1、會計學(xué)1第四章第四章_2機器人動力學(xué)機器人動力學(xué)第一頁，共28頁。第1頁/共28頁第二頁，共28頁。牛頓歐拉運動(yndng)方程拉格朗日動力學(xué)關(guān)節(jié)空間與操作空間動力學(xué)工業(yè)(gngy)機器人動力學(xué)分析第2頁/共28頁第三頁，共28頁。 前面我們所研究的機器人運動學(xué)都是在穩(wěn)態(tài)下進(jìn)行的，沒有考慮機器人運動的動態(tài)過程(guchng)。實際上，機器人的動態(tài)性能不僅與運動學(xué)相對位置有關(guān)，還與機器人的結(jié)構(gòu)形式、質(zhì)量分布、執(zhí)行機構(gòu)的位置、傳動裝置等因案有關(guān)。機器人動態(tài)性能由動力學(xué)方程描述，動力學(xué)是考慮上述因素，研究機器人運動與關(guān)節(jié)力(力矩)間的動態(tài)關(guān)系。描述這種動態(tài)關(guān)系的微分方程稱為機器人動力學(xué)方程。機器人

2、動力學(xué)要解決兩類問題： 動力學(xué)正問題和逆問題。第3頁/共28頁第四頁，共28頁。 動力學(xué)正問題是根據(jù)關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩或力，計算機器人的運動(關(guān)節(jié)位移、速度和加速度)； 動力學(xué)逆問題是已知軌跡對應(yīng)的關(guān)節(jié)位移、速度和加速度，求出所需要的關(guān)節(jié)力矩或力。 不考慮機電控制裝置的慣性、摩擦、間隙、飽和等因素時，n 自由度機器人動力方程為n個二階耦合非線性微分方程。方程中包括(boku)慣性力/力矩、哥氏力/力矩、離心力/力矩及重力/力矩，是一個耦合的非線性多輸入多輸出系統(tǒng)。對機器人動力學(xué)的研究，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、牛頓一歐拉(NewtonEuler)、高斯(Gauss)、凱恩

3、(Kane)、旋量對偶數(shù)、羅伯遜一魏登堡(RobersonWittenburg)等方法。第4頁/共28頁第五頁，共28頁。 研究機器人動力學(xué)的目的是多方面的。 動力學(xué)正問題與機器人的仿真有關(guān)； 逆問題是為了實時控制的需要，利用動力學(xué)模型，實現(xiàn)最優(yōu)控制，以期達(dá)到良好的動態(tài)性能和最優(yōu)指標(biāo)。在設(shè)計中需根據(jù)連桿質(zhì)量、運動學(xué)和動力學(xué)參數(shù)、傳動機構(gòu)特征和負(fù)載大小進(jìn)行動態(tài)仿真，從而決定機器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)和傳動方案，驗算設(shè)計方案的合理性和可行性，以及結(jié)構(gòu)優(yōu)化程度。 在離線編程時，為了估計機器人高速運動引起的動載荷和路徑偏差，要進(jìn)行路徑控制仿真和動態(tài)模型仿真。這些(zhxi)都需要以機器人動力學(xué)模型為基礎(chǔ)。研究(

4、ynji)機器人動力學(xué)的目的第5頁/共28頁第六頁，共28頁。4.1 機器人靜力學(xué) 機器人靜力學(xué)研究機器人靜止或者緩慢運動時作用在手臂上的力和力矩問題(wnt)，特別是當(dāng)手端與外界環(huán)境有接觸力時，各關(guān)節(jié)力矩與接觸力的關(guān)系。 下圖表示作用在機器人手臂桿件i上的力和力矩。其i-1fi為桿件i-1對桿i的作用力，-ifi+1為桿i+1對桿i的作用力，i-1Ni為桿件i-1對桿i的作用力矩，-iNi+1為桿i+1對桿i的作用力矩，ci為桿i質(zhì)心。作用(zuyng)在桿i的力和力矩第6頁/共28頁第七頁，共28頁。根據(jù)(gnj)力、力矩平衡原理有第7頁/共28頁第八頁，共28頁。4.2 機器人動力學(xué)正問

5、題 機器人動力學(xué)正問題研究機器人手臂在關(guān)節(jié)力矩作用(zuyng)下的動態(tài)響應(yīng)。其主要內(nèi)容是如何建立機器人手臂的動力學(xué)方程。建立機器人動力學(xué)方程的方法有牛頓歐拉法和拉格朗日法等。第8頁/共28頁第九頁，共28頁。1、牛頓歐拉法方程 在考慮速度與加速度影響的情況下，作用在機器人手臂(shu b)桿i上的力和力矩如右圖所示。其中vci和i分別為桿i質(zhì)心的平移速度向量和此桿的角速度向量。 根據(jù)力、力矩平衡原理有:5-15-2稱5-1為牛頓(ni dn)方程，5-2為歐拉方程。第9頁/共28頁第十頁，共28頁。其中Ii為桿i繞其質(zhì)心(zh xn)的慣性張量第10頁/共28頁第十一頁，共28頁。2、 拉格

6、朗日方程 牛頓一歐拉運動學(xué)方程是基于牛頓第二定律和歐拉方程，利用達(dá)朗伯原理，將動力學(xué)問題變成靜力學(xué)問題求解。該方法計算快。拉格朗日動力學(xué)則是基于系統(tǒng)能量的概念，以簡單(jindn)的形式求得非常復(fù)雜的系統(tǒng)動力學(xué)方程，并具有顯式結(jié)構(gòu)，物理意義比較明確。 (1) 拉格朗日函數(shù) 對于(duy)任何機械系統(tǒng)，拉格朗日函數(shù)L定義為系統(tǒng)總的動能Ek與總的勢能Ep之差，即:( , )( , )( )kpL q qE q qEq12nqqqq12nqqqq表示動能(dngnng)與勢能的廣義坐標(biāo)相應(yīng)的廣義速度第11頁/共28頁第十二頁，共28頁。 (2) 機器人系統(tǒng)動能 在機器人中，連桿(lin n)是運動部

7、件，連桿(lin n)i的動能Eki為連桿(lin n)質(zhì)心線速度引起的動能和連桿(lin n)角速度產(chǎn)生的動能之和，即:1122TiTiikiiciciiiiEmI 1nkkiiEE1( , )( )2TkE q qq D q q系統(tǒng)的動能(dngnng)為n個連桿的動能(dngnng)之和，即：第12頁/共28頁第十三頁，共28頁。 由于 和 是關(guān)節(jié)變量 和關(guān)節(jié)速度 的函數(shù)，因此，從上式可知(k zh)，機器人的動能是關(guān)節(jié)變量和關(guān)節(jié)速度的標(biāo)量函數(shù)，記為 ，可表示成：1( , )( )2TkE q qq D q qciiiqq ( , )kE q q 式中， 是nxn階的機器人慣性(gunx

8、ng)矩陣( )D q第13頁/共28頁第十四頁，共28頁。 3機器人系統(tǒng)勢能 設(shè)連桿(lin n)i的勢能為 ，連桿(lin n)i的質(zhì)心在O坐標(biāo)系中的位置矢量為 ，重力加速度矢量在坐標(biāo)系中為g，則： 機器人系統(tǒng)的勢能為各連桿(lin n)的勢能之和，即： 它是q的標(biāo)量函數(shù)。TpiiciEm g p 1npipiiEEpiEcip第14頁/共28頁第十五頁，共28頁。 4拉格朗日方程 系統(tǒng)的拉格朗日方程為： 上式又稱為拉格朗日歐拉方程，簡稱(jinchng)LE方程。式中， 是n個關(guān)節(jié)的驅(qū)動力或力矩矢量，上式可寫成：pkkEEEddtqqqdLLdtqq第15頁/共28頁第十六頁，共28頁。

9、 例平面RP機器人如圖所示，連桿l和連桿2的質(zhì)量分別為m1和m2，質(zhì)心的位置由l1和d2所規(guī)定，慣量(gunling)矩陣為：1111100000 xxyyzzIIIiI2222200000 xxyyzzIIIiI第16頁/共28頁第十七頁，共28頁。 (1) 取坐標(biāo)，確定關(guān)節(jié)(gunji)變量和驅(qū)動力或力矩 建立連桿D-H坐標(biāo)系如上圖所示，關(guān)節(jié)(gunji)變量為1+/2為求解方便，此處取關(guān)節(jié)(gunji)變量為1和d2，關(guān)節(jié)(gunji)驅(qū)動力矩l和力f2。第17頁/共28頁第十八頁，共28頁。(2)系統(tǒng)動能(dngnng) 由式(1)，分別得22211 111 11122kyyEmlI2

10、222222122111()22kyyEm ddI22221 1122212211()22kyyyyEmlIIm dm d1122TiTiikiiciciiiiEmI 1總動能(dngnng)為：第18頁/共28頁第十九頁，共28頁。(3)系統(tǒng)(xtng)勢能 因為：00Tgg11 11 10Tcpl cl s11111 1TpcEm g pm gl s 22222 1TpcEm g pm gd s 1 1221()pEg mlm ds則：總勢能(shnng)為：第19頁/共28頁第二十頁，共28頁。221 11222122()yyyykmlIIm dEqm d222 10kEm dq1 12

11、212 1()pEg mlm d cgm sq(4)偏導(dǎo)數(shù)(do sh)第20頁/共28頁第二十一頁，共28頁。2211 11222122121 1221222222121()2()yyyymlIIm dm ddg mlm dcm dm dm gs(5)拉格朗日動力學(xué)方程 將偏導(dǎo)數(shù)代入拉格朗日方程，得到平面(pngmin)RP機器人的動力學(xué)方程的封閉形式：pkkEEEddtqqq拉格朗日方程(fngchng)2第21頁/共28頁第二十二頁，共28頁。( )( , )( )D q qH q qG q221 1122220( )0yyyymlIIm dD qm22 12222 12( , )m d

12、dH q qm d1 122121()( )mlm dgcG qm gs (1)關(guān)節(jié)空間動力學(xué)方程(fngchng) 將式2寫成矩陣形式：3、關(guān)節(jié)空間(kngjin)與操作空間(kngjin)動力學(xué)式中3第22頁/共28頁第二十三頁，共28頁。 式(3)為機器人在關(guān)節(jié)空間中的動力學(xué)方程封閉形式的一般結(jié)構(gòu)式。它反映了關(guān)節(jié)力或力矩與關(guān)節(jié)變量、速度和加速度之間的函數(shù)關(guān)系。對于n個關(guān)節(jié)的機器人， 是nn正定對稱矩陣(j zhn)，是q的函數(shù)，稱為機器人慣性矩陣(j zhn)； 是n1的離心力和哥氏力向量； 是n1重力矢量，與機器人的形位q有關(guān)。( )D q( , )H q q ( )G q第23頁/共

13、28頁第二十四頁，共28頁。( )( , )( )xxxFMq xUq qG q 2操作空間動力學(xué)方程 與關(guān)節(jié)空間動力學(xué)方程相對(xingdu)應(yīng)，在笛卡爾操作空間中，操作力F與末端加速度 之間的關(guān)系可表示為：x ( )xMq( , )xUq q ( )xG q操作空間(kngjin)中的慣性矩陣離心力和哥氏力矢量(shling)重力矢量xF廣義操作力矢量機器人末端位姿向量第24頁/共28頁第二十五頁，共28頁。( )TJq F( )xJ q q( )( )( )( , )rxJ q qJ q qJ q qa q q( )( )( ) ( )TxD qJq Mq J q( , )( )( , )( ) 9 )( , )TTxrH q qJq Uq qJqq a q q( )( )( )TxG qJq G q由上一章(y zhn)可知，廣義操作力和關(guān)節(jié)力之間的關(guān)系為：操作空間與關(guān)節(jié)空間之間的速度(sd)與加速度(sd)的關(guān)系：比較關(guān)節(jié)空間與操作(cozu)空間動力學(xué)方程，可以得到：第25頁/共28頁第二十六頁，共28頁。( )( )( , )( )TxxxJq Mq xUq qG q 3關(guān)節(jié)力