1、會(huì)計(jì)學(xué)1線性代數(shù)線性代數(shù)(xin xn di sh)高等代數(shù)知高等代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)識(shí)點(diǎn)總結(jié)第一頁，共54頁。展開展開(zhn ki)第2頁/共54頁第二頁，共54頁。計(jì)算計(jì)算(j (j sun)sun)數(shù)字?jǐn)?shù)字型型抽象抽象(chux(chuxing)ing)型型三角三角(snjio)(snjio)化法化法；重要行列式法；重要行列式法；加邊法；加邊法；遞推法。遞推法。用行列式性質(zhì)；用行列式性質(zhì)；用矩陣性質(zhì)；用矩陣性質(zhì)；用特征值；用特征值；利用矩陣相似。利用矩陣相似?！緹狳c(diǎn)熱點(diǎn)】注意與矩陣的運(yùn)算相聯(lián)系的一些行列式注意與矩陣的運(yùn)算相聯(lián)系的一些行列式的計(jì)算及其證明的計(jì)算及其證明. . 第3頁/共54頁第

2、三頁，共54頁。證證|A|=0AX=0有非零解；有非零解；反證法；反證法；R(A)n;A可逆；可逆；|A|= - |A|；A的列向量的列向量(xingling)組線性相組線性相關(guān)；關(guān)；0是是A的特征值；的特征值；第4頁/共54頁第四頁，共54頁。應(yīng)用應(yīng)用(yngyng)AX=0有非零解；有非零解；伴隨矩陣求逆法；伴隨矩陣求逆法；克拉姆法則克拉姆法則;A可逆的證明可逆的證明(zhngmng)；線性相關(guān)線性相關(guān)(無關(guān)無關(guān))的判定；的判定；特征值計(jì)算。特征值計(jì)算。第5頁/共54頁第五頁，共54頁。二、特殊二、特殊(tsh)(tsh)行列式的值行列式的值 第6頁/共54頁第六頁，共54頁。第7頁/共5

3、4頁第七頁，共54頁。第8頁/共54頁第八頁，共54頁。第9頁/共54頁第九頁，共54頁。三、有關(guān)行列式的幾個(gè)三、有關(guān)行列式的幾個(gè)(j )重要公式重要公式1、若、若A是是n階矩陣階矩陣(j zhn)，則，則*1| |nAA2、若、若A,B是是n階矩陣階矩陣(j zhn)，則，則| |ABA B3、若、若A是是n階矩陣，則階矩陣，則|nkAkA4、若、若A是是n階可逆矩陣，則階可逆矩陣，則11| |AA5、若、若A是是n階矩陣，階矩陣，(1,2, )iin是是A的的n個(gè)特征值，則個(gè)特征值，則1|niiA6、若、若A與與B相似，則相似，則| |AB第10頁/共54頁第十頁，共54頁。行列式的計(jì)算行

4、列式的計(jì)算(j sun)（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）常用常用(chn yn)方法方法：u三角化法三角化法u展開展開(zhn ki)降階法（和消元相結(jié)合最為降階法（和消元相結(jié)合最為有效）有效）u加邊法加邊法u歸納法歸納法u化為已知行列式（一些有固定形式的行列化為已知行列式（一些有固定形式的行列式，如：三角形、爪型、式，如：三角形、爪型、“范德蒙范德蒙”行列式行列式等）等）第11頁/共54頁第十一頁，共54頁。u行列式計(jì)算（重點(diǎn)）行列式計(jì)算（重點(diǎn)）1、具體階數(shù)行列式計(jì)算、具體階數(shù)行列式計(jì)算2、較簡單的、較簡單的n階行列式計(jì)算階行列式計(jì)算u與行列式定義、性質(zhì)有關(guān)的問題與行列式定義、性質(zhì)有關(guān)的問題u需利用行列式進(jìn)

5、行判定需利用行列式進(jìn)行判定(pndng)的問題的問題如：如：1、“Crammer”法則判定法則判定(pndng)方程組的解方程組的解況況2、矩陣可逆性、矩陣可逆性3、向量組相關(guān)性（向量個(gè)數(shù)向量維數(shù)）、向量組相關(guān)性（向量個(gè)數(shù)向量維數(shù)）4、兩個(gè)矩陣相似的必要條件、兩個(gè)矩陣相似的必要條件5、矩陣正定、半正定的必要條件、矩陣正定、半正定的必要條件第12頁/共54頁第十二頁，共54頁。矩矩陣陣運(yùn)算運(yùn)算行行列列式式初等變初等變換換和標(biāo)準(zhǔn)和標(biāo)準(zhǔn)形形特殊特殊矩陣矩陣13第13頁/共54頁第十三頁，共54頁。轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置取逆取逆伴隨伴隨加法(A+B)T=AT+BT數(shù)乘(kA)T= k AT(kA) 1= k 1A

6、1 (kA)*= kn 1A*乘法(AB)T= BT AT(AB) 1= B 1 A 1(AB)*= B*A*轉(zhuǎn)置(AT)T=A(AT) 1=(A 1)T(AT)*=(A*)T取逆(A 1) 1=A(A 1)*(A*) 1伴隨(A*)*=|A|n 2A*其它A-1=|A|-1A*AA*=A*A=|A|I當(dāng)當(dāng)A可逆時(shí)，可逆時(shí)，A*|A|A 114第14頁/共54頁第十四頁，共54頁。行列式行列式秩數(shù)秩數(shù)加法r(A+B)r(A)+r(B)數(shù)乘|kA|=kn|A|r(kA)=r(A) (k0)乘法|AB|=|A|B|r(A)+r(B)-nr(AB)r(A), r(B)轉(zhuǎn)置|AT|=|A|r(AT)=

7、r(A)取逆|A 1|=|A| 1伴隨|A*|=|A|n 1 n, 若若r(A)=n r(A*)= 1, 若若r(A)=n 1 0, 若若r(A)0p=n A=PTP k0第18頁/共54頁第十八頁，共54頁。.00, 0,. 5 .00, 0,. 4.)(,. 3 .)(,. 2.,. 1 :222BAABnBABAABBABABABAnBABABABAAATTT或則若階方陣均為若或則有若矩陣則階方陣為若則為同階矩陣若則若判斷題.,.10.)(,. 9 .)(,. 8 .,. 7.,. 61111111是同階方陣可交換的必要條件為與則為同階可逆方陣若則為同階可逆方陣若則階方陣都是若有對(duì)于任意

8、矩陣BABABABABAABCABCCBABAABnBABAABBA第19頁/共54頁第十九頁，共54頁。1.錯(cuò)（不滿足(mnz)消去律） 2 對(duì) 3 錯(cuò)（不滿足(mnz)交換律）4.錯(cuò)（不一定是方陣）5.對(duì)6 錯(cuò) （同4）7對(duì)8 對(duì)9 錯(cuò)（不存在關(guān)于加法的公式，同理行列式也不存在關(guān)于加法的公式）10對(duì)第20頁/共54頁第二十頁，共54頁。向量線性關(guān)系線性相關(guān)線性無關(guān)線性表示等價(jià)極大無關(guān)組秩數(shù)21第21頁/共54頁第二十一頁，共54頁。線性表示： 列向量(xingling)組1,.,r可由1,.,s線性表示當(dāng)且僅當(dāng)有矩陣C使得(1,.,r)=(1,.,s)C. 進(jìn)一步，C的第k列恰為k的表示系

9、數(shù) 線性表示有傳遞性 被表示者的秩數(shù)表示者的秩數(shù)向量組等價(jià)：對(duì)于向量組S，T，下列條件等價(jià)S和T等價(jià)，即S,T可以互相表示(biosh)S,T的極大無關(guān)組等價(jià)S,T的秩數(shù)相等，且其中之一可由另一表示(biosh)22第22頁/共54頁第二十二頁，共54頁。線性相關(guān)與線性表示：1,.,r線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)其中(qzhng)之一可由其余的線性表示若,1,.,r線性相關(guān),而1,.,r線性無關(guān),則可由1,.,r線性表示,且表法唯一線性無關(guān)：對(duì)于(duy)向量組1,.,r下列條件等價(jià) 1,.,r線性無關(guān) 當(dāng)c1,.,cr不全為0時(shí)，必有c11+.+crr0 當(dāng)c11+.+crr0時(shí)，必有c1.cr0 1,

10、.,r的秩數(shù)等于r(1,.,r)是列滿秩矩陣23第23頁/共54頁第二十三頁，共54頁。極大無關(guān)組與秩數(shù)：1,.,rS是S的一個(gè)極大無關(guān)組當(dāng)且僅當(dāng)1,.,r線性無關(guān)S的每個(gè)向量都可由1,.,r線性表示秩S極大無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)若秩Sr,則任何(rnh)r個(gè)無關(guān)的向量都是極大無關(guān)組矩陣的秩數(shù)行向量組的秩數(shù)列向量組的秩數(shù)24第24頁/共54頁第二十四頁，共54頁。(*)000221122221211212111 mnmnnmmmmxaxaxaxaxaxaxaxaxa齊次線性方程組齊次線性方程組有非零解有非零解判定判定(pndng)方方程程線線性性相相關(guān)關(guān)m ,21特別特別(tbi)當(dāng)向量組的當(dāng)向量

11、組的“向量個(gè)數(shù)向量維數(shù)向量個(gè)數(shù)向量維數(shù)”時(shí)，則有：時(shí)，則有：.0,;0,2121”向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)“”向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)“ nn當(dāng)當(dāng)向量維數(shù)向量維數(shù)向量個(gè)數(shù)向量個(gè)數(shù)”時(shí)，則有向量組必時(shí)，則有向量組必線性相關(guān)線性相關(guān).第25頁/共54頁第二十五頁，共54頁。u“短短”向量組無關(guān)必有向量組無關(guān)必有“長長”向量組無關(guān)向量組無關(guān)u“長長”向量組相關(guān)必有向量組相關(guān)必有“短短”向量組相關(guān)向量組相關(guān)u向量組向量組“部分相關(guān)部分相關(guān)”必有必有“整體相關(guān)整體相關(guān)”u向量組向量組“整體無關(guān)整體無關(guān)”必有必有“部分無關(guān)部分無關(guān)”u“大大”向量組被向量組被“小小”向量組表出，向量組表出，“大大”

12、向量組線性向量組線性相關(guān)相關(guān). .u“線性無關(guān)線性無關(guān)”的向量組只可能被的向量組只可能被“不小于不小于”它的向量組它的向量組線性表出線性表出. .u任何向量組只可能被任何向量組只可能被“秩不小于它的秩秩不小于它的秩”的向量組線性的向量組線性表出表出. .u“等價(jià)無關(guān)組等價(jià)無關(guān)組”具有具有(jyu)(jyu)相同的相同的“大、小大、小”第26頁/共54頁第二十六頁，共54頁。 m 21將向量組按列排放將向量組按列排放初等行變換初等行變換 rmrrrrmrrmrrAAAAAAAAAAAA121222211111211r 1i 2i ri 一個(gè)極大一個(gè)極大(j d)無關(guān)組無關(guān)組riii ,21原向量

13、組一個(gè)極大無關(guān)組原向量組一個(gè)極大無關(guān)組第27頁/共54頁第二十七頁，共54頁。（滿秩）（滿秩）nAr )(）可逆（非奇異、非退化可逆（非奇異、非退化A0 A關(guān)關(guān)個(gè)個(gè)行行（列列）向向量量線線性性無無的的nA只有零解只有零解齊次線性方程組齊次線性方程組oAX 有唯一解有唯一解非齊次線性方程組非齊次線性方程組bAX 第28頁/共54頁第二十八頁，共54頁。（不滿秩）（不滿秩）nAr )(不可逆（奇異、退化）不可逆（奇異、退化）A0 A關(guān)關(guān)個(gè)個(gè)行行（列列）向向量量線線性性相相的的nA有非零解有非零解齊次線性方程組齊次線性方程組oAX 第29頁/共54頁第二十九頁，共54頁。為線性無關(guān)向量組為線性無關(guān)向

14、量組，m 21正正交交化化、單單位位化化Schmidtm ，單位正交向量組單位正交向量組21:與初始與初始(ch sh)向量向量組等價(jià)組等價(jià)為正交向量組為正交向量組，m 21為線性無關(guān)向量組為線性無關(guān)向量組，m 21第30頁/共54頁第三十頁，共54頁。.階正交矩陣階正交矩陣為為，則稱矩陣，則稱矩陣滿足滿足階方陣階方陣若若nAEAAAnT .)4(,)3(; 11)2(;)1(,*11也為正交陣也為正交陣也是正交陣；也是正交陣；）的轉(zhuǎn)置（即的轉(zhuǎn)置（即或或階正交矩陣，則有：階正交矩陣，則有：為為若若ABAAAAAAnBATT 第31頁/共54頁第三十一頁，共54頁。線性方程組線性方程組的表示(b

15、iosh)方程式：矩陣式：Ax=b, 其中A=(aij)mn, x=(xi)n1, b=(bi)m1向量式：x11+.+xnn=b, 其中i是xi的系數(shù)列11 11221121 1222221 122nnnnmnnmmma xa xa xba xaxaxbaxaxaxb 32第32頁/共54頁第三十二頁，共54頁。解的判定: 1. n元線性方程組Ax=b有解系數(shù)(xsh)矩陣與增廣矩陣的秩數(shù)相等. 具體地，當(dāng)秩A秩(A b)時(shí)，方程組無解當(dāng)秩A秩(A b)n時(shí)，方程組有唯一解當(dāng)秩A秩(A b)n時(shí)，方程組有無窮解2. 線性方程組有解常數(shù)(chngsh)列可由系數(shù)列線性表示. 此時(shí), 解恰為表示

16、的系數(shù)33第33頁/共54頁第三十三頁，共54頁。解法Cramer法則Gauss-Jordan消元法：用行變換和列換法變換將增廣矩陣化成(hu chn)行最簡形寫出行最簡形對(duì)應(yīng)的方程組取每個(gè)方程的第一個(gè)變量為主變量，其余的為自由變量，并解出主變量寫出參數(shù)解或通解34第34頁/共54頁第三十四頁，共54頁。解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組Ax=0：解空間(kngjin)：解的集合基礎(chǔ)解系：解空間(kngjin)的基底通解：設(shè)1,s是一個(gè)基礎(chǔ)解系,則通解為=c11+.+css，其中c1,.,cs是任意常數(shù)解空間(kngjin)的維數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù)系數(shù)矩陣的秩數(shù)設(shè)秩A=r,則Ax=0的任何n-r個(gè)無關(guān)的解都是基礎(chǔ)

17、解系35第35頁/共54頁第三十五頁，共54頁。一般(ybn)線性方程組Ax=b：Axb和Ax=0的解的關(guān)系：Axb的兩個(gè)解之差是Ax=0的解Axb的解與Ax=0的解之和是Ax=b的解Ax=b的解的線性組合是設(shè)Sb和S0分別表示Axb和Ax=0的解集合，則SbS0+，Sb通解：設(shè)1,s是一個(gè)基礎(chǔ)解系,是Ax=b的一個(gè)解, 則通解為=c11+.+css+，其中c1,.,cs是任意常數(shù)Ax=0的解，當(dāng)系數(shù)(xsh)和0時(shí)；Ax=b的解，當(dāng)系數(shù)(xsh)和1時(shí).36第36頁/共54頁第三十六頁，共54頁。矩陣計(jì)算行列式：化三角形；展開+遞推求逆矩陣：行變換；伴隨(bn su)求秩數(shù)：初等變換；定義3

18、7計(jì)算第37頁/共54頁第三十七頁，共54頁。方程組的計(jì)算求基礎(chǔ)解系：Gauss-Jordan消元法(行變換+列換法)已知秩Ar，則任何r個(gè)無關(guān)解都是基礎(chǔ)解系求通解：Gauss-Jordan消元法(行變換+列換法)帶參數(shù)的方程組：先化簡，再判定. 可先考慮唯一解的情形(qng xing).特別是有系數(shù)行列式時(shí). 38第38頁/共54頁第三十八頁，共54頁。向量的計(jì)算設(shè)S：1,.,s是n元向量組(無論行或列) 求S的秩數(shù)：S的秩數(shù)=它組成的矩陣的秩數(shù) 判斷S的相關(guān)性： 設(shè)x11+.+xss=0,將其轉(zhuǎn)化成x的方程組.若方程組有非零解，則S相關(guān)；否則，無關(guān). 求S的秩數(shù).若秩Ss,則相關(guān)；若秩Ss

19、,則無關(guān) 線性表示：令=x11+.+xss,將其轉(zhuǎn)化成x的方程組.若方程組有(唯一)解，則可由S(唯一)表示，且方程組的解就是表示的系數(shù)(xsh)；否則，不可由S表示.39第39頁/共54頁第三十九頁，共54頁。 求極大無關(guān)組： 若已知秩Sr，則在S中找出r的無關(guān)的向量即可 將S中的向量寫成列的形式組成矩陣，對(duì)矩陣作行變換(binhun)，化成階梯形，則S與階梯矩陣的列向量組線性關(guān)系一致.40第40頁/共54頁第四十頁，共54頁。. 0,. 2.,. 121221121212122112121mmmmnmmmmmnmkkkkkkkkkmRkkkkkkkkkmR則必有成立使個(gè)數(shù)如果存在且線性無關(guān)

20、設(shè)必不全為零則成立使個(gè)數(shù)如果存在且線性相關(guān)設(shè)是非題.,. 3 22112121成立都有個(gè)不全為零的數(shù)則對(duì)任意且線性相關(guān)設(shè)mmmnmkkkkkkmR.,.,. 5 .,. 421221121212122112121線性無關(guān)則成立都有對(duì)于任意不全為零的數(shù)設(shè)線性無關(guān)則成立使若存在全為零的數(shù)設(shè)mmmmnmmmmmnmkkkkkkRkkkkkkR第41頁/共54頁第四十一頁，共54頁。.,.,. 7 .,. 6 212211212122112121線性無關(guān)則使零的數(shù)若存在無窮多組不全為設(shè)成立使不全為零的數(shù)則存在無窮多組且線性相關(guān)設(shè)mmmmnmmmmnmkkkkkkRkkkkkkR.1,.10.,. 9

21、.,. 82121212121關(guān)個(gè)向量的部分組線性相則必存在且線性相關(guān)若關(guān)則任一部分組必線性無且線性無關(guān)若使則必存在數(shù)線性相關(guān)且若sRRRnsnsn第42頁/共54頁第四十二頁，共54頁。.,.1121性無關(guān)其中任意兩個(gè)向量均線條件是則它們線性無關(guān)的充要若nsR.,0, 0 ,.1212111221112121線性表示不能由則成立使得為零的數(shù)已知存在一組不全且線性相關(guān)若ssssssnskkkkkkR.,.,.14.,.132121212121的一個(gè)最大線性無關(guān)組為則均能由它們線性表示且其中部分向量組若向量階子式不為零中所有則的秩為若矩陣siriisiriinsRrArA第43頁/共54頁第四十三頁，共54頁。.,.152121lsRlsn則