1、常微分方程初值問題的數(shù)值解法預(yù)備知識(shí)一階常微分方程初值問題指的數(shù)值解法：在指定的區(qū)間a,b中的點(diǎn)列 xk=x0+k*h (k=0,1,n) 的近似值yk。即求解函數(shù)y(x)一 歐拉法二 龍格庫塔法(R-K)多步法代表是Adams法1)歐拉法根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義離散化之后，有：hxyhxyxy)()()( 代入常微分方程，并構(gòu)造迭代系列得：,.1 , 0,),()(100kyxfhyyyxykkkk2)隱式歐拉法( )()( )y xy xhy xh代入常微分方程，并構(gòu)造迭代系列得：0011()(,),0,1,.kkkky xyyyh f xyk11(1)( )1111111( ,)( ,)( ,).

2、iiiikkiiiiiiiiyyhf x yyyhf x yKf x yyyhKK 變換為令的計(jì)算使用迭代法隱式歐拉法的求解: 利用迭代的思路進(jìn)行.中點(diǎn)歐拉法、改進(jìn)的歐拉法3)中點(diǎn)歐拉法11()()()2kkky xy xy xh代入常微分方程，并構(gòu)造迭代系列得：0011()2(,),0,1,.kkkky xyyyh f xyk4)改進(jìn)的歐拉法00112121()(),0,1,.2,( ,)(,)iiiiiiy xyhyyKKkKf x yKf xh yhK其中在區(qū)間0，1上取步長h=0.2求解如下的常微分方程：1)0(2yyxyy解：按照歐拉法的計(jì)算公式，分別得到如下的函數(shù)值：83. 1)6

3、8. 18 . 0*268. 1 (*2 . 068. 1)0 . 1 (68. 1)53. 16 . 0*253. 1 (*2 . 053. 1)8 . 0(53. 1)37. 14 . 0*237. 1 (*2 . 037. 1)6 . 0(37. 1)20. 12 . 0*220. 1 (*2 . 020. 1)4 . 0(20. 1)10*21 (*2 . 01)2 . 0(1)0(yyyyyy建立高精度的單步遞推格式。建立高精度的單步遞推格式。單步遞推法的基本思想是從單步遞推法的基本思想是從 ( xi , yi ) 點(diǎn)出發(fā)，以某一點(diǎn)出發(fā)，以某一斜率沿直線達(dá)到斜率沿直線達(dá)到 ( xi+

4、1 , yi+1 ) 點(diǎn)。歐拉法及其各種變點(diǎn)。歐拉法及其各種變形所能達(dá)到的最高精度為形所能達(dá)到的最高精度為2階。階。 考察改進(jìn)的歐拉法，可以將其改寫為：考察改進(jìn)的歐拉法，可以將其改寫為：),(),(2121121211hKyhxfKyxfKKKhyyiiiiii 斜率斜率一定取一定取K1 K2 的平均值嗎？的平均值嗎？步長一定是一個(gè)步長一定是一個(gè)h 嗎？嗎？2 Runge-Kutta Method首先希望能確定系數(shù)首先希望能確定系數(shù) 1、2、p，使得到的算法格式有，使得到的算法格式有2階精度，即在階精度，即在 的前提假設(shè)下，使得的前提假設(shè)下，使得 )(iixyy )()(311hOyxyRii

5、i Step 1: 將將 K2 在在 ( xi , yi ) 點(diǎn)作點(diǎn)作 Taylor 展開展開)(),(),(),(),(2112hOyxfphKyxphfyxfphKyphxfKiiyiixiiii )()()(2hOxyphxyii 將改進(jìn)歐拉法推廣為：將改進(jìn)歐拉法推廣為：),(),(12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii l ll l),(),(),(),(),(),()(yxfyxfyxfdxdyyxfyxfyxfdxdxyyxyx Step 2: 將將 K2 代入第代入第1式，得到式，得到 )()()()()()()()(322212211hOxyphxyh

6、yhOxyphxyxyhyyiiiiiiii l ll ll ll ll l2 Runge-Kutta MethodStep 3: 將將 yi+1 與與 y( xi+1 ) 在在 xi 點(diǎn)的泰勒展開作比較點(diǎn)的泰勒展開作比較)()()()(322211hOxyphxyhyyiiii l ll ll l)()(2)()()(321hOxyhxyhxyxyiiii 要求要求 ，則必須有：，則必須有：)()(311hOyxyRiii21,1221 pl ll ll l這里有這里有 個(gè)未知個(gè)未知數(shù)，數(shù)， 個(gè)方程。個(gè)方程。32存在無窮多個(gè)解。所有滿足上式的格式統(tǒng)稱為存在無窮多個(gè)解。所有滿足上式的格式統(tǒng)稱為

7、2階龍格階龍格 - 庫庫塔格式。塔格式。21, 121 l ll lp注意到，注意到， 就是改進(jìn)的歐拉法。就是改進(jìn)的歐拉法。 Q: 為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進(jìn)一步推廣？為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進(jìn)一步推廣？其中其中i ( i = 1, , m )，i ( i = 2, , m ) 和和 ij ( i = 2, , m; j = 1, , i1 ) 均為待定系均為待定系數(shù)，確定這些系數(shù)的步數(shù)，確定這些系數(shù)的步驟與前面相似。驟與前面相似。 2 Runge-Kutta Method).,(.),(),(),(.1122112321313312122122111 mm mmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyyb bb bb ba ab bb ba ab ba al ll ll l 最常用為四級(jí)最常用為四級(jí)4階經(jīng)典龍格階經(jīng)典龍格-庫塔法庫塔法 /* Classical Runge-Kutta Method */ ：),(),(),(),()22(34222312221432161hKyhxfKKyxfKKyxfKyxfKKKKKyyiihihihihiiihii R-K例題例題用R-K法求解方程的解在區(qū)間0，1，h=0.2）1)0(,2yyxyy解，有R-K算法