1、第四章第四章 隨機變量的數字特征隨機變量的數字特征4.1 隨機變量的數學期望隨機變量的數學期望4.2 隨機變量的方差隨機變量的方差4.3 協(xié)方差與相關系數協(xié)方差與相關系數4.4 矩與協(xié)方差矩陣矩與協(xié)方差矩陣. . . 在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量分布，如果知道了隨機變量X的概率分布，那么的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了. 然而，在實際問題中，概率分布一般是較難然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的確定的. 而在一些實際應用中，人們并不需要知而在一些實際應用中，人們并不需要知道隨機變量

2、的一切概率性質，只要知道它的某些道隨機變量的一切概率性質，只要知道它的某些數字特征就夠了數字特征就夠了. . .例如：例如：1. 評定某工廠生產的一批燈泡的質量，一般評定某工廠生產的一批燈泡的質量，一般是評定燈泡的壽命，壽命是隨機變量，通常是評定燈泡的壽命，壽命是隨機變量，通常只需知這批燈泡的平均壽命以及相對于這個只需知這批燈泡的平均壽命以及相對于這個平均壽命的偏離程度就夠了。平均壽命的偏離程度就夠了。. . .2. 鋼廠生產的一批鋼錠，它的含碳量和鋼廠生產的一批鋼錠，它的含碳量和其硬度有密切的關系，因此，除了掌握其硬度有密切的關系，因此，除了掌握含碳量和平均硬度，還有必要了解含碳含碳量和平均

3、硬度，還有必要了解含碳量與硬度之間的聯系，特別希望知道彼量與硬度之間的聯系，特別希望知道彼此有無線性關系。此有無線性關系。. . .由此可見在隨機變量的研究中，常由此可見在隨機變量的研究中，常常需要去研究某些與隨機變量有關的，常需要去研究某些與隨機變量有關的，能反映隨機變量重要特征的能反映隨機變量重要特征的“數數”，我，我們把這種們把這種“數數”稱作隨機變量的稱作隨機變量的數字特數字特征征。. . . 最常用的數字特征最常用的數字特征 數學期望數學期望 方差方差 協(xié)方差、相關系數協(xié)方差、相關系數 矩矩. . .4.1.1 一維隨機變量數學期望的定義一維隨機變量數學期望的定義數學期望是最基本的數

4、字特征，數學期望是最基本的數字特征，數學期望是能夠體現隨機變量取值的數學期望是能夠體現隨機變量取值的平均數。平均數。讓我們先看一個簡單的例子：讓我們先看一個簡單的例子：4.1 隨機變量的數學期望隨機變量的數學期望. . .例例: 在一次測驗中，在一次測驗中，10名學生有名學生有2人得人得70分，分，5人得人得80分，分，3人得人得90分，那么他們分，那么他們的平均成績?yōu)榈钠骄煽優(yōu)?1分，具體計算方法為：分，具體計算方法為：(70 280 590 3) 1070 0.280 0.590 0.3 換個角度，若將換個角度，若將10個學生中任一個人的個學生中任一個人的測驗成績看成隨機變量測驗成績看成

5、隨機變量X，則，則X的概率的概率分布為分布為. . . 上面平均分算式的右端正好是上面平均分算式的右端正好是 X 的各的各個可能取值與相應概率乘積之和，所以由個可能取值與相應概率乘積之和，所以由 所確定的數字特征恰好是隨所確定的數字特征恰好是隨機變量的平均值。機變量的平均值。kkkx P Xx. . .考慮到考慮到 X 隨機變量會有無窮多個可能值隨機變量會有無窮多個可能值xk，同時這些同時這些 xk 可正可負，而平均值應當與可正可負，而平均值應當與求和的次序無關，反映在數學上便是要求求和的次序無關，反映在數學上便是要求級數級數 絕對收斂絕對收斂。kkkx p. . .111,1,2,.,()(

6、)kkkkkkkkkkkEXP Xxpkx px pXE XXx p 設設離離散散型型隨隨機機變變量量的的分分布布律律為為若若級級數數絕絕對對收收斂斂 則則稱稱級級數數為為隨隨機機變變量量的的數數學學期期望望 記記為為. .即即定定義義4.14.1簡稱簡稱期望期望或或均值均值.Xkpnxxx21nppp21. . .關于定義的幾點說明關于定義的幾點說明 (1) E(X)是一個實數是一個實數, 而非變量而非變量, 它是一種它是一種加加權平均權平均, 與一般的平均值不同與一般的平均值不同 , 它從本質上體現它從本質上體現了隨機變量了隨機變量 X 取可能值的取可能值的真正的平均值真正的平均值, 也稱

7、也稱均值。均值。 (2) 級數的絕對收斂性級數的絕對收斂性保證了級數的和不隨保證了級數的和不隨級數各項次序的改變而改變級數各項次序的改變而改變 , 之所以這樣要求之所以這樣要求是因為數學期望是反映隨機變量是因為數學期望是反映隨機變量X 取可能值的取可能值的平均值平均值,它不應隨可能值的排列次序而改變。它不應隨可能值的排列次序而改變。. . .例例4.2 設某口袋中裝有標號設某口袋中裝有標號i的球的球i只只(i=1,2, ,n), 現在現在從中隨機取出一只從中隨機取出一只, 求所得球上號碼的數學期望求所得球上號碼的數學期望.解解 設設X表示所取球上的號碼，則表示所取球上的號碼，則X的分布律為的分

8、布律為 P(X=i)=2i/n(n+1), i=1,2, ,n于是于是21122()(1)(1)2(1)(21)21(1)63nniiiE Xiin nn nn nnnn n . . .到站時刻到站時刻 7:10 7:30 7:50 8:10 8:30 8:50 概率概率 1/5 2/5 2/5一旅客一旅客7:20到車站到車站,求他候車時間的數學期望求他候車時間的數學期望.例例4.3 按規(guī)定按規(guī)定, 某車站每天某車站每天7:008:00, 8:009:00 都都恰有一輛客車到站恰有一輛客車到站, 但到站時刻是隨機的但到站時刻是隨機的,且兩者到且兩者到站的時間相互獨立。其規(guī)律為：站的時間相互獨立

9、。其規(guī)律為： . . .其分布率為其分布率為以分計以分計為為解：設旅客的候車時間解：設旅客的候車時間),(X X 10 30 50 70 90 kp25251155 1255 1255 1270()( ) ( )55P XP ABP A P B上上表表中中例例如如7:10,8:30ABX其其中中 為為事事件件“第第一一班班車車到到站站” 為為事事件件“第第二二班班車車到到站站”候候車車時時間間 的的數數學學期期望望為為32122()103050709030.865252525E X 分分. . .4.1.2 連續(xù)型隨機變量的數學期望連續(xù)型隨機變量的數學期望 設設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數為

10、是連續(xù)型隨機變量，其密度函數為f (x),在在數軸上取很密的分點數軸上取很密的分點x0 x1x2 ,則則X落在小區(qū)落在小區(qū)間間xi, xi+1)的概率是的概率是1)(iixxdxxfiixxf)(小區(qū)間小區(qū)間xi, xi+1)陰影面積近似為陰影面積近似為()iif xx)(1iiixxxf. . . 由于由于xi與與xi+1很接近很接近, 所以區(qū)間所以區(qū)間xi, xi+1)中的值中的值可以用可以用xi來近似代替來近似代替.iiiixxfx)(這正是這正是dxxfx)(的漸近和式的漸近和式. 近似近似,iixxf )(因此因此X與以概率與以概率取值取值xi的離散型的離散型r.v 該離散型該離散型

11、r.v 的數學的數學期望期望是是小區(qū)間小區(qū)間xi, xi+1)陰影面積近似為陰影面積近似為()iif xx. . .由此啟發(fā)我們引進如下定義由此啟發(fā)我們引進如下定義.定義定義4.2 設設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數為是連續(xù)型隨機變量，其密度函數為 f (x),如果積分如果積分( )xf x dx絕對收斂絕對收斂, 則稱此積分值為則稱此積分值為 X 的的數學期望數學期望, 即即請注意請注意 : 連續(xù)型隨機變量的數學期望是一個絕對收斂連續(xù)型隨機變量的數學期望是一個絕對收斂的積分的積分.()( )E Xx f x dx . . .例例4.4 由由5個相互獨立工作的電子裝置，它們個相互獨立工作的電子

12、裝置，它們的壽命的壽命Xk (k=1,2,3,4,5) 服從同一指數分布，其服從同一指數分布，其概率密度為概率密度為 (1) 若將若將5個裝置并聯成整機，求整機壽命個裝置并聯成整機，求整機壽命M的的數學期望。數學期望。(2) 若將若將5個裝置串聯成整機，求整機壽命個裝置串聯成整機，求整機壽命N的的數學期望。數學期望。00( )00 xexf xx . . .解解 Xk 的分布函數為的分布函數為 10( )00kxXexFxx (1) 若將若將5個裝置并聯成整機個裝置并聯成整機5max( )( )FxF x 51000 xexx 125max(,)MXXX 先先求求的的分分布布函函數數 M的概率

13、密度為的概率密度為4max5 10( )00 xxeexfxx max()( )E Mxfx dx 405(1)xxxeedx 13760 . . . N的概率密度為的概率密度為125minmin(,)( )NXXXFx 先先求求的的分分布布函函數數51000 xexx 5min( )11( )FxF x 5min50( )00 xexfxx (2) 若將若將5個裝置串聯成整機個裝置串聯成整機min()( )E Nxfx dx 50155xxedx ()11.4()E ME N()E M 13760 1()5E N 此即說明此即說明: 并聯組成整機的平均壽命是串聯組成并聯組成整機的平均壽命是串

14、聯組成整機的平均壽命的整機的平均壽命的11.4倍倍。. . .例例4.5 設隨機變量設隨機變量X服從服從Cauchy分布分布，其概率密度為，其概率密度為 21, .1fxxRx 求證：求證：E(X)不存在不存在.解解：因為：因為 22220020112111111ln(1)|.xfx dxxdxxxdxdxxxx . . .1. 離散型隨機變量函數的數學期望離散型隨機變量函數的數學期望4.1.3 隨機變量函數的數學期望隨機變量函數的數學期望若若 Y=g(X), 且且, 2, 1, kpxXPkk則則1( )( ()()kkkE YE g Xg xp 2. 連續(xù)型隨機變量函數的數學期望連續(xù)型隨機

15、變量函數的數學期望 X 是連續(xù)型的是連續(xù)型的,它的概率密度為它的概率密度為 f (x) , (,( )g xf x dx 絕絕對對收收斂斂若若則則有有( ) ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx 1(),kkkg xp 若若絕絕對對收收斂斂. . .1(),( ) ()( ) ( ),kkkg xpXE YE g Xg x f x dxX 離離散散型型連連續(xù)續(xù)型型 該公式的重要性在于該公式的重要性在于: 當我們求當我們求Eg(X)時時, 不必不必知道知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的分布就可以了的分布就可以了. 這這給求隨機變量函數的期望帶來很大方便給求隨機

16、變量函數的期望帶來很大方便.Y=g(X) 的數學期望為：的數學期望為：. . .3. 二維隨機變量函數的數學期望二維隨機變量函數的數學期望(1),( , ), (,)(,)ijijijE g X Yg xX Yg x yyp 設設為為離離散散型型隨隨機機變變量量為為二二元元函函數數 則則(,)ijX Yp其其中中的的聯聯合合概概率率分分布布為為 (,)( , ) ( , )ddE g X Yg x y f x yxy (2),( , ),X Yg x y設設為為連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量為為二二元元函函數數 則則(,)( , )X Yf x y其其中中的的聯聯合合概概率率密密度度為為. .

17、.(1) 若若(X,Y)為二維離散型隨機變量，則為二維離散型隨機變量，則 .iiijjjE Xx pE Yy p iijijx p jijijy p ( )dYyfyy (2) 若若(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量，則為二維連續(xù)型隨機變量，則 ,d d ,d dE Xx fx yx yE Yy fx yx y ( )dXxfxx . . .補充例補充例： 設隨機變量設隨機變量X的分布律為的分布律為X 202P0.40.30.32(),(35)E XEX 求求。解解因而由數學期望的定義得到因而由數學期望的定義得到()( 2)0.400.320.30.2E X 2222(35)3( 2)50.430

18、50.33250.3EX 13.4 . . .例例4.8 已知隨機變量已知隨機變量X 的聯合密度為的聯合密度為求求 E(3X) ,E(e 4X) 。0( )0 xexf x 其其它它003(3)33()(|3)xxxEXdxxe dexxef xx 解解445050()11()|5)5xXxxE edxedxxeef . . .例例4.9 已知已知 (X,Y) 的聯合密度為的聯合密度為601,02(1)( , )0 xyxyxf x y 其其它它()( , )E Xx f x y dxdy 解解12(1)2006xdxx ydy 2122(1)0062xyx dx 122012(1)xx dx

19、 25 21xy2(1)yx:(),( ),()E XE YE XY求求。. . .( )( , )E Yy f x y dxdy 2122006ydyxy dx 212220062yxy dy 22203(2)4yy dy 45 21xy2(1)yx. . .()( , )E XYxyf x y dxdy 21xy2(1)yx12(1)22006xdxx y dy 3122(1)0063xyx dx 123016(1)xx dx 132016(1)xx dx 415 ()()( )E XYE XE Y本本例例中中, ,. . .例例4.10 假定國際市場每年對我國某種商品的需求量假定國際市場

20、每年對我國某種商品的需求量是一個隨機變量是一個隨機變量X(單位單位:噸噸)，它在，它在(2000,4000)上服從上服從均勻分布均勻分布. 已知每售出一噸該商品可賺已知每售出一噸該商品可賺3萬美元，但萬美元，但如果銷售不出去，每噸需倉儲等費用如果銷售不出去，每噸需倉儲等費用1萬美元萬美元. 試問試問外貿部門應組織多少貨源才能使收益的期望值最大外貿部門應組織多少貨源才能使收益的期望值最大.解解:設應組織設應組織 k 噸貨源，記噸貨源，記Y為收益為收益, 則則3(),()3 ,XkXXkYg XkXk 4,3 ,XkXkkXk 1,20004000( )20000,Xxfx 其其它它. . .4,

21、()3 ,XkXkYg XkXk 1,20004000( )20000,Xxfx 其其它它( )( ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx 400020001( )2000g x dx 4000200011(4)320002000kkxk dxkdx21(70004000000)1000kk當當 k=3500 時時, E(Y)最大最大 . . .設隨機變量設隨機變量X的概率密度為的概率密度為 000)(xxexfx的數學期望。的數學期望。求求XeY2 解解:Y是隨機變量是隨機變量X的函數的函數,31)()(022 dxeedxxfeYExxx. . .1. 設設 C 是常數是常

22、數, 則有則有 E(C)=C 。2. 設設 X 是一個隨機變量是一個隨機變量,C 是常數是常數, 則有則有()()E CXCE X 。4.1.4 數學期望的性質數學期望的性質3. 設設 X, Y 是兩個隨機變量是兩個隨機變量, 則有則有()()( )E XYE XE Y 。注意：注意：()()( )E XYE XE Y 。11()nniiiiiiEa Xa E X 推推廣廣：. . .(3) 設二維設二維(X,Y)的概率密度為的概率密度為f(x,y)，其邊緣，其邊緣 密度為密度為fX(x), fY(y)則則 E(X+Y)=E(X)+E(Y)()E XY() ( , )xy f x y dxdy

23、 ( , )( , )xf x y dxdyyf x y dxdy ()( )E XE Y( )( )xYxfx dxyfy dy( , )( , )xf x y dy dxyf x y dx dy. . .4. 設設 X, Y 是是相互獨立相互獨立的隨機變量的隨機變量, 則有則有()() ( )E XYE X E Y 。11:()nniiiiEXE X 推推廣廣(各各Xi相互獨立相互獨立時時). . .( 4)若若 X，Y相互獨立相互獨立，則，則E(XY)=E(X)E(Y)( , )( )( )XYf x yfx fy()( , )E XYxyf x y dxdy ( )( )XYxyfxf

24、y dxdy ( )( )XYxfx dxyfy dy () ( )E X E Y 因為因為 X，Y相互獨立，相互獨立，. . .nM 將將 個個球球放放入入個個盒盒子子中中，設設每每個個球球落落入入各各個個盒盒子子是是等等可可能能的的，求求有有球球盒盒子子的的數數學學期期望望。解iX引引入入隨隨機機變變量量1,1,2,0,iiXiMi 第第 個個盒盒子子有有球球。第第個個盒盒子子無無球球120-111,1-MinXXXXXMM 則則。且且每每個個服服從從分分布布，由由于于每每個個球球落落入入各各個個盒盒子子的的概概率率均均為為而而不不落落入入該該盒盒子子的的概概率率為為（）例例4.11. .

25、 .101niP XM 所所以以1111,niP XM1,2,.iM 12()()ME XE XXX 得得12()()()ME XE XE X 111nMM 本題將本題將X分解成數個隨機變量之和分解成數個隨機變量之和,然后利用然后利用隨機變量和的數學期望等于隨機變量期望之和來隨機變量和的數學期望等于隨機變量期望之和來求，這種處理方法具有一定的求，這種處理方法具有一定的普遍意義普遍意義。. . .(1)(1, ),)XBpE Xp 若若則則(2)( ,XB n pE Xnp 若若則則(3)( ),()EXX 若若則則(4)( , )(,)2XUaEaXbb 若若則則5),(1)E XX 若若服服

26、從從參參數數為為 的的指指數數分分布布 則則2(6)(),(,)XNE X 若若則則常見分布的期望常見分布的期望. . .練習：練習： 把數字把數字1,2,n 任意地排成一列，如果數字任意地排成一列，如果數字k 恰好出現在第恰好出現在第 k 個位置上，則稱為一個巧合，求個位置上，則稱為一個巧合，求巧合個數的數學期望巧合個數的數學期望.由于由于 E(Xk)=P(Xk =1) 解解: 設巧合個數為設巧合個數為X，引入引入 1,0kkkX 數數字字 恰恰好好出出現現在在第第 個個位位置置上上，否否則則 k=1,2, ,nnkkXX1則則!)!1(nnn1nkkXEXE1)()(故故11nn. . .

27、 上一節(jié)我們介紹了隨機變量的數學期望，上一節(jié)我們介紹了隨機變量的數學期望，它體現了隨機變量取值的平均水平，是隨機變它體現了隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的一個重要的數字特征量的一個重要的數字特征.但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的.4.2方差方差. . . 例如，某零件的真實長度為例如，某零件的真實長度為a，現用甲、乙兩，現用甲、乙兩臺儀器各測量臺儀器各測量10次，將測量結果次，將測量結果X用坐標上的點表用坐標上的點表示如圖：示如圖：哪臺儀器好一些呢？哪臺儀器好一些呢？ a甲儀器測量結果甲儀器測量結果較好較好測量結果的測量結果的均值都是均值都是 a

28、因為乙儀器的測量結果集中在均值附近因為乙儀器的測量結果集中在均值附近 a乙儀器測量結果乙儀器測量結果. . .又如又如,甲、乙兩門炮同時向一目標射擊甲、乙兩門炮同時向一目標射擊10發(fā)炮發(fā)炮彈，其落點距目標的位置如圖：彈，其落點距目標的位置如圖：哪門炮射擊效果好一些呢哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結果甲炮射擊結果乙炮射擊結果乙炮射擊結果乙炮乙炮因為乙炮的彈著點較集中在中心附近因為乙炮的彈著點較集中在中心附近 . 中心中心中心中心. . . 由此可見由此可見, 研究隨機變量與其均值的偏離程度是研究隨機變量與其均值的偏離程度是十分必要的十分必要的.那么用怎樣的量去度量這個偏離程度呢那么用怎樣的量去

29、度量這個偏離程度呢?這個數字特征就是我們這一講要介紹的這個數字特征就是我們這一講要介紹的方差方差()E XE X能度量隨機變量與其均值能度量隨機變量與其均值E(X)的偏離程度的偏離程度. 容易看到容易看到2() EXE X來度量隨機變量來度量隨機變量X與其均值與其均值E(X)的偏離程度的偏離程度.但由于上式帶有絕對值但由于上式帶有絕對值,運算不方便運算不方便,通常用量通常用量. . .4.2.1 隨機變量方差的概念隨機變量方差的概念222,() ,() ,()Va()r(),()Var()() ,()D XXEXE XXEXE XEXE XXD XXD X X 設設是是一一個個隨隨機機變變量量

30、 若若存存在在 則則稱稱為為的的方方差差 記記為為或或即即稱稱為為標標準準差差或或均均方方差差 記記為為。1. 方差的定義方差的定義. . .方差是一個常用來體現隨機變量方差是一個常用來體現隨機變量 X 取值分取值分散程度的量。散程度的量。 方差的意義方差的意義D(X)是刻畫是刻畫X取值分散程度的一個量。取值分散程度的一個量。如果如果 D(X) 值大值大, 表示表示 X 取值分散程度大取值分散程度大, E(X) 的代表性差。的代表性差。如果如果 D(X) 值小值小, 則表示則表示X 的取值比較集中的取值比較集中, 以以 E(X) 作為隨機變量的代表性好。作為隨機變量的代表性好。. . .離散型

31、隨機變量的方差離散型隨機變量的方差 21()()kkkD XxE Xp 。連續(xù)型隨機變量的方差連續(xù)型隨機變量的方差2()()( )dD XxE Xf xx 2. 隨機變量方差的計算隨機變量方差的計算 (1) 利用定義計算利用定義計算 ( )f xX其其中中為為 的的概概率率密密度度。,1,2,kkP XxpkX 其其中中是是的的分分布布律律。()0.D X . . .)()()(22XEXEXD 證明證明)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()(XEXE (2) 利用公式計算利用公式計算22()()()E XD XE X注意注意.

32、 . .補充例補充例 設隨機變量設隨機變量X的分布律為的分布律為X 202P0.40.10.5(),()E XD X求求。解解2222()= () ( 20.2)0.4(00.2)0.1(20.2)0.5D XEXE X ()( 2) 0.40 0.12 0.50.2E X 3.56 。. . .1,10,( )1,01,0,.()Xxxf xxxD X 設設隨隨機機變變量量具具有有概概率率密密度度其其他他求求。解 1001d)1(d)1()(xxxxxxXE0 例例4.13 1020122d)1(d)1()(xxxxxxXE16 22)()()(XEXEXD 2061 16 。. . .4.

33、2.2 方差的性質方差的性質(1) 設設 C 是常數是常數, 則有則有( )0D C 。(2) 設設 X 是一個隨機變量是一個隨機變量, C 是常數是常數, 則有則有2()()D CXC D X 。()()( )D XYD XD Y 。(3) 設設 X, Y 相互獨立相互獨立, D(X), D(Y) 存在存在, 則則(4)()01,D XXC 的的充充要要條條件件是是以以概概率率取取常常數數即即1P XC 。2(5)( )(),( )()f xE XxxE Xf xD X 函函數數當當時時取取得得最最小小值值。2()()D XE Xx即即()()DXD X. . .證明2(3)()()() D

34、 XYEXYE XY 2)()(YEYXEXE 22()( )()(2)E XEXE XYE YE XE YE Y ()()( ).D XYD XD Y ,()( )X YXE XYE Y若若相相互互獨獨立立 則則與與也也相相互互獨獨立立()( )()(0)0 0E XE XE YE YEXE XYE Y . . .推廣推廣11222221122()()()()nnnnD k Xk Xk Xk D Xk D Xk D X則則有有相相互互獨獨立立若若,21nXXX 此性質說明此性質說明：隨機變量隨機變量X與數學期望的偏離程與數學期望的偏離程度比其它任何值的偏離程度都小。度比其它任何值的偏離程度都

35、小。(5) ()()D XD Xx 22()()E XxE Xx 2()E Xx (),xE X 當當時時 等等號號成成立立。. . .1. 兩點分布兩點分布 qpXE 01)(Xp01pp 1已知隨機變量已知隨機變量 X 的分布律為的分布律為則有則有, p 22)()()(XEXEXD 222)1(01ppp .pq pq4.2.3 重要分布的期望與方差重要分布的期望與方差. . . 設隨機變量設隨機變量 X 服從參數為服從參數為 n, p 二項分布二項分布,即即XB(n,p), 其分布律為其分布律為若設若設10iiXi 如如第第 次次試試驗驗成成功功如如第第 次次試試驗驗失失敗敗i=1,2

36、，n 則則 是是n次試驗中次試驗中“成功成功” 的次數的次數.1niiXX 設設 X 表示表示n重努里試驗中的重努里試驗中的“成功成功” 次數次數 . 2. 二項分布二項分布 (1),kkn knP XkC pp0,1,2, , 01.knp. . .于是于是i=1,2, , n 由于由于X1,X2, Xn 相互相互獨立獨立niiXDXD1)()(= np(1 p)E(Xi) = p, D(Xi)= p(1 p) ,分布，所以分布，所以是是可知可知10 iXnpXEXEnii 1)()(),( , )()1,().E XXB n pnp D Xnpp即即若若則則. . .2. 二項分布二項分布

37、 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkppknkXPknk . 10 p則有則有)(0kXPkXEnk knknkppknk )1(0 設隨機變量設隨機變量 X 服從參數為服從參數為 n, p 二項分布二項分布,其分布律為其分布律為. . .knknkppknkkn )1()!( !0)1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnp1)1( nppnp.np )1()1(11)1()!1()1()!1()!1( knknkppknknnpnp. . .)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE npppnkkkknknk )1()1(0npppknknk

38、kknknk )1()!( !)1(0. . .nppppnnn 22)1()1(.)(22nppnn 22)()()(XEXEXD 222)()(npnppnn ).1(pnp npppkknnpnnknknk )2()2(222)1()!2()!()!2()1()1(pnp . . .3. 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,e! kkkXPk則有則有 0e!)(kkkkXE 11)!1(ekkk ee . 且且分分布布律律為為設設),( X . . .)1()(2XXXEXE )()1(XEXXE 0e!)1(kkkkk 222)!2(ekkk ee22所以所以22)()()

39、(XEXEXD 22 (),(),.E XDXX 即即若若則則. . .4. 均勻分布均勻分布則有則有xxxfXEd)()( baxxabd1).(21ba ., 0,1)(其其他他bxaabxf其其概概率率密密度度為為設設, ),(baUX).(21ba . . .22)()()(XEXEXD 222d1 baxabxba2()12ba 2()(),().21( , )2,XU a babbaE XD X若若則則. . .5. 指數分布指數分布 ,e,0,( )0.0,0.xXxf xx 設設隨隨機機變變量量服服從從指指數數分分布布 其其概概率率密密度度為為其其中中則有則有xxxfXEd)(

40、)( 01edxxx 2221()()()D XE XE X 222202()( )dedxE Xx f xxxx . . .6. 正態(tài)分布正態(tài)分布其概率密度為其概率密度為設設),(2NX則有則有xxxfXEd)()( .de21222)(xxx tx 令令, tx ., 0,e21)(222)( xxfxtttde )(2122 22221eded22ttttt xxXExde21)(222)( 所所以以. . .de21)(222)(2xxx xxfxXDd)()()(2 2222ed2x ttx ttt 令令 ttttdee2222222202 .2 22(),)(),(XNE XD X

41、 若若則則. .222de2tt . . .10 pp)1(pp 10,1 pnnp)1(pnp 0 ba 2)(ba 12)(2ab 0 1 21 分布參數數學期望方差兩點分布二項分布泊松分布均勻分布指數分布正態(tài)分布0, 2常見分布的期望與方差常見分布的期望與方差. . .兩個重要結論兩個重要結論211222121222221,(,),(,),(,)XYXNYNXYZaXbYcabc abZN . . 設設 與與 相相互互獨獨立立 服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布 即即則則 與與 的的任任一一線線性性組組合合仍仍服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布證明證明: 由期望和方差的性質可知由期望和方差的性質可知由于由于

42、X和和Y相互獨立，故相互獨立，故()()E ZE aXbYc ()()D ZD aXbYc ()( )abE XE Yc 12abc 22()( )abD XD Y 222212ab. . .練習練習：已知隨機變量：已知隨機變量XN(-1,1),YN(3,4), 且且X與與Y相相互獨立，求隨機變量互獨立，求隨機變量Z=2X-Y+4的概率密度。的概率密度。2(,),1,2,iiiXNin 若且它們相互獨立，112212:,( ,0).nnnk Xk Xk Xk kk則它們的線性組合其中是不全為 的常數 仍然服從正態(tài)分布22112211(,)nnnniiiiiik Xk Xk XNkk且推廣推廣.

43、 . .22(),(),:()0,()1XE XDXXXD XXE . .設設隨隨機機變變量量 具具有有數數學學期期望望記記證證明明。稱稱 X* 為為 X 的標準化的標準化隨機隨機變量。變量。 ()XE XE 證證明明()XD XD ()0,()1E XD X 即即1()E X 0 21()D X 21()1D X . . .22(cm)(22.40,0.03 ),(22.50, 0.04 ),.,XNYNX Y設設活活塞塞的的直直徑徑 以以計計氣氣缸缸的的直直徑徑相相互互獨獨立立任任取取一一只只活活塞塞 任任取取一一只只氣氣缸缸 求求活活塞塞能能裝裝入入氣氣缸缸的的概概率率。解解22(22.

44、40,0.03 ),(22.50, 0.04 )XNYN因因為為2( 0.10,0.05 ),XYN 所所以以0 YXPYXP故故有有()( 0.10)0.00( 0.10)0.0055022PXY (2) 0.9772 例例4.6. . .解解iX引引入入隨隨機機變變量量1,1,2,30,iiXii 元元件件 需需要要調調整整. .元元件件 不不需需要要調調整整123123,0.1, 0.2, 0.30-1XXXXXXX則則. .且且相相互互獨獨立立，分分別別服服從從參參數數為為的的分分布布，例例4.18 設某臺機器由設某臺機器由3個元件組成，在設備運轉中各個元件組成，在設備運轉中各個元件需

45、要調整的概率分別是個元件需要調整的概率分別是0.1，0.2，0.3.假設各假設各個元件是否需要調整相互獨立，以個元件是否需要調整相互獨立，以X表示同時需要表示同時需要調整的元件數，試求調整的元件數，試求X的數學期望與方差。的數學期望與方差。. . .由數學期望與方差的性質及由數學期望與方差的性質及0-1分布的性質得到分布的性質得到E(X) =E(X1)+E(X2)+E(X3) =0.1+0.2+0.3=0.6D(X) =D(X1)+D(X2)+D(X3) =0.1 0.9+0.2 0.8+0.3 0.7=0.46. . .解法解法2：設：設A,B,C分別表示元件分別表示元件1，2，3需要調整，

46、需要調整，則則A,B,C兩兩相互獨立。兩兩相互獨立。X可以取值為可以取值為0, 1, 2, 3.P(X=0)=()( )() ()0.9 0.8 0.70.504P ABCP A P B P C()P ABCABCABC0.9 0.8 0.30.1 0.8 0.70.9 0.2 0.70.398()P ABCABCABCP(X=1)=P(X=2)=0.9 0.2 0.30.1 0.8 0.30.1 0.2 0.70.092P(X=3)=P(ABC)=0.1 0.2 0.3=0.006. . .所以所以X的分布律為的分布律為Xkp01230.5040.3980.0920.006E(X) =1 0

47、.398+2 0.092+3 0.006=0.6E(X 2)=1 0.398+22 0.092+32 0.006=0.82所以所以D(X)= E(X 2) (EX)2 =0.82-0.36 =0.46. . .1、 設隨機變量設隨機變量X服從幾何分布，概率分布為服從幾何分布，概率分布為PX=k=p(1-p)k-1, k=1,2,其中其中0p0, D(Y)0, 稱稱4.3.2 相關系數相關系數XY為為隨隨機機變變量量與與的的相相關關系系數數。0,XYXY 當當時時 稱稱和和關關。不不相相. . . *(,), ()( ),.( )XYXE XYE YXYE X YCovD YD XXY 其其中中

48、注：注：. . .相關系數的性質相關系數的性質(1)1XY (2)1:(0),11.XYa abP YaXbXY 的的充充要要條條件件是是存存在在常常數數使使，即即 與與 依依概概率率 線線性性相相關關. . .考慮考慮t的函數的函數*2( )()f tEtXY 對任意對任意t, 有有 0.f t 判別式判別式 2240.XY 故故1.XY 而而 2*2*222()21XYf tt E XtE X YE Ytt . . .(3) 不相關的充要條件不相關的充要條件o1,0;XYX Y 不不相相關關o2,(,)0;X YCov X Y不不相相關關o3,()()( )X YE XYE X E Y 不

49、不相相關關。o4,()()( )X YD XYD XD Y不不相相關關對對 X 與與 Y, 下列事實是等價的：下列事實是等價的：. . .(4) 若隨機變量若隨機變量X與與Y相互獨立相互獨立, 則則X與與Y不相關不相關.相互獨立相互獨立不相關不相關證：由于當證：由于當X和和Y獨立時，獨立時，Cov(X,Y)= 0.故故(,)()()XYCov X YD XD Y = 0. 請看下述反例：請看下述反例：注：其逆命題不真，即注：其逆命題不真，即. . .2(0,14.2)3,XNYX 設設例例23321()0,()02xE XE Xxedx 解解2(1,1)(1)(1)(1)P XYP XP XP

50、 Y 由由3(,)()()( )()()( )Cov X YE XYE X E YE XE X E Y (,)(,)0,0()( )XYCov X YCov X YD XD Y 于于是是且且證明證明: (1) X, Y不相關不相關; (2) X, Y不相互獨立不相互獨立.知知X, Y不相互獨立不相互獨立. . .21222112222212121( , )21()()()()1exp22(1)f x y xxyy 由由221212(,) (, ),X YN XY設設試試求求與與的的相相關關系系數數。解解,e21)(21212)(1 xxfxX2222()221( )e,2yYfyy 。例例4.

51、24. . .221212(),( ),(),( )E XE YD XD Y 。12(,)()() ( , )ddCov X Yxyf x yxy 而而221212221112212()122(1)1()()21eeddx y x xy yx 。,1111222 xyt令令,11xu . . .2222221212(,)1(1)ed d2utCov X Y tu utu tuutudede22222122 ttuutudede21222212212222 12(,)Cov X Y 故故有有。. . .(,)()( )XYCov X YD XD Y 于于是是。結論結論(1),;XY 二二維維正正

52、態(tài)態(tài)分分布布密密度度函函數數中中 參參數數代代表表了了與與的的相相關關系系數數(2) XYXY 二二維維正正態(tài)態(tài)隨隨機機變變量量與與相相關關系系數數為為零零 等等價價于于與與相相互互獨獨立立。. . .對對一般二維隨機變量一般二維隨機變量(X,Y)：獨立獨立 不相關不相關.若若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則服從二維正態(tài)分布，則X與與Y獨立獨立X與與Y不相關不相關.(,)()( )XYCov X YD XD Y. . .22,(1,3 ),1(0,4 ),232XYX YNXYNZ 已已知知隨隨機機變變量量分分別別服服從從設設。(1)(2)(3)?ZXZXZ求求的的數數學學期期望望和和方方差差。

53、求求與與的的相相關關系系數數。問問與與是是否否相相互互獨獨立立 為為什什么么解解.16)(, 0)(, 9)(, 1)()1( YDYEXDXE由由)23()(YXEZE 得得)(21)(31YEXE 13 。例例4.24. . .()()()2(,)3232XYX YD ZDDCov1111()( )2(,)9432D XD YCov X Y111()( )(4)93)XYD XD XYYDD 1423 。. . .)()(21)(31YDXDXDXY 330 。(,) ()()0XYCov X ZD XD Z 故故。(3),:由由二二維維正正態(tài)態(tài)隨隨機機變變量量相相關關系系數數為為零零和和

54、相相互互獨獨立立兩兩者者是是等等價價的的結結論論 可可知知XZ與與 是是相相互互獨獨立立的的。(2)(,)(,)32XYCov X ZCov X11(,)(,)32Cov X XCov X Y. . .1、XY設設隨隨機機變變量量（ ， ）具具有有概概率率密密度度1()02,02( , )80 xyxyf x y 其其它它(),( ),(,),()E XE YCov X YD XY 求求。2、22( ,),( ,)XNYNXY 設設，且且設設 ， 相相互互獨獨立立12(ZXYZXY試試求求和和的的相相關關系系數數 其其中中 ，是是不不全全為為零零的的常常數數）。. . .1、解、解715()(

55、 ),(,),()6369E XE YCov X YD XY 2、解、解2()( )D XD Y 222221()()()( )()D ZDXYD XD Y222222()()()( )()D ZDXYD XD Y1222122212(,)()()Z ZCov ZZD ZD Z 12(,)(,)Cov ZZCovXYXY22(,)( ,)Cov X XCov Y Y22()( )D XD Y222(). . .例例4.25 0,2,cos ,cos(),?aa 設設服服從從的的均均勻勻分分布布這這里里 是是常常數數 求求和和 的的相相關關系系數數解解201( )cos d0,2E 222011

56、()cosd,22E 201( )cos()d0,2Ea 222011()cos ()d,22Ea 2011()coscos()dcos ,22Eaa . . .22( )()( )DEE 22( )()( )DEE ( , )( )( )CovDD ( , )()( )( )CovEEE 1cos2a 1cos21122a cosa 12 12 . . ., 1,0 時時當當a, 1, 時時當當a 存存在在線線性性關關系系。, 0,232 時時或或當當aa 與與 不不相相關關。, 122 但但 因因此此與與 不不獨獨立立。cos ,cos()a cosXYa . . .4.4.1 基本概念基

57、本概念4.4.2 n 維正態(tài)變量的性質維正態(tài)變量的性質4.4矩與協(xié)方差矩陣矩與協(xié)方差矩陣. . .,(),1,2,kXYE XkXkk 設設和和是是隨隨機機變變量量 若若存存在在 稱稱它它為為的的簡簡。點點稱稱階階階階原原矩矩矩矩() ,2,3,kEXE XkkX 若若存存在在階階稱稱它它為為的的。中中心心矩矩(),1,2,klE X Yk lXYkl 若若存存在在稱稱它它為為和和的的階階?；旎旌虾暇鼐?.4.1 矩矩() ( ) ,1,2,klEXE XYE Yk lkYlX 若若存存在在 稱稱它它為為和和的的階階?；旎旌虾现兄行男木鼐?.定義定義. . .均值均值 E(X) 是是X一階原點

58、矩一階原點矩 方差方差 D(X) 是是X的二階中心矩的二階中心矩協(xié)方差協(xié)方差Cov(X,Y)是是X和和Y的二階混合中心矩的二階混合中心矩. . .例例4.26 柯西柯西 許瓦茲許瓦茲(Cauchy-Schwarz)不等式不等式 設設X與與Y是兩個隨機變量，若是兩個隨機變量，若E(X2),E(Y2) 存存在，則在，則證明證明 考慮實變量考慮實變量 t 的二次函數的二次函數222()()()E XYE XE Y2222( )() ()2()()0g tEXtYE XtE XYt E Y 2224()4 ()()0E XYE XE Y 222 ()()()E XYE XE Y . . .3. 協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣211() ()CEXE XD X 二維隨機變量二維隨機變量(X,Y)有四個二階中心矩有四個二階中心矩將它們排成矩陣形式將它們排成矩陣形式 這個矩陣稱為隨機變量這個矩陣稱為隨機變量(X,Y) 的協(xié)方差矩陣。的協(xié)方差矩陣。12()( )(,)CEXE XYE YCov X Y 21( )()( ,)CE YE YXE XCov Y X 222( ) ( )CE YE YD Y11122122CCCC. . .解解2 (,) 61(), 01, 02, ( , )720, (,) X Yxxyxyf x yX Y 設設二二維維連連續(xù)續(xù)