1、2020-2021中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)分類練習(xí)圓與相似綜合解答題附詳細(xì)答案、相似1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y=- x+ J與x軸、y軸分別交于點(diǎn) B、A,與直線y=相交于點(diǎn)C.動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)在x軸上以每秒5個(gè)單位長度的速度向B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C出發(fā)在OC上以每秒4個(gè)單位長度的速度，向 。勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒（0vtv(2)(3)連接PQ,若4OPQ與OBC相似，求t的值；連接CR BQ,若CP± BQ,直接寫出點(diǎn) P坐標(biāo).IG/6【答案】（1）解：對(duì)于直線y= - J x+ 3 ,令x=0,得到y(tǒng)=16A (0,令 y=0,則 x=10, B (10, 0),3-x3 4

2、G- 7 ,1，解得C (.OC=3224亨* F二8,BC=OP OQ(2)解：當(dāng)比 酸時(shí)，OPMOCB, 5t 8 - 4t "S 一 川, t=寧 OPM OBC, t=1,32綜上所述，t的值為 "或1s時(shí)，4OPQ與OBC相似/ OCB=90 ； 當(dāng)/PCH=Z CBQ 時(shí)，PCX BQ. / PHO=Z BCO=90 ；.PH=3t, OH=4t, tanZ PCH=tanZ CBQ4f6 t=百或0 (舍棄)， .t= g s 時(shí)，PCX BQ.【解析】【分析】(1)根據(jù)直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出A,B點(diǎn)的坐標(biāo)，解聯(lián)立直線AB,與直線OC的解析式組成的方程

3、組，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可直接算出OC,OB的長；(2)根據(jù)速度乘以時(shí)間表示出OP=5t, CQ=4t, OQ=8-4t,當(dāng)OP ： OC=OQ： OB時(shí)， OPQsocb,根據(jù)比例式列出方程，求解得出t的值；當(dāng)OP： OB=OQ： OC時(shí)， OPQsobc,根據(jù)比例式列出方程，求解得出 t的值，綜上所述即可得出 t的值；(3)如圖作 PHI±OC于H.根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出/OCB=90,從而得出當(dāng)/PCH=/ CBQ時(shí)，PCX BQ.根據(jù)同位角相等二直線平行得出PHI/ BC,根據(jù)平行線分線段成比例定理得出 OP： OB=PH： BC=OH： OC根據(jù)比例式

4、得出 PH=3t, OH=4t,根據(jù)等角的同 名三角函數(shù)值相等及正切函數(shù)的定義，由tan/PCH=tan/ CBQ列出方程，求解得出 t的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得出答案。2.如圖，BD是DABCD勺對(duì)角線，AB±BD, BD=8cm, AD=10cm,動(dòng)點(diǎn) P從點(diǎn) D出發(fā)，以 5cm/s的速度沿DA運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn) A,同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線 BD-DC運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn) C,在 BD、DC上分別以8cm/s、6cm/s的速度運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)Q作QMXAB,交射線 AB于點(diǎn) M,連接PQ,以PQ與QM為邊作DPQMN設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t(s) (t>0) , 口 PQMN與 口 ACD重疊部分圖

5、形的面積為 S (cm2).(2)當(dāng)點(diǎn)N落在邊AB上時(shí)，求t的值.(3)求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.(4)連結(jié)NQ,當(dāng)NQ與4ABD的一邊平行時(shí)，直接寫出t的值.【答案】(1) (10-5t)(2)解：如圖，當(dāng)點(diǎn) N落在邊 AB上時(shí)，四邊形 PNBQ為矩形.,PN/DB, . APNM ADB, ，AP:&更匚M)圖a）如圖，過點(diǎn)P作P已BD于點(diǎn)E,則PE=3t.AD=PN: DB,(105t) : 10=8t: 8, 120t=8O(3)解：分三種情況討論：b）如圖，過點(diǎn)P作PE! BD于點(diǎn)E,則PE=3t，設(shè)PN交AB于點(diǎn)F時(shí),5 - - x 3r(8 -+ 8t) = Sr2 +

6、12tc）如圖，當(dāng)/ ：，w d時(shí),PF=8-4t, FB=3t, PN=DB=QM=8, . FN=4t, DQ=6(t-1),.BM=DQ=6(t-1) . . /GBM=/A, / DBA=/ GMB , . BGMs ABD, ，GM: BM=DB :AB,解得:GM=8t-8,S=S平行四邊形 pnmq-Sa fmn-Sa bmg=8 (9t-6) 一二乂 4t(9t-6) x (6t-6) (8t-8)24t2(0 < f W2Ot2 +< t 1)3綜上所述:42 + 132t72(1 < t 2)圖5（4）解：分三種情況討論.當(dāng)NQ/ AB時(shí)，如圖5,當(dāng)AD/

7、NQ,且 Q在BD上時(shí)，如圖6.PNQD 和 PNBQ都是平行四邊形， ，PN=DQ=BQ,，8t+8t=8 ,解得:當(dāng)AD/NQ,且Q在DC上時(shí)，如圖7,可以證明當(dāng)Q與C重合，即直線 NQ與直線BC重合時(shí)，滿足條件，如圖 8,【解析】【解答】解：(1) (10-5t);過 P 作 PF,BD 于 F,貝U PF=3t, DF=4t, PN=FQ=BQ=8t, . . BD=8t+8t+4t=8 ,解得:此時(shí) DQ=AB='8 6 卜 .一 =6, t= S 6 =2.r - H綜上所述：?；颉痉治觥?1)由題意可得，DP=5t,所以AP=AD-DP=10-5t;(2)由歐勾股定理的逆

8、定理可得/ABD毋/ ,所以根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可得，當(dāng)點(diǎn) N落在邊AB上時(shí)，四邊形 PNBQ為矩形；由平行線分線段成比例定理可得 AP BQ比例式：他 出，則可得關(guān)于t的方程，解方程即可求解；(3)由(2)知，當(dāng)DPQMN全部在DABCD中時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是，秒，由已知條件可知，點(diǎn) Q 在BD邊上的運(yùn)動(dòng)速度是 8cm/s,在DC邊上的運(yùn)動(dòng)速度是 6cm/s ,所以當(dāng)點(diǎn) Q運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn) 時(shí)，點(diǎn)P也運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn) A,所以分3種情況：a)如圖，過點(diǎn)P作P已BD于點(diǎn)E,當(dāng)0 < t占曄，S=BQ'PE;41b)如圖，過點(diǎn) P作PE± BD于點(diǎn)E,設(shè)PN交AB于點(diǎn)F,當(dāng)

9、 3< t w 1 時(shí)， S = (PF+BQ) PE;c)如圖，當(dāng)1 < t wa S行四邊形PNMQ的面積-三角形FNM的面積-三角形BMG 的面積；(4)由題意NQ與4ABD的一邊平行可知，有 3種情況：當(dāng) NQ / AB; 當(dāng)AD / NQ,且 Q在BD上時(shí)；當(dāng)AD/ NQ,且Q在DC上時(shí)。分這三種情況根據(jù)已知條件即可求解。3.如圖，在一個(gè)長40 m、寬30 m的矩形小操場(chǎng)上，王剛從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A- B-C的路線以3 m/s的速度跑向C地.當(dāng)他出發(fā)4 s后，張華有東西需要交給他，就從A地出發(fā)沿王剛走的路線追趕，當(dāng)張華跑到距B地2三m的D處時(shí)，他和王剛在陽光下的影子恰好落在

10、一條直線上.(1)此時(shí)兩人相距多少米(DE的長)?(2)張華追趕王剛的速度是多少？【答案】(1)解：在RHABC中：,. AB=40, BC=30,.AC=50 m.由題意可得DE/AC, RtA BD& RtA BAC,8DE 5 即=五.16 解得DE=5 m.答：此時(shí)兩人相距(2)解：在 RtBDE中:16d DB=23, DE=3 ，BE=2 m.王剛走的總路程為 AB+BE=42 m.，王剛走這段路程用的時(shí)間為 3=14(s).張華用的時(shí)間為14-4=10(s),.張華走的總路程為 AD=AB-BD=40-2I=37，1(m),1，張華追趕王剛的速度是 37+ 10= 3m/

11、s).答：張華追趕王岡I的速度約是3.7m/s.【解析】【分析】(1)在RtABC中，根據(jù)勾股定理得 AC=50 m,利用平行投影的性質(zhì)得 DE/ AC,再利用相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊的比相等可求得DE長.(2)在RtBDE中，根據(jù)勾股定理得 BE=2 m,根據(jù)題意得王剛走的總路程為 42 m,根據(jù)時(shí) 間=路程斑度求得王剛用白時(shí)間，減去 4即為張華用的時(shí)間，再根據(jù)速度=路程卻寸間解之即可得出答案.4.如圖1,等腰4ABC中，AC= BC,點(diǎn) O在AB邊上，以 O為圓心的圓與 AC相切于點(diǎn) C,交AB邊于點(diǎn)D, EF為。的直徑，EF± BC于點(diǎn)G.圖1(1)求證：D是弧EC的中點(diǎn)；(

12、2)如圖2,延長 CB交。O于點(diǎn)H,連接 HD交OE于點(diǎn)K,連接 CF,求證：CF= OK+DO;圖二(3)如圖3,在(2)的條件下，延長 DB交。O于點(diǎn)Q,連接QH,若DO= 6 , KG= 2,求QH的長圖1.AC是。O的切線,OCX AC,/ ACO=90 ；a A A+Z AOC=90 ,° .CA=CB,/ A=Z B, EFL BC,/ OGB=90 ；/ B+/BOG=90 ；/ BOG=/AOC, / BOG=Z DOE,/ DOC=Z DOE, .點(diǎn)D是應(yīng)的中點(diǎn)(2)證明：如圖2中，連接OC. EFL HC, .CG=GH, EF垂直平分HC, .FC=FH / C

13、FK= / COE / COD=Z DOE, / CFK之 COD, I / CHK= / COD, 1/ CHK= / CFK點(diǎn)K在以F為圓心FC為半徑的圓上, FC=FK=FH DO=OF, . DO+OK=OF+OK=FK=CF即 CF=OK+DO(3)解：如圖3中，連接OC、彳HMLAQ于M.設(shè)OK=x,則CF= +x,OG=2 x,GF=.CG2=CF2-FG2=CC2-OG225 圖25：. ( (+ +x) 2 - 6 - ( 2 x) 2=(仃)2 - ( 2 x) 2J解得x= 6 , .CF=5, FG=4, CG=3, OG= 6 , / CFE=/ BOG, .CF/

14、OB,cf a eg. 詬=國，N 22可得 OB= IS , BG= 9 , BH= 9 ,色撒卻I由BHMsBOG,可得 OB =仇;=06 , .BM=g，HM= 口 MQ=OQ-OB - BM=卜 在 RtA HMQ 中，【解析】【分析】(1)如圖1中，連接OC.根據(jù)切線的性質(zhì)得出 OCLAC,根據(jù)垂直的定 義得出/ ACO=90 ,根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出/ A+Z AOC=90 ,根據(jù)等邊對(duì)等角得出ZA=Z B ,根據(jù)垂直的定義得出/ OGB=90 °,根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出 ZB+Z BOG=90 ;根據(jù)等角的余角相等得出/ BOG=Z AOC,根據(jù)對(duì)頂角相等

15、及等量代換得出/ DOC=Z DOE,根據(jù)相等的圓心角所對(duì)的弧相等得出結(jié)論；(2)如圖2中，連接OC.根據(jù)垂徑定理得出 CG=GH,進(jìn)而得出EF垂直平分HC,根據(jù)線 段垂直平分線上上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等得出FC=FH根據(jù)圓周角定理及等量代I換得出ZCFK=/ COD, /CHK=/CFK從而得出點(diǎn) K在以F為圓心FC為半徑的圓上，根 據(jù)同圓的半徑相等得出 FC=FK=FH DO=OF,根據(jù)線段的和差及等量代換得出 CF=OK+DQ(3)如圖 3 中，連接 OG 彳HMLAQ于 M.設(shè) OK=x,則 CF= + +x, OG=2 x, GF= 6-(2-x),根據(jù)勾股定理由 CG2=CP

16、 - FG2=CO2 - OG2 ,列出關(guān)于x的方程，求解得出x .的值，從而得出 CF=5, FG=4, CG=3, OG=f根據(jù)平行線的判定定理得出，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩 直線平行得出 CF/ OB,根據(jù)平行線分線段成比例定理得出 C F：O B = C G： G B = F G : G O ,進(jìn)而可得 OB,BG,BH的長，由 BHMs BOG,可得 B H ： O B = B M : B G = H M ： O G,再得出BM,HM,MQ的長，在RtAHMQ中，根據(jù)勾股定理得出 QH的長。5.如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角|燈|與磔滿足2d十#=90。，那么我們稱這樣的三角形為準(zhǔn)互余三角形(1)若 4

17、ABC 是 準(zhǔn)互余三角形 ”，Z 0> 90°, /A= 60°,則/B=:;(2)如圖，在 RtABC 中，Z ACB= 90°, AC= 4, BC= 5,若 AD 是/BAC 的平分線，不難證明4ABD是準(zhǔn)互余三角形試問在邊 BC上是否存在點(diǎn) E (異于點(diǎn) D),使得 ABE也是 推互余三角形”？若存在，請(qǐng)求出 BE的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.(3)如圖,在四邊形 ABCD 中，AB=7, CD= 12, BD± CD, Z ABD= 2/BCD,且 ABC 是準(zhǔn)互余三角形求對(duì)角線AC的長.【答案】(1) 15°(2)解：存在，/

18、B+/BAC=90 ,°.AD是/ BAC的平分線，Z BAC=2/ BAD,/ B+2/ BAD=90 ； .ABD是 準(zhǔn)互余三角形”，又ABE也是 推互余三角形/ B+2/ BAE=90 ； / B+/BAE+/ EAC=90 ,° / EAC玄 B,又ZC=Z C, .CABCBACA b3 ,即 CA2=CB ce,. AC=4, BC= 5,3 .CE=尸BE=BC-CE=5-(3)解：如圖，WABCD沿BC翻折得到ABCF, .CD=12, . CF=CD=12 / BCF=Z BCD/ CBD=Z CBF,又- BD± CD, / ABD=2/ BC

19、D, / CBD+Z BCD=90 ,° .2 / CBD+2Z BCD=180 ,°即 / ABD+Z CBD+Z CBF=180 , A、B、F三點(diǎn)共線,在 RtAFC 中， / CAB+Z ACF=90 ,°即 / CAB+Z ACB+Z BCF=90 , / CAB+2/ACBw 90 °.ABC是 推互余三角形 .2 / CAB+Z ACB=90 ；/ CAB=Z BCF, / F=Z F, .FCBAFACFC FBFA FC即 FG=FAFB, 設(shè) BF=x, .AB=7, . FA=x+7,. x (x+7) =122,解得：xi=9,

20、x2=-16 (舍去)，AF=7+9=16.在RtMFC中, . ac= 盧-華=+ F =20.【解析】【解答】(1)解：.ABC是稚互余三角形”，ZO 90°, /A=60°, .2 / B+ZA=90 ； .2 / B+60 =90 ;/ B=15 :故答案為：15°【分析】(1)根據(jù) 準(zhǔn)互余三角形”，的定義，結(jié)合題意得2/B+/A=90。，代入數(shù)值即可求出/B度數(shù).(2)存在，根據(jù)直角三角形兩內(nèi)角互余和角平分線定義得/ B+2/BAD=90 ,根據(jù)準(zhǔn)互余三角形”，定義即可得4ABD是 準(zhǔn)互余三角形”；根據(jù)4ABE是 準(zhǔn)互余三角形”，以及直角 三角形兩內(nèi)角互

21、余可得 / EAC=Z B,根據(jù)相似三角形判定 “AAT得 CA& ACBA<,再由相似CA CE16三角形性質(zhì)得 萬一不曲此求出CE=7 .從而得BE長.(3)如圖，W BCD沿BC翻折得到4BCF根據(jù)翻折性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)、推互余三EC FB角形”定義可得到FCNFAG再由相似三角形性質(zhì)可得向一代，設(shè)BF=x，代入數(shù)值即可求出x值，從而求出AF值，在RtAFC中，根據(jù)勾股定理即可求得AC長.6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) y= (x-a) (x-3)的圖像與x軸交于點(diǎn)A、B (點(diǎn) A在點(diǎn)B的左側(cè))，與 y軸交于點(diǎn)D,過其頂點(diǎn) C作直線CP!x軸，垂足為點(diǎn) P,連接(

22、2)若4AOD與4BPC相似，求a的值；(3)點(diǎn)D O、C、B能否在同一個(gè)圓上，若能，求出 a的值，若不能，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)解：./= (x-a) (x-3) (0<a<3)與x軸交于點(diǎn) A、B (點(diǎn)A在點(diǎn)B的左 側(cè))A (a, 0) , B (3,0),當(dāng) x=0 時(shí)，y=3a,.D (0,3a)(2)解：/A (a, 0) , B (3,0) , D (0,3a)& * $，對(duì)稱軸 x= ? ,AO=a, OD=3a,a + 3 3 - 43 - a "PB=3- 2 = 2 c pc= ' 2當(dāng)AOgBPC時(shí)，n3a3 一 4? _ J即-

23、4,解得：a= f 3 (舍去)； AOD/CPB,解得：ai =3 (舍)，a2=.綜上所述：a的值為彳.(3)解：能；連接 BD,取BD中點(diǎn)M ,FmD、B、。三點(diǎn)共圓，且 BD為直徑，圓心為若點(diǎn)C也在此圓上，.MC=MB,化簡彳導(dǎo):a4-i4a2+45=0,( a2-5) ( a2-9) =0,a2=5 或 a2=9,1- ai=e，a2=- 口，a3=3 (舍)，a4=-3 (舍)，,0<a<3, a= J ,當(dāng)a=/時(shí)，D、O、C、B四點(diǎn)共圓.【解析】 【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的圖像與x軸相交，則y=0,得出A (a, 0) , B(3,0),與y軸相交，則x=0，得出

24、D (0,3a)(2)根據(jù)(1)中A、B、D的坐標(biāo)，得出拋物線對(duì)稱軸x= 2 ,AO=a, OD=3a,代入求得頂點(diǎn)C (PC=),從而得再分情況討論：I 士 I 3當(dāng)AODBPC時(shí)，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得(舍去)；解得：a=AODCPB,根據(jù)相似三角形性質(zhì)得,解得：ai=3 (舍)(3)能；連接 BD,取BD中點(diǎn)M,根據(jù)已知得 D、B、O在以BD為直徑，M為圓心(三，F(xiàn) a)的圓上，若點(diǎn) C也在此圓上，則 MC=MB,根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得一個(gè)關(guān)于 a的方程，解之即可得出答案 7.在4ABC 中，ZACB= 90°, AB= 25, BC= 15.(1)如圖1,折疊4ABC使點(diǎn)A落在

25、AC邊上的點(diǎn)D處，折痕交 AC、AB分別于Q、H,若Saabc= 9S>adhq , 求 HQ 的長.(2)如圖2,折疊4ABC使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處，折痕交 AC、AB分別于E、F.若使得4CMP和4HQP相似？若存在，求出PQ的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.FM/AC,求證：四邊形 AEMF是菱形;(3)在(1)(2)的條件下，線段 CQ上是否存在點(diǎn)P,圖1在4ABC中，. /AC- 90°, AB= 25, BC= 15AC=、上學(xué)/5 =20,設(shè) HQ=x ,HQ / BC ,AQ= x ,/ Saabc= 9&dhq ,1I JPH - X 20 冷 9樂-

26、MXXx ,，x= 5或-5 （舍棄），.HQ=5,故答案為5.(2)解：如圖2中,C M 3圖2由翻折不變性可知： AE= EM , AF=FM , . FM / AC ,/ AEF= / MFE ,/ AEF= / AFE ,.AE= AF ,.AE=AF= MF= ME ,四邊形AEMF是菱形.FB= 5m ,設(shè) AE= EM=FM = AF=4m ,則 BM=3m4m+5m= 25,15m =2G,. QG=5, AQ= 3 ,46.QC=1G解得：x=10或3 ,J6經(jīng)檢驗(yàn)：x= 10或3是分式方程的解，且正確，2 J6綜上所，滿足條件長 QP的值為 /或10或方.【解析】【分析】(

27、1)利用勾股定理求出 AC,設(shè)HQ=x,根據(jù)Saabc=9Sa dhq ,構(gòu)建方程即可解決問題；(2)想辦法證明四邊相等即可解決問題；(3)設(shè)AE=EM=FM=AF=4m,則BM=3m , FB=5m,構(gòu)建方程求出 m的值，分兩種情形分別求解即可解決問題8.拋物線y=ax2+bx+3 (aw。經(jīng)過點(diǎn)A ( - 1, 0) , B ( -，0),且與y軸相交于點(diǎn) C.(1)求這條拋物線的表達(dá)式；(2)求/ ACB的度數(shù)；(3)設(shè)點(diǎn)D是所求拋物線第一象限上一點(diǎn)，且在對(duì)稱軸的右側(cè)，點(diǎn)E在線段AC上，且DE±AC,當(dāng)4DCE與4AOC相似時(shí)，求點(diǎn) D的坐標(biāo).【答案】(1)解：當(dāng)x=0, y=

28、3,.C (0,3)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-).j將c (0, 3)代入得：-2 a=3,解得a=2,，拋物線的解析式為y=-2x2+x+3(2)解：過點(diǎn) B作BMLAC,垂足為 M,過點(diǎn)M作MNLOA,垂足為N。 . OC=3, AO=1, tanZ CAO=3, 直線AC的解析式為y=3x+3.ACXBM,IBM的一次項(xiàng)系數(shù)為 屋設(shè)BM的解析式為y=BM的解析式為y= 芋 工.1 1將丫=3*+3與丫=二聯(lián)立解得:+b,將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得:x=3 一 4 =MC=BM=卜.?MCB為等腰直角三角形。/ ACB=45o.(3)解：如圖2所示，延長CD,交x軸于點(diǎn)F, / AC

29、B=45o點(diǎn)D是第一象限拋物線上一點(diǎn)， / ECD>45o.又. ？DCE與？AOC相似，/ AOC=/ DEC=90o,/ CAO=/ ECD. .CF=AF.設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a, 0）,則（a+1） 2=32+a2 ,解得a=4. F (4,0).設(shè)CF的解析式為y=kx+3，將 F (4,0)代入得 4k+3=0,解得 k=二.CF的解析式為y=x+3.將y= J x+3與y=-2x2+x+3聯(lián)立，解得x=0 （舍去）或x= 5.口 R H將 x= 8 代入 y=x+3 得 y= 31.I H.D （ " 33）C的坐標(biāo)代入可【解析】【分析】（1）易求得 C的坐標(biāo)，利用交

30、點(diǎn)式設(shè)出解析式，再把求出；（2）過點(diǎn) B作BMLAC,垂足為 M,過點(diǎn) M作MNLOA,垂足為 N.由tan / CAO=3先求出直線AC的解析式，從而求出 BM的解析式，兩個(gè)解析式聯(lián)立求出M的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)之間的距離求出 MC=BM,進(jìn)而得出？MCB的形狀，求出答案；（3）延長CD,交x軸于點(diǎn)F,由？DCE與？AOC相似可得出CF=AR利用勾股定理求出 F的 坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出 CF的解析式，再與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立求出D的坐標(biāo).二、圓的綜合9.如圖，點(diǎn)A、B、C分別是。上的點(diǎn)，CD是。的直徑，P是CD延長線上的一點(diǎn),AP=AC(1)若/B=60°,求證：AP是。的切線；(2)

31、若點(diǎn)B是弧CD的中點(diǎn)，AB交CD于點(diǎn)E, CD=4,求BE AB的值.【答案】(1)證明見解析；(2) 8.【解析】(1)求出/ADC的度數(shù)，求出/P、/ACQ /OAC度數(shù)，求出/ OAP=90 ,根據(jù)切線判定 推出即可；(2)求出BD長，求出4DBE和4ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案.試題解析：連接AD, OA, / ADC=Z B, / B=60 ；/ ADC=60 ；.CD是直徑,/ DAC=90 ；/ ACO=180-90 -6030 :. AP=AC, OA=OG/ OAC=Z ACD=30 ； / P=Z ACD=30 ,°/ OAP=180 -30 -30

32、-3090 ；即 OALAP,. OA為半徑，.AP是。O切線.(2)連接 AD, BD,.CD是直徑,/ DBC=90 ；2 .CD=4, B為弧CD中點(diǎn)，BD=BC=乙 ,/ BDC=Z BCD=45 ,°/ DAB=Z DCB=45 ；即 / BDE=Z DAB,3 / DBE=Z DBA,.,.DBEAABD,BD AB，灰F4 .BE?AB=BD?BD=V2 X 20= 8考點(diǎn)：1.切線的判定；2.相似三角形的判定與性質(zhì).10.如圖，已知 RtABC中，C=90°, O在AC上，以O(shè)C為半徑作OO,切AB于D點(diǎn)，且BC=BD.若BC=6, sinA=3,求。的半徑

33、;5OO上為一動(dòng)點(diǎn)，求 BP的最大值與最小值.(2)求證：AB為。的切線;(2)半徑為 3; (3)最大值 3 75+3 , 3>/5-3.【解析】分析：(1)連接 OD, OB,證明OD®4OCB即可.(2)由sinA=3且BC=6可知，AB=10且cosA=-,然后求出 OD的長度即可.55(3)由三角形的三邊關(guān)系，可知當(dāng)連接 OB交。O于點(diǎn)E、F,當(dāng)點(diǎn)P分別于點(diǎn)E、F重合 時(shí)，BP分別取最小值和最大值.詳解：(1)如圖：連接OD、OB.在AODB和OCB中:OD=OC,OB=OB,BC=BD;.-.ODBAOCB (SS§ ./ ODB=Z C=90 :.AB為

34、。O的切線.AB BC=6,AB=10, BD=BC=6, .AD=AB-BD=4,sinA= , cosA=,55.OA=5, OD=3,即。O的半徑為：3.(3)如圖：連接OB,交。O為點(diǎn)E、F,由三角形的三邊關(guān)系可知: 當(dāng)P點(diǎn)與E點(diǎn)重合時(shí)，PB取最小值.由(2)可知：OD=3, DB=6,ob=；32 62 3 5 . PB=OB-OE=3.5 3.當(dāng)P點(diǎn)與F點(diǎn)重合時(shí)，PB去最大值，PB=OP+OB=33 . 5 .點(diǎn)睛：本題屬于綜合類型題，主要考查了圓的綜合知識(shí).關(guān)鍵是對(duì)三角函數(shù)值、勾股定理、全等三角形判定與性質(zhì)的理解 .11.如圖1,已知AB是。的直徑，AC是。O的弦，過 O點(diǎn)作05

35、，人8交。0于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,交BC的延長線于點(diǎn)F,點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，連接 CG判斷CG與。0的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求證：20B2=BC?BF;(3)如圖 2,當(dāng)/DCE= 2/F, CE= 3, DG= 2.5 時(shí)，求 DE 的長.度II圖？【答案】(1) CG與。0相切，理由見解析；(2)見解析；(3) DE= 2【解析】【分析】(1)連接C耳由AB是直徑知4ECF是直角三角形，結(jié)合 G為EF中點(diǎn)知/ AEO= / GEC= /GCE，再由 0A= 0C 知/OCA=/OAC,根據(jù) OF, AB 可得 / OCA+/GCE= 90；即OCX GC,據(jù)此即可得證；一一 BC AB

36、(2)證ABC/FBO得后8 ,結(jié)合AB=2BO即可得；(3)證 ECDEGC 得 EC ED,根據(jù) CE= 3, DG= 2.5 知一3一 生，解之可EG ECDE 2.53得.【詳解】解：(1) CG與。O相切，理由如下:如圖1,連接CE,圖1.AB是。的直徑，/ ACB= / AC已 90 °, 點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，.GF= GE= GC,/ AEO= /GEC= / GCE,.OA=OC,/ OCA= / OAC, .OFXAB, / OAG/AEO= 90 °, / OCA+Z GCE= 90 :即 OCX GC,CG與。O相切；(2) Z AOE= Z FCE=

37、90°, /AEO= / FEQ / OAE= / F,又 : / B= / B, .ABCAFBO,BC AB ,即 BO?AB= BC?BF,BO BF .AB=2BO,.2OB2 = BC?BF；(3)由(1)知 GC= GE= GF,/ F= / GCE / EGC 2/F,又 / DCE= 2/ F,/ EGC= / DCE, / DECf= C CEQ.ECtDAEGC； EC EDEG EC，,. CE= 3, DG= 2.5,3 DEDE 2.53整理，得：DE2+2.5DE- 9=0,解得：DE= 2 或 DE= - 4.5 (舍)，故 DE=2.【點(diǎn)睛】本題是圓的

38、綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理、切線的判定、相似三角形的判定與 性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).12.如圖，在R9ABC中，C 90 , AD平分/BAC,交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)O在AB上,。經(jīng)過A、D兩點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F.(1)求證：BC是。的切線；(2)若OO的半徑是2cmE是弧AD的中點(diǎn)，求陰影部分的面積(結(jié)果保留兀和根號(hào))【答案】(1)證明見解析(1)連接OD,只要證明OD/AC即可解決問題；(2)連接OE, OE交AD于K.只要證明4AOE是等邊三角形即可解決問題.【詳解】(1)連接OD. OA=OD,/ OAD=Z ODA. Z OAD=Z DAC,ZODA=Z DAC

39、, ，OD/ AC, . . / ODB=/C=90 ； OD±BC, . . BC是OO的切線.(2)連接OE, OE交AD于K.Ae De，, , oe±ad. Z OAK=Z EAK, AK=AK, / AKO=Z AKE=90 ； AK必 AKE,是等邊三角形,ZAOE=60°, .$陰=$扇形 OAE Sz AOE6022360.AO=AE=OE, .AOE 在22、石.43本題考查了切線的判定、扇形的面積、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、 全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí) 解決問題，屬于中考?？?/p>

40、題型.13.如圖，DABCD勺邊AD是4ABC外接圓。的切線，切點(diǎn)為 A,連接AO并延長交BC 于點(diǎn)E,交。O于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作直線CP交AO的延長線于點(diǎn) P,且/BCP=/ACD.(1)求證：PC是。的切線；(2)若/B= 67.5 °, BC= 2,求線段PC, PF與弧CF所圍成的陰影部分的面積 S.【答案】(1)見解析；(2) 1 4【解析】【分析】(1)過C點(diǎn)作直徑CM,連接MB,根據(jù)CM為直徑，可得ZM+ZBCM=90°, 再根據(jù)AB/ DC可得/ ACD= / BAC,由圓周角定理可得 / BAC= / M, / BC之ZACD,從 而可推導(dǎo)得出/PCM= 90

41、。，根據(jù)切線的判定即可得；(2)連接OB,由AD是。的切線，可得 /PAD= 90°,再由BC/ AD,可得API BC,從而得BE= CE= 1 BC= 1 ,繼而可得到/ABC=/ACB= 67.5 ;從而得到Z BAC= 45°,由圓周2角定理可得/BOC=90,從而可得Z BOE= Z COE= Z OCE= 45 °,根據(jù)已知條件可推導(dǎo)得出OE= CE= 1, PC= OC= Joe2 ce2& ， 根據(jù)三角形面積以及扇形面積即可求得陰影部分的面積.【詳解】(1)過C點(diǎn)作直徑CM,連接MB,.CM為直徑，/ MBC= 90 °,即 /

42、M+ / BCM= 90 °, 四邊形ABCD是平行四邊形， .AB/DC, AD/ BC,/ ACD= / BAC, / BAC= ZM, / BCP= / ACD,. . / M = / BCP, / BCP+Z BCM= 90 ；即/ PCM= 90 °, CMXPC, .PC與。O相切；(2)連接OB,.AD是。的切線，切點(diǎn)為 A, OAXAD,即 / PAD= 90 ;1. BC/ AD, ZAEB=Z PAD= 90 ；1API BC.BE= CE= -BC= 1,2AB= AC,/ ABC= / ACB= 67.5 ；/ BAC= 180 - Z ABC /

43、ACB= 45 ;/ BOC= 2/ BAC= 90 °,-. OB= OC, APXBC,/ BOE= / COE= / OCE= 45 , / PCM= 90 ；/ CPO= / COE= / OCE= 45 ；.oe=c曰i, po oc= Joe2 ce2 夜,S= Sapoc S扇形 ofc= 12,2245 兀 2 27t360ABD【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、強(qiáng),準(zhǔn)確添加輔助線是解題的關(guān)鍵圓周角定理、垂徑定理、扇形面積等，綜合性較14.如圖，線段BC所在的直線 是以AB為直徑的圓的切線，點(diǎn) D為圓上一點(diǎn)，滿足 BD= BC,且點(diǎn)C、D位于直徑AB的兩側(cè)，連接 C

44、D交圓于點(diǎn)E.點(diǎn)F是BD上一點(diǎn)，連接EF,分 別交AB、BD于點(diǎn)G、H,且EF= BD.求證：EF/ BC；（2）若 EH= 4, HF= 2,求？e 的長.2 【答案】（1）見解析；（2） - . 33【解析】【分析】（1）根據(jù)ef= bd可得Ef= ?d，進(jìn)而得到Be = Df,根據(jù) 在同圓或等圓中，同弧或 等弧所對(duì)的圓周角相等”即可得出角相等進(jìn)而可證.（2）連接DF,根據(jù)切線的性質(zhì)及垂徑定理求出GF、GE的長，根據(jù) 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等 ”及平行線求出相等的角，利用銳角三角函數(shù)求出ZBHG,進(jìn)而求出/BDE的度數(shù)，確定 Be所對(duì)的圓心角的度數(shù)，根據(jù) /DFH= 90°確定DE為直徑，代入 弧長公式即可求解.【詳解】(1)EF= BD, Ef= ?d Be = Df / D= / DEF又 BD= BC,/ D= / C, / DEF=/CEF/ BC(2) .AB是直徑，BC為切線，ABXBC又 EF/ BC,ABXEF7,弧 BF=< BE,1GF= GE= 5(HF+EH)=3, HG=1DB 平分 / EDF,又 BF/ CD,/ FBD= / FDB= / BDE= / BFH,-.HB=HF= 21.