018 屆三?！?宀0 + L屮的展開式中川項(xiàng)的系數(shù)為 _A. 15B. 20C. 30D. 35詳解：二項(xiàng)式二二；一：匸的展開式的通項(xiàng)公式為例 6.【2018 年理數(shù)天津卷】在的系數(shù)為的展開式中,5【答案】-132【

7、解析】分析：由題童結(jié)合二項(xiàng)式展開式的逾頁公式首先寫出展開式，然后結(jié)合展開式整理計(jì)算即可求得最絡(luò)結(jié)果一詳解：?jiǎn)箮允綖椋憾∈瑢m叱區(qū)二當(dāng) lr = 2, 4 時(shí)，十嚴(yán)含叱護(hù)以 2,當(dāng) 12 5,心如匚幾“一迥曠口均於，據(jù)此可得：展幵式中小頁的 系 60-192 =-132.點(diǎn)睛：（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件（特定項(xiàng)）和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)（求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整 數(shù)，且nr，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等）；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng).（2）求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡(jiǎn)或利

8、用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解./、9例 9.已知+ i 的展開式中X3項(xiàng)的系數(shù)為-2，則實(shí)數(shù)a的值為Iax）2【答案】-2答案：a=2i =0,12的位置如圖所示，則a -y【解析】思路：先利用通項(xiàng)公式求出X3的項(xiàng)，在利用系數(shù)的條件求出a的值即可解：Tr q=c9x9_r= c9ax1rx9_2r9 - 2r = 3= r = 3T4二C；-la丿x38433Xa84a3n是大于 1 的自然數(shù),1 -的展開式為aa。+ a?x2+ anXn.若點(diǎn)A (i, ai),【答案】378即n =3a，解得a =3.n =3aA. 135 B. 105 C. 30 D. 15【答案】A即常數(shù)項(xiàng)為7牛=15

9、x9 = 135【答案】B所以 因此 點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略最后求出其參數(shù).的展開式中不含有項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)之和為【解析】根據(jù)題意知a0=1,3,a2= 4，結(jié)合二項(xiàng)式定理得C1nC：丄=3a丄-42a【精選精練】1 .在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為(A. L B.C.D.【解析】丁耳+l=Cf(返C3rxa4f,2 . 2018 屆湖北省 5 月沖刺】二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)為(A.135135135B.C.D.詳解：再根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)確定常數(shù)項(xiàng)(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第tl項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出_值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng),求特定項(xiàng)的系數(shù)可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)

10、， 再由通項(xiàng)寫出第tl項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出Ei值,的二項(xiàng)式,【解析】分析：先看作展開式中常數(shù)項(xiàng):，選 B.【答案】D【解析】分析：宙題意首先結(jié)合通項(xiàng)公式寫出通項(xiàng)，然后結(jié)合題意求得卅的系數(shù)求得各項(xiàng)系數(shù)和，最后作差即可求得最終結(jié)果.譯解：(1 -肚尸的展開式的通項(xiàng)公式為:耳十，=需(氏)= (2F 需好， 令=河得 0 的系數(shù)為(2)叱=-1 現(xiàn)(12 切中,令工可得：各項(xiàng)系數(shù)和為(1-2)* =1.據(jù)此可得： 耳2洱的展開式中不含有眉項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)之和為卩-1-1創(chuàng)2 1航.本題選擇D選項(xiàng).14在二項(xiàng)式(1 x)n的展開式中，偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)為32,則展開式的中間項(xiàng)為2【答案】C2nd=25，即n =

11、6,中間項(xiàng)T4=C；（X）3=-5X3，故選 C2 25.【2018 屆河北省衡水中學(xué)三輪復(fù)習(xí)】丨才|展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A西 B.【答案】B【解析】分析：將原式化簡(jiǎn)得到(疋十吉-2=(工-9爲(wèi)然后再根據(jù)二項(xiàng)展幵式的通項(xiàng)求解.詳解：由題意(詁4古一2)仁0-子-項(xiàng)展幵式的通項(xiàng)為徐+n =丁 = (-1)弋訂召Hr = 612“屁令F = 3得常數(shù)項(xiàng)対7；=(-切緒=-20.故選 B.點(diǎn)睛：對(duì)于三項(xiàng)式的問題，解題時(shí)可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式求解；若無法轉(zhuǎn)化，則要根據(jù)組合的方法求解.A.B.5C.5353XD.X222【解析】偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為D. E397.【2018 屆河南省最后一次模擬】在的展開式中

12、，含岡項(xiàng)的系數(shù)是 _【答案】-44詳解： （北_2尤）2=（工_ ）4（ _ 4 戈 + 斗龍為 分別求出匡亙展開式中西勺的項(xiàng)，所以含 畫項(xiàng)為F討（-iN】 +c針鉗+ 匚話 1( - iy -(4 工)-44x3- - ?含鬥項(xiàng)的系數(shù)是巳也，故答案為EH:”召 F8.【2018 屆湖北省黃岡中學(xué) 5 月三?！恳阎?_展開式的常數(shù)項(xiàng)是第 7 項(xiàng)，則正整數(shù)冋的值是_【答案】106.【2018 屆安徽亳州市渦陽一中最后一卷】已知等，則實(shí)數(shù)u的值為（5A.6rnD.I_I【解展開式中的常數(shù)項(xiàng)與當(dāng)戸詞時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為當(dāng)?shù)r(shí),故選 A.【解析】分析:咒_ 1 (1 _2K) = QT_ ) (1 _妝 +

13、4x ),求出 - 1 尸 展開式中從而可得結(jié)杲C.【答A分析:由利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式列方紅 J 展開式中程求解即可曰通項(xiàng)式為L(zhǎng)I 的系數(shù)為S6解析分析：利用通項(xiàng)公式，令第和頁的臬指數(shù)為零，列方程求解即可.詳解:(2疋三亍展開式的常數(shù)項(xiàng)是第7項(xiàng)=(2x)1(令y = 2心(?怎2叫令n-10=0f解得n = 8,故答案為10.【答案】EZ u【解析】分析：先根據(jù)二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式得項(xiàng)的次數(shù)與系數(shù)，再根據(jù)次數(shù)為零，算出系數(shù)得常數(shù)項(xiàng)，根據(jù)系數(shù)大小比較，解得系數(shù)最大的項(xiàng)點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1) 求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第旦項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出閃值即可.(2)

14、 已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)， 再由通項(xiàng)寫出第 旦項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出閃值, 最后求出其參數(shù)10._【騰遠(yuǎn)2018 年浙江紅卷】已知 杠十詞(1 +浮|的展開式中同的系數(shù)為匚衛(wèi)，則更三_ ，此多項(xiàng)式的展開式中含 岡的奇數(shù)次幕項(xiàng)的系數(shù)之和為 _.【答案】-2 -329.【2018 屆浙江省金麗衢十二校第二次聯(lián)考】在_ ;系數(shù)最大的項(xiàng)是的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為詳解：所以由丨得- q 常數(shù)項(xiàng)為因?yàn)橄禂?shù)最大的項(xiàng)系數(shù)為正，所以只需比較11【解析】分析；由題意的，滾開式中含瀘的系數(shù)為=20 4-15 = -10,解得 n乙 令 f 3 =C1-2x)(1 + x)fi二術(shù)+呻+ 口樣丁 *

15、陽込分別令黑=1 和髯=-1,則兩式相減，即可求解. 詳解：由題意的，聶幵式中含護(hù)的系數(shù)為借 i 繪=朗十 1 弘= -10,解得“7令 f (x) = (1 2x)(1 4-= a卄町斗 + 嗎艾11+ 4令 x =貝 i% +召 4 他*+十a(chǎn)7= 64令 x 二一丄貝兔*嗎* *E7= 0.兩式相減，貝帳開式中含龍奇次幕的系數(shù)之和為如+ aa+a54-a7=型呼占=-顯11.2018 屆湖北省華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)5 月押題】已知h+朋)口-力円的展開式中，岡的系數(shù)為(1-2 滬|中申|的系數(shù)，再根據(jù)冏的系數(shù)為 可求出 a 的值.詳解：令UEFI的通項(xiàng)為卜=吒(_ 2),所以 1X(-80 ) +aX40=40a-80=-20,故答案為：LI點(diǎn)睛：(1)本題主要考查二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)式展開式的項(xiàng)的系數(shù)，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)的掌握能力和 分類討論思想方法(2)解答本題的關(guān)鍵是求 灶-肚円中匡同的系數(shù)，然后日的系數(shù)為 1X(-80 )+ax40=40a-80