1、類型一：定點(diǎn)到動點(diǎn)定長'A京點(diǎn)向點(diǎn)點(diǎn)A為定點(diǎn)，點(diǎn)B為動點(diǎn)，AB為定長,則點(diǎn)B的軌跡為圓心為點(diǎn)A,半徑為AB的圓?！窘?jīng)典例題1】如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC邊上的動點(diǎn)，將4EBF沿EF所在直線折疊得到AEB'F連接B'D,則B'D的最小值是.【解析】如圖所示：當(dāng)/BFE=/B'EF點(diǎn)B'在DE上時(shí)，此時(shí)B'D的值最小,根據(jù)折疊的性質(zhì)，EBFzXEB'F, .EBUB'E .EB'=EB.E是AB邊的中點(diǎn),AB=4,AE=EB=2,vAD=6,DE=6222210,B

2、9;D210-2.練習(xí)1-1如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，且AE=2,點(diǎn)F是BC邊上的任意一點(diǎn)，把4BEF沿EF翻折，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為G,連接AG、CG,四邊形AGCD的面積是否存在最小值，若存在，求這個(gè)最小值及此時(shí)BF的長度。若不存在，請說明理由。【解析】(3)如圖3,四邊形ABCD是矩形， CD=AB=3,AD=BC=4,AABCD=90°,根據(jù)勾股定理得，AC=5, AB=3,AE=2, 點(diǎn)F在BC上的任何位置時(shí)，點(diǎn)G始終在AC的下方，設(shè)點(diǎn)G到AC的距離為h,S四邊形AGCD=Saacd+Saacg=-ADXCD+ACXh=X4X3+X5Xh=h+

3、6,22222要四邊形AGCD的面積最小，即：h最小，點(diǎn)G是以點(diǎn)E為圓心，BE=1為半徑的圓上在矩形ABCD內(nèi)部的一部分點(diǎn),EGAC時(shí)，h最小,由折疊知EGFWABC=90,延長EG交AC于H,則EHAC,BC4在RtABC中，sinBAC=BC=4,AC5,EH4在RtAEH中，AE=2,sinABAC=,AE5h=EHEG=8-1=355S四邊形AGCD最小=h+6=+6=.2252練習(xí)1-2如圖，等邊AABC的邊AB=8,D是AB上一點(diǎn),動點(diǎn)，將ADP沿直線DP折疊，A的對應(yīng)點(diǎn)為A',BD=3,P是AC邊上則CA'的長度最小值是【解析】2/E練習(xí)1-3如圖，在平行四邊形A

4、BCD中，BCD=30°,BC=4,CD=3®,M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動點(diǎn)，將9MN沿MN所在直線翻折得到那MN,連接A'C,則A'C長度的最小值是.第4題圖【解析】如圖，連接MC;過點(diǎn)M作MECD,交CD的延長線于點(diǎn)E;四邊形ABCD為平行四邊形， ADABC,AD=BC=4, 點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，BCD=30, DM=MA=2,AMDE=BCD=30, MEDM=1,de=52 CE=CD+DE=4v3,由勾股定理得：CM2=ME2+CE2,CM=7;由翻折變換的性質(zhì)得：MA=MA=2,顯然，當(dāng)折線MAC與線段MC重合時(shí)，線段A'C的長

5、度最短，此時(shí)AC=7-2=5故答案為5.練習(xí)1-4如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，/A=60°,點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn),點(diǎn)N是AB邊上一動點(diǎn)，將4AMN沿MN所在的直線翻折得到MN連結(jié)A'Q則A'C長度的最小值是（）A.7B.7-1C.3D.2【解析】如圖所示：:MA是定值，A'C長度取最小值時(shí)，即A'在MC上時(shí),過點(diǎn)M作MFLDC于點(diǎn)F,二.在邊長為2的菱形ABCD中，/A=60°,M為AD中點(diǎn)，.2MD=AD=CD=2,/FDM=60°,./FMD=30°,FD=MD=,22。3FM=DMcos30=，2.MC=JFM2

6、CF2方,.A'C=MC-MA=7-1.故選：B.變式：在RtABC中，/C=90,AC=6,BC=8,點(diǎn)F在邊AC上，并且CF=2,點(diǎn)E為邊BC上的動點(diǎn)，將4CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，則點(diǎn)P到邊AB距離的最小值是解題思路：同上題，不難看出點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡為以點(diǎn)F為圓心，PF為半徑的圓上運(yùn)動，求點(diǎn)P到AB的距離最小，可過點(diǎn)F作AB的垂線于點(diǎn)M,交圓F于點(diǎn)P,此時(shí)，最小值為PM。根據(jù)AAMPsAACB可以先求出PM的值，A再根據(jù)PM=FM-FP,可算出最小值。MPFC加明：參照知識點(diǎn)儲備4,點(diǎn)直線距離。變式1.如圖1,四邊形ABCD中，AB=AC=AD,若/CAD=76

7、6;,則/CBD=M?！窘馕觥咳鐖D，因?yàn)锳B=AC=AD,故B、C、D三點(diǎn)在以A為圓心的圓上,1故/CBD=CAD=38°2變式2如圖，在AABC內(nèi)有一點(diǎn)D,使得DA=DB=DC,若/DAB=20”,ZDAC=30°貝UZBDC=c【解析】1000類型二：定角對定長題型識別：有一條長度固定的線段，這條線段所對的張角固定不變?？偨Y(jié)：定角對定長，關(guān)鍵在于確定圓心的位置和半徑的大小。確定圓心圓心在定長線段的垂直平分線上，再根據(jù)圓周角與圓心角之間的關(guān)系，求出此定角所對的圓心角的大小，即可確定圓心的位置。計(jì)算半徑-根據(jù)垂徑定理及銳角三角函數(shù)可求半徑的大小?！窘?jīng)典例題2】如圖，F(xiàn)是正方

8、形ABCD的邊CD上一動點(diǎn)，AB=2,連接BF,過A作A心BF交BC于H,交BF于G,連接CG,當(dāng)CG為最小值時(shí)，CH的長為（）.1 _2.5A.2B.5C.3-5D.3.55【解析】如圖1中，取AB的中點(diǎn)O,連接OG,OC.2 .四邊形ABCD是正方形，./ABC=90°,.AB=2,aOB=OA=1,OC=OB2BC212225,vAHXBF,./AGB=90AO=OB,.OG=1AB=1,因2vCG?OC-OG,當(dāng)O,G,C共線時(shí)，CG的值最小，最小值=75-1(如圖2中),.OB=OG=1,.OBG=/OGB,.AB/CD,.OBG=/CFG,/OGB=/CGF,./CGF=

9、/CFG,.CF=CG=V5-1,./ABH=/BCF=/AGB=90°,圖二 ./BAH+/ABG=90°,/ABG+/CBF=90°, ./BAH=/CBF,.AB=BC,.,.ABHABCF(ASA),BH=CF=v'5-1, .CH=BC-BH=2-(-51)=3-5,故選：C.練習(xí)2-1在正方形ABCD中，AD=2,E,F分別為邊DC,CB上的點(diǎn)，且始終保持DE=CF,連接AE和DF交于點(diǎn)P,則線段CP的最小值為.【解析】如圖，在9DE和4DCF中，ADDCADEDCFDECF ADE2ADCF(SAS) DAE=ACDF DAE+AAED=90

10、°3DF+AAED=90°,ADPE=AAPD=90°.aPD=90°保持不變點(diǎn)P的軌跡為以AD為直徑的一段弧上取AD中點(diǎn)Q,連接CQ,與該圓弧交點(diǎn)即為點(diǎn)P,此時(shí)CP值最小在RtBQD中,CQ=T5CP=CQPQ=5-1且滿足練習(xí)2-2如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=8,點(diǎn)P為矩形內(nèi)一動點(diǎn),/PBC=ZPCD,貝U線段PD的最小值為()【解析】二.四邊形ABCD為矩形，./BCD=90°,/PBC=/PCD,./PBC+/PCB=90°,丁./BPC=90°,點(diǎn)P在以BC為直徑的。O上，連接OD交。于P',連接

11、OP、PD,如圖，:PD?OD-OP(當(dāng)且僅當(dāng)O、P、D共線時(shí)，取等號)，即P點(diǎn)運(yùn)動到P'位置時(shí)，PD的值最小，最小值為DP,1在RDOCD中，OC=BC=4,CD=AB=3,2OD=32425,.DP=OD-OP=5-4=1,線段PD的最小值為1.故選：B.練習(xí)2-3如圖，圓O的半徑為22,正方形ABCD內(nèi)接于圓O,點(diǎn)E在弧ADC上運(yùn)動，連接BE,作AUBE,垂足為F,連接CF則CF的最小值為.【解析】51變式：如圖，RtABC中，AB±BC,AB=6,BC=4,P是4ABC內(nèi)部的一個(gè)動點(diǎn)，且滿足/PAB=/PBC,則線段CP長的最小值為解題思路：由/PAB=/PBC和/A

12、BC=90,可得/P=90°AB=6,為定長且位置不變，定角/P的頂點(diǎn)是動點(diǎn)，由定角對定長，可得動點(diǎn)P的軌跡為：以AB為直徑的圓上，圓心為AB的中點(diǎn)。取AB得中點(diǎn)O,連接OC,交圓O為點(diǎn)P,此時(shí)CP取最小值為OC-OP=2.APBC如圖，在邊長為6的等邊4ABC中,AE=CD,連接BE、AD相交于點(diǎn)P,則CP的最小值為證明：參照知識點(diǎn)儲備1,點(diǎn)圓距離。解題思路：由等邊三角形和AE=CD,可證可得/ABE=/DAC,/ABE+/BAD=60,即/APD=120AB=6,為定長且位置不變，定角/APD的頂點(diǎn)是動點(diǎn)，由定角對定長，可得動點(diǎn)P的軌跡為：劣弧AB上。圓心和半徑的確定可以參照模型

13、二中第5個(gè)。連接CO交圓于點(diǎn)P,止匕時(shí)CP的最小值為OC-OP=23證明：參照知識點(diǎn)儲備1,點(diǎn)圓距離。如圖所示，邊長為2的等邊4ABC的，點(diǎn)8在乂軸的正半軸運(yùn)動，/BOD=30°,點(diǎn)A在射線OD上移動，則頂點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離為解題思路：此題可以參照模型二中的第6種，定角的頂點(diǎn)不動，定長線段位置在變化。由此可OAB的外接圓在變化，但是半徑不變，取任意一個(gè)位置作出4OAB的外接圓，如圖所示，此時(shí)可取AB的中點(diǎn)F,無論在什么時(shí)刻,OE、EF、CF的長度是不變的，當(dāng)點(diǎn)O、E、F、C四點(diǎn)共線時(shí)，OC值取最大，最大值為:OE+EF+CF=2+、3+、3=2+2,3x變式2:如圖，點(diǎn)A是直線y=

14、-x上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)B是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，若AB=2,則4AOB面積的最大值為.【解析】角AOB為定值：135°或45°,線段AB為定長2,可做ABO的外接圓（圓心為P）,可知圓心角角APB等于2*45=90,所以半徑為J2,O點(diǎn)在線段AB正上方是高最大，此時(shí)高為（1+<2）已知正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)M,N分別從點(diǎn)B,C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC,CD方向向終點(diǎn)長的最大值？C和D運(yùn)動，連接AM和BN,交于點(diǎn)P求4APB周AC為邊長2后的菱形ABCD的對角線，ABC=60，點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC、AC向終點(diǎn)C和A運(yùn)動，連接AM和BN,

15、交于點(diǎn)P,求4APB周長的最大值？APCMA/ikjf/1i/O*/1;|N/I/PBMCDA°/Kn-NPBMC【解析】問題探究(1)如圖，已知正方形ABCD的邊長為4.點(diǎn)M和N分別是邊BC、CD上兩點(diǎn)，且BM=CN,連接AM和BN,交于點(diǎn)P.猜想AM與BN的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(2)如圖，已知正方形ABCD的邊長為4點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC、CD方向向終點(diǎn)C和D運(yùn)動.連接AM和BN,交于點(diǎn)P,求4APB周長的最大值；問題解決(3)如圖，AC為邊長為2北的菱形ABCD的對角線，/ABC=60.點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，以相同的速度沿BC、CA向

16、終點(diǎn)C和A運(yùn)動.連接AM和BN,交于點(diǎn)P.求4APB周長的最大值.ANCC理由：如圖中,【解析】(1)結(jié)論：AM±BN.二.四邊形ABCD是正方形, .AB=BC,/ABM=/BCN=90,vBM=CN, .ABMBCN, ./BAM=/CBN, /CBN+/ABN=90, ./ABN+/BAM=90, ./APB=90,AM±BN.(2)如圖中，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形AAEB,/AEB=90,作EFLPA于E,作EGLPB于G,連接EP.荃 /EFP=/FPG=/G=90,一四邊形EFPG是矩形， ./FEG=/AEB=90, ./AEF=/BEG,vEA=EB

17、,/EFA=/G=90,.AEFABEG, .EF=EG,AF=BG,一四邊形EFPG是正方形， .PA+PB=PF+AF+PG-BG=2PF=2EF,vEF<AE,EF的最大值=AE=222,.APB周長的最大值=4+472.(3)如圖中，延長DA至ijK,使得AK=AB,則4ABK是等邊三角形，連接PK,取PH=PB.AB=BC,/ABM=/BCN,BM=CN,.ABMBCN,ZBAM=ZCBN,ZAPN=ZBAM+ZABP=ZCBN+ZABN=60,ZAPB=120,vZAKB=60,ZAKB+ZAPB=180,.A、K、B、P四點(diǎn)共圓，ZBPH=ZKAB=60,PH=PB,.PB

18、H是等邊三角形，ZKBA=ZHBP,BH=BP,ZKBH=ZABP,vBK=BA,AKBHAABP,HK=AP,.PA+PB=KH+PH=PK,，PK的值最大時(shí)，APB的周長最大，PK的值最大，最大值為4,當(dāng)PK是AABK外接圓的直徑時(shí)，.PAB的周長最大值=2<3+4.類型三：四點(diǎn)共圓判定1四點(diǎn)圍成的四邊形，對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角;若/A+/DCB=180,或/B+/D=180°或/DCE=A,則點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓。判定2連接四點(diǎn)圍成的四邊形的對角線，被交點(diǎn)分成的兩條線段長度的積相等;若EC-AE=EDBE,則點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓。AAxo判定3運(yùn)用圓幕定理中的割

19、線定理;若EA-ED=EBEC則點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓DAOE-BC判定4四點(diǎn)連成共底邊的兩三角形，兩三角形的頂角都在共底邊的同側(cè)且相等；若/A=/D,則點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓。DA【經(jīng)典例題3】如圖，/xOy=450,一把直角三角尺4ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A.B分別在OX,OY上移動，其中AB=10,則點(diǎn)O到頂點(diǎn)A的距離的最大值為點(diǎn)O到AB的距離的最大值為By【解析B°,sin45sinABO當(dāng)/ABO=90°時(shí)，點(diǎn)O到頂點(diǎn)A的距離的最大。則OA=.2AB=10,2.點(diǎn)O到AB的距離的最大值為5+5<2.故答案是：10J2,5+5<2.O練習(xí)3-1如圖1,等邊4

20、ABC中，AB=6,P為AB上一動點(diǎn)，PDXBC,PEXAC,則DE的最小值為?【解析】四邊形P、D、C、E四點(diǎn)共圓，角EOD=2角ECD=120°,設(shè)半徑為R,故ED=v3R,要使得DE最小，則半徑E最小故當(dāng)直徑PC最小，CP垂直AB時(shí)，PC最短為3超,半徑為空29故DE=3R=92練習(xí)3-2如圖，點(diǎn)D為/ABC的一邊BC上一丁點(diǎn)，且BD=5,線段PQ在/ABC另一邊AB上移動，且PQ=2,若sinB=3,則當(dāng)/PDQ達(dá)到最大值時(shí)，PD的長5為?【解析】D為定點(diǎn)，PQ=2是定長所以當(dāng)DH垂直評分線段PQ時(shí)，角PDQ的值最大。聞：Rf)CN兩點(diǎn),練習(xí)3-3如圖1,正方形ABCD中，/

21、EAF=45,AE、AF交BD于M、連EN.一，.八RFr-(1)若EF/MN,則/ANE=90,-EF72.MN(2)如圖2,轉(zhuǎn)動/EAF,(1)中的結(jié)論是否仍成立？請證明.【解析】(1)延長CB,在CB的延長線上截取GB=DF,連接AG,在正方形ABCD中,/DBC=45,AB=AD,./DBC=/EAF=45,A、B、E、N四點(diǎn)共圓,由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可知：/ANE=90, ./EAF=45,.ANE是等腰直角三角形， .AE=顯AN,在4GBA與4FDA中，AB=AD,/ABG=/ADF,GB=DF,.GBAAFDA(SAS),丁./GAB=/FAD,GA=AF,vZBAE+/FAD+

22、/EAF=90, ./BAE+/FAD=45, ./BAE+/GAB=45,即/GAE=45,在AGAE與AFAE中，GA=AF,/GAE=/FAE,AE=AE,.GAEAFAE(SAS), .GE=EF,由圓周角定理可知，/AEG=/ANM, ./GAE=/MAN, .AGEs/XAMN .GE/MN=AE/AN=J2,即EF/MN=旌,(2)轉(zhuǎn)動/EAF時(shí)，由于AE、AF交BD于M、N兩點(diǎn),延長CB,在CB的延長線上截取GB=DF,連接AG,在正方形ABCD中，/DBC=45,AB=AD, ./DBC=/EAF=45, A、B、E、N四點(diǎn)共圓，/ABC=90,由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可知：/AN

23、E=90,/EAF=45,.ANE是等腰直角三角形，AE=V2AN,在4GBA與4FDA中，AB=AD,/ABG=/ADF,GB=DF,.GBAAFDA(SAS),丁./GAB=/FAD,GA=AF,vZBAE+/FAD+/EAF=90, /BAE+/FAD=45, /BAE+/GAB=45,即/GAE=45,在AGAE與AFAE中，GA=AF,/GAE=/FAE,AE=AE,.GAEAFAE(SAS), .GE=EF,由圓周角定理可知，/AEG=/ANM, ./GAE=/MAN, .AGEs/XAMN .GE/MN=AE/AN=22,即EF/MN=22,故答案為：(1)90°,、/

24、；練習(xí)3-4已知：正方形ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，且ED=FC,ED、FC交于點(diǎn)G,連接BG,BH平分/GBC交FC于H,連接DH.(1)求證：EDXFC;(2)求證：4DGH是等腰直角三角形。E【解析】B證明：（1），.在正方形ABCD中， .AD=CD,.ED=FC,/CDA=/A=90°,即在RtAAED和RtAFDC中，vAD=CDFC=ED,RtAAEDRtAFDC（HL）, ./AED=/DFC,/AFC+/DFC=180°,./AFC+/AED=180°, /A+/FGE=180°（四邊形內(nèi)角和定理）, /A=90°,丁./FGE=90°,即EDXFC;連接EC,.由（1）得/FGE=90°,/ABC=90°, ./EGC+/EBC=180°, .B、C.G、E四點(diǎn)共圓(如圖所示)，? ./AED=/BCG, ./BGC=/BEC,在RTABCEffiRTAADE中，.BE=AE,/EBC=/A,BC=AD,RTABCERTADE(SAS), ./AED=/BEC, ./BGC=/AED, ./BGC=/BCG,B