1、引言：引言： 從參數(shù)的點估計可以看出，對同一個待估參數(shù)，用不同的估計方法可能得到不同的估計量，其實，根據(jù)估計量的定義，原則上任何統(tǒng)計量都可以作為未知參數(shù)的估計量。對同一個待估參數(shù)的眾多不同的估計量，有時需要判斷哪一個更好，這就需要一些標準來做評價。下面介紹三個標準。第七章 參數(shù)估計2 評價估計量的標準1無偏性：設 是參數(shù) 的估計量，如果對于任何可能的參數(shù)值，都有則稱 是 的無偏估計量。在科學技術(shù)中 稱為以 作為 的估計的系統(tǒng)誤差。無偏估計的實際意義就是無系統(tǒng)誤差。),(21nXXX)(E)(E第七章 參數(shù)估計2 評價估計量的標準例1設總體 的 階矩 存在，試證明 階樣本矩是 階總體矩的無偏估計

2、。證明：設 是來自 的一個樣本，則 與 同分布，故 與 的 階矩相同，即 從而有Xkk) 1)(kXEkknXXX,21XXnXXX,21iXXk), 2 , 1()()(niXEXEkkkiknikinikikXEnXnEAE)(1)1()(11k第七章 參數(shù)估計2 評價估計量的標準例2設總體 服從指數(shù)分布，概率密度為 其中，參數(shù) 為未知，又設 是來自 的一個樣本，試證 和 都是 的無偏估計量證明：因為 ，所以 是 的無偏估計量由于 的分布函數(shù)是X0,00,1),(xxexfx0nXXX,21),min(21nXXXnnZ)()(XEXE0,00,1),(xxexFx第七章 參數(shù)估計2 評價

3、估計量的標準XXXX返回主目錄所以 因此 的概率密度為 于是得 ，所以 也是 的無偏估計量0, 00,1),(1 1),(minxxexFxFnxn),min(21nXXXZ0, 00,),()(minminxxenxFxfnx)(,)(nZEnZEnZ第七章 參數(shù)估計2 評價估計量的標準返回主目錄例3設總體 為未知參數(shù)， 為 的樣本，試證： 是待估函數(shù) 的無偏估計量。證明： 所以 是 的無偏估計。注意： 而它的無偏估計量 ，當 取奇數(shù)值時，估計值為負數(shù)，用一個負數(shù)來估計 顯然是不合理的，這說明它是一個有明顯弊病的無偏估計。0),(X1XX1)2(X3e3200!)2(!)2()2(11eee

4、kekeEkkkkkX1)2(X3e03e1)2(X1X03e第七章 參數(shù)估計2 評價估計量的標準返回主目錄2有效性：有效性：設 與 是參數(shù) 的無偏估計量，如果對于任何可能的參數(shù)值 ，都有 且至少對于某一個參數(shù)值 使不等號成立，則稱 比 有效。),(2111nXXX),(2122nXXX)()(21DD012第七章 參數(shù)估計2 評價估計量的標準返回主目錄例1.設 是來自總體 的一個樣本， 是樣本均值， 是樣本中去掉第 個個體 后，其余 個個體所構(gòu)成樣本的均值： 如果用 和 作為 的估計，試比較它們的有效性。nXXX,21XXXDXE,)(,)(2)( iX iiX1nijjnXiX1)(X)(

5、 iX 第七章 參數(shù)估計2 評價估計量的標準返回主目錄 解：易知 和 都是 的無偏估計量。又 由于 ，所以 較 有效。 這個例子告訴我們，當用樣本均值去估計總體均值時，使用全體樣本總比不使用全體樣本好。X)( iX 2211)(,1)(niXDnXD)()(iXDXDX)( iX 第七章 參數(shù)估計2 評價估計量的標準例2設總體 服從指數(shù)分布，概率密度為 其中，參數(shù) 為未知，又設 是來自 的一個樣本，已證 和 都是 的無偏估計量，試比較 時哪一個更有效？X0, 00,1),(xxexfx0nXXX,21XX),min(21nXXXnnZ1n第七章 參數(shù)估計2 評價估計量的標準解：由于 ，所以 。

6、又因 于是 ，所以 ，當 時有 ，故 比 更有效。1n2)(XDnXD2)(ndxxxfZE)()(min22min222)()(ndxxfxZE2222)()()(nZEZEZD2)(nZD)()(nZDXDXnZ第七章 參數(shù)估計2 評價估計量的標準返回主目錄3相合性：相合性：設 是參數(shù) 的估計量 ，如果對于任何可能的參數(shù)值 ，當 時， 依概率收斂于 ，即 ,有 則稱 是 的相合估計量，也稱一致估計量。 ),(21nXXXn01limPn第七章 參數(shù)估計2 評價估計量的標準返回主目錄 容易證明，樣本均值是總體均值的相合估計量，樣本方差是總體方差的相合估計量，樣本 階矩是總體 階矩的相合估計量，另外，由最