1、1第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力狀態(tài)分析 強度理論強度理論2第七章第七章 應(yīng)力狀態(tài)分析應(yīng)力狀態(tài)分析 強度理論強度理論 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析解析法解析法 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法圖解法 三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài) 廣義胡克定律廣義胡克定律 復雜復雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度 強度理論概述強度理論概述 四種常見的強度理論及強度條件四種常見的強度理論及強度條件 目目錄錄3低碳鋼低碳鋼 塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？鑄鑄 鐵鐵71 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念4脆性材料扭轉(zhuǎn)時為什么沿脆性材料扭

2、轉(zhuǎn)時為什么沿4545螺旋面斷開？螺旋面斷開？低碳鋼低碳鋼鑄鑄 鐵鐵71 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念5F laS1t tW WT Tz zz zW WM M3t tW WT Tz zz zW WM MzMzT4321yxM FlT Fa71 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念6123yxz x y z xy yx yz zy zx xz 單元體上沒有切應(yīng)力的面稱為單元體上沒有切應(yīng)力的面稱為主平面主平面；主平面上的正應(yīng)力；主平面上的正應(yīng)力稱為稱為主應(yīng)力，主應(yīng)力，分別用分別用 表示，并且表示，并且該單元體稱為該單元體稱為主單元體。主單元體。321,321 71 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念7123空間（

3、三向）應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力均不為零空間（三向）應(yīng)力狀態(tài)：三個主應(yīng)力均不為零平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)：一個主應(yīng)力為零平面（二向）應(yīng)力狀態(tài)：一個主應(yīng)力為零單向應(yīng)力狀態(tài)：兩個主應(yīng)力為零單向應(yīng)力狀態(tài)：兩個主應(yīng)力為零71 應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力狀態(tài)的概念8x xy yx y yx xy 0 nF 0 tF1.1.斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力 y a a xyd dA Axyx72 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析解析法解析法9 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dA

4、dAdAdAdAyyxxxy y a a xyd dA Axyx72 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析解析法解析法10利用三角函數(shù)公式利用三角函數(shù)公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化簡得化簡得xyyx 2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx72 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析解析法解析法11x xy yx y yx xya a使微元順時針方向使微元順時針方向轉(zhuǎn)動為正；反之為負。轉(zhuǎn)動為正；反之為負。角：由角：由x x 軸正向逆時針轉(zhuǎn)軸正向逆時針轉(zhuǎn)到斜截面外法線時為正；反到斜截面外法線時為正

5、；反之為負。之為負。 y a a xyntxyxx72 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析解析法解析法122sin2cos)(21)(21xyyxyx確定正應(yīng)力極值確定正應(yīng)力極值2cos22sin)(xyyxdd設(shè)設(shè)0 0 時，上式值為零，即時，上式值為零，即02cos22sin)(00 xyyx2. 正正應(yīng)力極值和方向應(yīng)力極值和方向0 02 2cos2cos2sin2sin22 2) )( (2 20 00 0 xyxy0 0y yx x即即0 0 時，切應(yīng)力為零時，切應(yīng)力為零72 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析解析法解析法13yxxy 22tan0 由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別

6、由上式可以確定出兩個相互垂直的平面，分別為最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在平面。為最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力所在平面。 所以，最大和最小正應(yīng)力分別為：所以，最大和最小正應(yīng)力分別為： 22max4212xyyxyx 22min4212xyyxyx 主應(yīng)力按代數(shù)值排序：主應(yīng)力按代數(shù)值排序：1 1 2 2 3 372 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析解析法解析法14試求試求（1 1） 斜面上的應(yīng)力；斜面上的應(yīng)力； （2 2）主應(yīng)力、主平面；）主應(yīng)力、主平面； （3 3）繪出主應(yīng)力單元體。）繪出主應(yīng)力單元體。例題例題1 1：一點處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。一點處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。 40 6030。30MPa

7、60 xMPa,30 xy,MPa40y已知已知72 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析解析法解析法15解：解： （1 1） 斜面上的應(yīng)力斜面上的應(yīng)力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02. 92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3 .58y x xy 72 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析解析法解析法16（2 2）主應(yīng)力、主平面）主應(yīng)力、主平面2yxxyyx22)2(maxMPa3 .682yxxyyx22)2(minMPa3 .48MPa3 .48, 0MPa,3 .68321y x xy 72 二

8、向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析解析法解析法17主平面的方位：主平面的方位：yxxytg2206 . 0406060,5 .1505 .105905 .150y x xy 代入代入 表達式可知表達式可知 主應(yīng)力主應(yīng)力 方向：方向：15 .150主應(yīng)力主應(yīng)力 方向：方向：3 5 .105072 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析解析法解析法18（3 3）主單元體：）主單元體：y x xy 5 .151372 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析解析法解析法192sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyxxyyxyx2222)2()2( 這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應(yīng)

9、力圓這個方程恰好表示一個圓，這個圓稱為應(yīng)力圓 7-3 7-3 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法圖解法20 xyyxyx2222)2()2(RCxyyxR22)2( 2yx 7-3 7-3 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法圖解法211.1.應(yīng)力圓的畫法應(yīng)力圓的畫法D( x , xy)D/( y , yx)c xy 2RxyyxR22)2( y yx xyADx 7-3 7-3 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法圖解法oB1 BA1A222.2.應(yīng)力圓上某一點的坐標值與單元體某一截面應(yīng)力圓上某一點的坐標值與單元體某一截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力一一對應(yīng)上的正應(yīng)力和切應(yīng)力一一對應(yīng)D( x

10、, xy)D/( y , yx)c xy 2 y yx xyxH 7-3 7-3 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法圖解法D( x , xy)D/( y , yx)c xy 2oB1 BA A1 2),(aaH0223 7-3 7-3 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法圖解法例題例題2：分別用解析法和圖解法求圖示單元體分別用解析法和圖解法求圖示單元體(1)指定斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力指定斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力;(2)主應(yīng)力值及主方向，并畫在單元體上。主應(yīng)力值及主方向，并畫在單元體上。單位：MPa24xyxxyxyxxyx8040602222102222220MPa, MPa MPa,

11、 =30MPaMPacossi nsi ncos.解：解：(一一)使用解析法求解使用解析法求解xyxxyxyxxyx 8 04 06 022221 0 22222 2 0M P a, M P a M P a, = 3 0M P aM P aco ssinsinco s. 7-3 7-3 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法圖解法25ma xmi nt a n.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa , , MPa123或min 65maxmintan.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa1

12、23或maxmi nt an.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或maxmi nt an.xyxyxxxy221056510506522122511252200MPaMPa, , MPa123或max 1050225. 7-3 7-3 二向應(yīng)力狀態(tài)分析二向應(yīng)力狀態(tài)分析圖解法圖解法26(二二)使用圖解法求解使用圖解法求解 作應(yīng)力圓，從應(yīng)力圓上可量出：作應(yīng)力圓，從應(yīng)力圓上可量出： 102221056522585MPaMPaMPaMPaMPa0maxminmax.27231三個主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)三個主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài) 7

13、-4 7-4 三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)2812312312329 7-4 7-4 三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)1.任意斜截面的應(yīng)力任意斜截面的應(yīng)力已知：斜截面法向的方向余弦為已知：斜截面法向的方向余弦為nmln,nn、應(yīng)用截面法可以求出應(yīng)用截面法可以求出 滿足以下方程組滿足以下方程組)()2()2()()2()2()()2()2(231322212221123222132213312122322232nmlnnnnnn30由三向應(yīng)力圓可以看出：由三向應(yīng)力圓可以看出：231max 結(jié)論：結(jié)論：代表單元體任意斜代表單元體任意斜截面上應(yīng)力的點，截面上應(yīng)力的點，必定在三個應(yīng)力圓必定在三個應(yīng)力圓圓周上或陰影

14、內(nèi)。圓周上或陰影內(nèi)。323 12 1 7-4 7-4 三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)311. 1. 基本變形時的胡克定律基本變形時的胡克定律xxE Exxy xyx1 1）軸向拉壓胡克定律）軸向拉壓胡克定律橫向變形橫向變形2 2）純剪切胡克定律）純剪切胡克定律 G 7-5 7-5 廣義胡克定律廣義胡克定律322 2、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律、三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律疊加法疊加法23132111E1231E1E2E3 7-5 7-5 廣義胡克定律廣義胡克定律3323132111E13221E21331E 7-5 7-5 廣義胡克定律廣義胡克定律34)(1zyxxE Gxyxy 3 3、廣義胡克定律

15、的一般形式、廣義胡克定律的一般形式)(1xzyyE )(1yxzzE Gyzyz Gzxzx x y z xy yx yz zy zx xz 7-5 7-5 廣義胡克定律廣義胡克定律35123單元體體積變化：4.abccbaVVabc1123111()()()abc()1123單位體積的體積改變?yōu)?VVV 1也稱為。體體積積應(yīng)應(yīng)變變1233612312123E()3 123123() EmK式中：體積彈性模量KEm3 123123()112322313312111EEE（）（）（）3712321能密度：單向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變332211212121能密度：三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變 7-67-6 復雜

16、應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度復雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度38332211212121112322313312111EEE（）（）（）122122232122331E () 7-67-6 復雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度復雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度3913mm2m1m2m3m應(yīng)變能密度=體積改變能密度+畸變能密度m1233dv40l由前面的討論知由前面的討論知mmmmmmmmv23212121由廣義虎克定律由廣義虎克定律mmmmmEEEE21v3 1222()Em1261232E()41)(221133221232221Ev3 1222()Em1261232E()vd16122232312E()()()123m

17、mm1m3m42強度理論：強度理論：人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過判斷推人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過判斷推理、概括，提出了種種關(guān)于破壞原因的假說，找出理、概括，提出了種種關(guān)于破壞原因的假說，找出引起破壞的主要因素，經(jīng)過實踐檢驗，不斷完善，引起破壞的主要因素，經(jīng)過實踐檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相符合，上升為理論。在一定范圍與實際相符合，上升為理論。 為了建立復雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件，而提出為了建立復雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件，而提出的關(guān)于材料破壞原因的假設(shè)及計算方法。的關(guān)于材料破壞原因的假設(shè)及計算方法。7-7 強度理論概述強度理論概述 材料之所以按某種方式破壞，是應(yīng)力、應(yīng)變或應(yīng)材料之所以按某種方

18、式破壞，是應(yīng)力、應(yīng)變或應(yīng)變能密度等因素中某一因素引起的。即無論是簡單或復變能密度等因素中某一因素引起的。即無論是簡單或復雜應(yīng)力狀態(tài)，引起破壞的原因是相同的，與應(yīng)力狀態(tài)無雜應(yīng)力狀態(tài)，引起破壞的原因是相同的，與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)。關(guān)。43構(gòu)件由于強度不足將引發(fā)兩種失效形式構(gòu)件由于強度不足將引發(fā)兩種失效形式 (1) (1) 脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。關(guān)于關(guān)于屈服的強度理論：屈服的強度理論：最大切應(yīng)力

19、理論和最大畸變能密度理論最大切應(yīng)力理論和最大畸變能密度理論 (2) (2) 塑性屈服（流動）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性塑性屈服（流動）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。關(guān)于關(guān)于斷裂的強度理論：斷裂的強度理論：最大拉應(yīng)力理論和最大伸長線應(yīng)變理論最大拉應(yīng)力理論和最大伸長線應(yīng)變理論7-7 強度理論概述強度理論概述441. 1. 最大拉應(yīng)力理論最大拉應(yīng)力理論（第一強度理論）（第一強度理論） 最大拉應(yīng)力是引起材料斷裂的主要因素最大拉應(yīng)力是引起材料斷裂的主要因

20、素。 即認為無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)即認為無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài),只要最大拉應(yīng)力達只要最大拉應(yīng)力達到簡單拉伸時破壞的極限值，就會發(fā)生脆性斷裂。到簡單拉伸時破壞的極限值，就會發(fā)生脆性斷裂。01 構(gòu)件危險點的最大拉應(yīng)力構(gòu)件危險點的最大拉應(yīng)力1 極限拉應(yīng)力，由單拉實驗測得極限拉應(yīng)力，由單拉實驗測得b 00 7-8 四種常見四種常見強度理論及強度條件強度理論及強度條件45b1 斷裂條件斷裂條件 nb1強度條件強度條件1. 1. 最大拉應(yīng)力理論（第一強度理論）最大拉應(yīng)力理論（第一強度理論）鑄鐵拉伸鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉(zhuǎn)鑄鐵扭轉(zhuǎn)7-8 四種常見四種常見強度理論及強度條件強度理論及強度條件462. 2. 最大伸

21、長線應(yīng)變理論最大伸長線應(yīng)變理論（第二強度理論）（第二強度理論） 最大伸長線應(yīng)變是引起斷裂的主要因素。最大伸長線應(yīng)變是引起斷裂的主要因素。 即認為無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)即認為無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài), ,只要最大伸長線只要最大伸長線應(yīng)變達到簡單拉伸時破壞的極限值，就會發(fā)生脆性應(yīng)變達到簡單拉伸時破壞的極限值，就會發(fā)生脆性斷裂。斷裂。01 構(gòu)件危險點的最大伸長線應(yīng)變構(gòu)件危險點的最大伸長線應(yīng)變1 極限伸長線應(yīng)變，由單向拉伸實驗測得極限伸長線應(yīng)變，由單向拉伸實驗測得0 E/)(3211 Eb/0 7-8 四種常見四種常見強度理論及強度條件強度理論及強度條件47實驗表明：實驗表明：此理論對于一拉一壓的二

22、向應(yīng)力狀態(tài)的脆此理論對于一拉一壓的二向應(yīng)力狀態(tài)的脆性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強度理論性材料的斷裂較符合，如鑄鐵受拉壓比第一強度理論更接近實際情況。更接近實際情況。強度條件強度條件)(321nb2. 2. 最大伸長線應(yīng)變理論最大伸長線應(yīng)變理論（第二強度理論）（第二強度理論）斷裂條件斷裂條件EEb)(1321b)(321即即7-8 四種常見四種常見強度理論及強度條件強度理論及強度條件48 最大切應(yīng)力是引起材料屈服的主要因素。最大切應(yīng)力是引起材料屈服的主要因素。 即認為無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)即認為無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài), ,只要最大切應(yīng)力只要最大切應(yīng)力達到了簡單拉伸屈服時的極限值，材

23、料就會發(fā)生屈達到了簡單拉伸屈服時的極限值，材料就會發(fā)生屈服。服。0max3. 3. 最大切應(yīng)力理論最大切應(yīng)力理論（第三強度理論）（第三強度理論） 構(gòu)件危險點的最大切應(yīng)力構(gòu)件危險點的最大切應(yīng)力max 極限切應(yīng)力，由單向拉伸實驗測得極限切應(yīng)力，由單向拉伸實驗測得0 2/0s 2/ )(31max7-8 四種常見四種常見強度理論及強度條件強度理論及強度條件49s31 屈服條件屈服條件 ss31n強度條件強度條件3. 3. 最大切應(yīng)力理論最大切應(yīng)力理論（第三強度理論）（第三強度理論）低碳鋼拉伸低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉(zhuǎn)低碳鋼扭轉(zhuǎn)7-8 四種常見四種常見強度理論及強度條件強度理論及強度條件50實驗表明：實驗表明：此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到此理論對于塑性材料的屈服破壞能夠得到較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生較為滿意的解釋。并能解釋材料在三向均壓下不發(fā)生塑性變形或斷裂的事實。塑性變形或斷裂的事實。)0(max局限性：局限性： 2 2、不