1、概率論概率論 5 5 條件概率條件概率條件概率條件概率乘法公式乘法公式全概率公式全概率公式貝葉斯公式貝葉斯公式小結(jié)小結(jié)概率論概率論 在解決許多概率問題時，往往需要在有某在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息些附加信息(條件條件)下求事件的概率下求事件的概率.1. 條件概率的概念條件概率的概念 如在事件如在事件B發(fā)生的條件下求事件發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概發(fā)生的概率，將此概率記作率，將此概率記作P(A|B). 一般地一般地 P(A|B) P(A) 概率論概率論 例如，擲一顆均勻骰子，例如，擲一顆均勻骰子，A=擲出擲出2點點， B=擲出偶數(shù)點擲出偶數(shù)點， P(A|B)=？擲骰子擲骰子容易

2、看到容易看到31BAP ,AP ,61AP,61ABP ,21BP 可以看出可以看出, ,事件事件A在在“事件事件B已發(fā)生已發(fā)生” ” 這附加條件的概率與不附加這個條件這附加條件的概率與不附加這個條件 的概率是不同的的概率是不同的 )()(216131BPABPP(A|B)但有但有概率論概率論 若事件若事件B已發(fā)生已發(fā)生, 則為使則為使 A也也發(fā)生發(fā)生, 試驗結(jié)果必須是既在試驗結(jié)果必須是既在 B 中又在中又在A中的樣本點中的樣本點, 即此點必即此點必屬于屬于AB. 由于我們已經(jīng)知道由于我們已經(jīng)知道B已已發(fā)生發(fā)生, 故故B變成了新的樣本空間變成了新的樣本空間, 于是于是 有有(1). 設(shè)設(shè)A、B

3、是兩個事件，且是兩個事件，且P(B)0,則稱則稱 (1)()()|(BPABPBAPSABAB條件概率的定義條件概率的定義為在為在事件事件B發(fā)生發(fā)生的條件下的條件下,事件事件A的條件概率的條件概率.概率論概率論 2. 條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì) : | 件件具具備備概概率率定定義義的的三三個個條條條條件件概概率率AP ; 0|, : 1 ABPB對對于于任任意意的的事事件件非非負負性性 ; : 21 A|SP規(guī)規(guī)范范性性 , , : 321則有事件是兩兩互不相容設(shè)可列可加性BB 11iiiiABPABP . 性質(zhì)對條件概率都成立所有在第二節(jié)中證明的概率論概率論 3. 條件概率的計算條件概率的

4、計算1) 用定義計算用定義計算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0 2)縮小樣本空間法縮小樣本空間法(把樣本空間定義在把樣本空間定義在B上上) ： 再求出該樣本空間中再求出該樣本空間中A包含的基本事數(shù)包含的基本事數(shù)k關(guān)鍵：關(guān)鍵：先計算出先計算出B發(fā)生的條件下的樣本空間發(fā)生的條件下的樣本空間所包含的基本事件數(shù)所包含的基本事件數(shù)BSBn,)|(BnkBAP概率論概率論 擲骰子擲骰子例：例：A=擲出擲出2 點點， B=擲出偶數(shù)點擲出偶數(shù)點P(A|B）=31B發(fā)生后的縮減發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣樣本空間所含樣本點總數(shù)本點總數(shù)在縮減樣本空在縮減樣本空間中間中A所含樣所含樣本點個數(shù)本點個數(shù)概率論

5、概率論 例例1 擲兩顆均勻骰子擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出已知第一顆擲出6點點,問問“擲出點數(shù)之和不小于擲出點數(shù)之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法1)()()|(BPABPBAP解法解法2 2163)|(BAP解解 設(shè)設(shè)A=擲出點數(shù)之和不小于擲出點數(shù)之和不小于10 B=第一顆擲出第一顆擲出6點點應用定義應用定義在在B發(fā)生后的縮減樣本發(fā)生后的縮減樣本空間中計算空間中計算21366363概率論概率論 由條件概率的定義：由條件概率的定義：即即 若若P(B)0,則則P(AB)=P(B)P(A|B) (2)()()|(BPABPBAP若已知若已知P(B), P(A|B)時時, 可以反

6、求可以反求P(AB).將將A、B的位置對調(diào)，有的位置對調(diào)，有 P(A)0 , 則則 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)(2) 和和 (3)式式都稱為乘法都稱為乘法公式公式,利用它利用它們可計算兩們可計算兩個事件同時個事件同時發(fā)生的概率發(fā)生的概率概率論概率論 . 個個事事件件的的積積事事件件的的情情況況乘乘法法定定理理可可以以推推廣廣到到多多 , 0 , 則則且且為為三三個個事事件件、設(shè)設(shè) ABPCBA .|APABPABCPABCP , 2, , , , 21并并且且個個事事件件設(shè)設(shè)有有一一般般地地 nAAAnn , , 0121可可得得則則由由條條件件概概率率的的定定義義 nAAAP

7、2-2111-2121|nnnnnAAAAPAAAAPAAAP 112213|APAAPAAAP 概率論概率論 乘法公式應用舉例乘法公式應用舉例 例例2 一個罐子中包含一個罐子中包含b個白球和個白球和r個紅球個紅球. 隨機隨機地抽取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加地抽取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進進 c 個與所抽出的球具有相同顏色的球個與所抽出的球具有相同顏色的球. 這種手續(xù)這種手續(xù)進行四次進行四次 ，試求第一、二次取到白球且第三、四，試求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率次取到紅球的概率. （波里亞罐子模型）（波里亞罐子模型）b個白球個白球, r個紅球個紅球概率論概率

8、論 于是于是W1W2R3R4表示事件表示事件“連續(xù)取四個球，第一、連續(xù)取四個球，第一、第二個是白球，第三、四個是紅球第二個是白球，第三、四個是紅球. ” b個白球個白球, r個紅球個紅球 隨機取一個球，觀看顏色后放隨機取一個球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進回罐中，并且再加進c個與所抽出個與所抽出的球具有相同顏色的球的球具有相同顏色的球. 解解 設(shè)設(shè) Wi=第第i次取出是白球次取出是白球, i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是紅球次取出是紅球， j=1,2,3,4概率論概率論 用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 當當 c 0 時，由于每次取出球后會增加下一次時，由于每次取出球后會增加下一

9、次也取到同色球的概率也取到同色球的概率. 這是一個這是一個傳染病模型傳染病模型. 每次每次發(fā)現(xiàn)一個傳染病患者，都會增加再傳染的概率發(fā)現(xiàn)一個傳染病患者，都會增加再傳染的概率.crbcrcrbrcrbcbrbb32=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)概率論概率論 解解A= 取了取了n 次都沒有取到黑球次都沒有取到黑球 例例3 袋中有一個白球和一個黑球，一次次從袋袋中有一個白球和一個黑球，一次次從袋中摸球，如果取出白球，則除把白球放回外再中摸球，如果取出白球，則除把白球放回外再加進一個白球，直到取出黑球為止，求取了加進一個白球，直到取出黑球為

10、止，求取了n 次都沒有取到黑球的概率次都沒有取到黑球的概率 .Ai=第第i次取到白球次取到白球, i=1,2,3,則則A= A1 A2 A3 AnP(A)=P( )A1 A2 A3 An=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1) 1223341nn11n概率論概率論 , 4第一次落下時透鏡設(shè)某光學儀器廠制造的例 , , 21 第二次落下第二次落下若第一次落下未打破若第一次落下未打破打破的概率為打破的概率為 , , 107第第三三次次落落下下打打若若前前兩兩次次未未打打破破打打破破的的概概率率是是 . , 109破破的的概概率率試試求求透透鏡鏡落落下下三三次次未未打打破破的的概

11、概率率是是 解解 , 3 , 2 , 1, iiAi次次落落下下打打破破透透鏡鏡第第設(shè)設(shè) , 則則透鏡落下三次未打破透鏡落下三次未打破 B . 321AAAB 321AAAPBP 213121|AAAPAAPAP 10911071211 . 2003 概率論概率論 . 1 , BPBPBPBP求求得得再再由由本本題題也也可可以以先先求求 由由于于 , 321211AAAAAAB , 321211AAAAAA并且并且 , 故故有有為為兩兩兩兩不不相相容容事事件件 321211AAAAAAPBP 321211AAAPAAPAP 213121121|21AAAPAAPAPAAPAP 21 10721

12、1 1091071211 . 200197 20019711 BPBP所所以以 . 2003 概率論概率論 , , , nBBBES21的的樣樣本本空空間間為為隨隨機機試試驗驗設(shè)設(shè) , 如果滿足如果滿足的一組事件的一組事件是是 E jiBBji 1 221S BB Bn , , , , , 2121nnBBBBBB或稱為完備事件組則稱 . 的的一一個個劃劃分分為為S: 注注意意 , , , 為樣本空間的一個劃分為樣本空間的一個劃分若若nBBB21 , 事事件件組組則則對對每每次次試試驗驗 , , 中必有且僅有中必有且僅有nBBB21一個事件發(fā)生一個事件發(fā)生. . , 分割成若干個互斥事件分割成

13、若干個互斥事件的劃分是將的劃分是將可見可見SS定義定義概率論概率論 , SE的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗驗nBBB, , 21 , , 則則對對且且的的一一個個劃劃分分為為n,iBPSi 210 , 恒有恒有樣本空間中的任一事件樣本空間中的任一事件 A niiiB|APBPAP1 證明證明 nBBBA 21nABABAB 21 并并且且 , , 所所以以jiABABji nABPABPABPAP 21 nnB|APBPB|APBP 11 niiiB|APBP1定理定理 因因為為 ASA（全概率公式）（全概率公式）概率論概率論 B1B2B3B4B5B6B7B8A 在較復雜情況下直接計算在較

14、復雜情況下直接計算P(A)不易不易, ,但但A總是伴總是伴隨著某個隨著某個Bi出現(xiàn)，適當?shù)厝?gòu)造這一組出現(xiàn)，適當?shù)厝?gòu)造這一組Bi往往可以往往可以簡化計算簡化計算. .全概率公式全概率公式的理論和實用意義在于的理論和實用意義在于: :概率論概率論 全概率公式的使用：全概率公式的使用： 我們把事件我們把事件A 看作某一過程的結(jié)果，看作某一過程的結(jié)果，因，看作該過程的若干個原把nBBB,21 每一原因發(fā)生的概率已知每一原因發(fā)生的概率已知,已知即kBP,已知即kBAP且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知則則我們可用全概率公式計算結(jié)果發(fā)生的概率我們可用全概率公式計算結(jié)果發(fā)生的概

15、率 AP即求概率論概率論 則則 表示表示“此人是女性此人是女性”. CP(A| )=0.0025C設(shè)設(shè) C=此人是男性此人是男性，A=此人是色盲患者此人是色盲患者，已知已知P(C)=0.5,P(A|C)=0.05,CP( )=0.5, 例例 5 已知男性中有已知男性中有5是色盲，女性中有是色盲，女性中有0.25是是色盲，今從男女人數(shù)相等的人群中隨機挑選一人，色盲，今從男女人數(shù)相等的人群中隨機挑選一人，求此人是色盲患者的概率求此人是色盲患者的概率.解解由全概率公式由全概率公式 P(A)=P(C)P(A |C)+ CP( ) P(A| )C=0.02625 =0.50.05+0.5 0.0025概

16、率論概率論 njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)()()()()|( 該公式于該公式于1763年由貝葉斯年由貝葉斯 (Bayes) 給出給出. 它是在它是在觀察到事件觀察到事件A已發(fā)生的條件下，尋找導致已發(fā)生的條件下，尋找導致A發(fā)生的每發(fā)生的每個原因的概率個原因的概率.ni, 2 , 1 貝葉斯公式貝葉斯公式定理定理2 , 0 , 則則恒恒有有且且中中的的任任一一事事件件為為AP SA , , 21的為樣本空間設(shè)SBBBn, 一個劃分概率論概率論 BayesBayes公式的使用：公式的使用：每一原因發(fā)生的概率已知，每一原因發(fā)生的概率已知，已知即kBP已知即kBAP而且每一原因?qū)Y(jié)果的影

17、響程度已知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，如果已知事件如果已知事件A已經(jīng)發(fā)生，要求此時是由第已經(jīng)發(fā)生，要求此時是由第 i 個原個原因引起的概率，則用因引起的概率，則用Bayes公式公式ABPi即求 我們把事件我們把事件A 看作某一過程的結(jié)果，看作某一過程的結(jié)果，因，看作該過程的若干個原把nBBB,21概率論概率論 例例6 6 同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個廠供應。由長同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個廠供應。由長 期的經(jīng)驗知，三家的正品率分別為期的經(jīng)驗知，三家的正品率分別為0.950.95、0.900.90、0.800.80，三家產(chǎn)品數(shù)所占比例為三家產(chǎn)品數(shù)所占比例為2:3:52:3:5，混合在一起。，

18、混合在一起。（1 1）從中任取一件，求此產(chǎn)品為正品的概率；）從中任取一件，求此產(chǎn)品為正品的概率；（2 2）現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，問它是由甲、）現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為正品，問它是由甲、乙、丙三個廠中哪個廠生產(chǎn)的可能性大？乙、丙三個廠中哪個廠生產(chǎn)的可能性大？解解 設(shè)事件設(shè)事件A表示表示“取到的產(chǎn)品為正品取到的產(chǎn)品為正品”，321,BBB分別表示分別表示“產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)產(chǎn)品由甲、乙、丙廠生產(chǎn)”概率論概率論 （1 1）由全概率公式得：）由全概率公式得： 31()()()iiiP AP BP A B 0.2 0.950.3 0.90.5 0.80.86 由已知由已知123()0.2,()0.3,()0

19、.5P BP BP B 123()0.95,()0.9,()0.8P A BP A BP A B 概率論概率論 (2)(2)由貝葉斯公式得由貝葉斯公式得由以上由以上3 3個數(shù)作比較，可知這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可個數(shù)作比較，可知這件產(chǎn)品由丙廠生產(chǎn)的可能性最大，由甲廠生產(chǎn)的可能性最小。能性最大，由甲廠生產(chǎn)的可能性最小。111222333() ()0.2 0.95()0.2209( )0.86() ()0.3 0.9()0.3140( )0.86() ()0.5 0.8()0.4651( )0.86P B P A BP B AP AP B P A BP B AP AP B P A BP B AP A

20、概率論概率論 P(Bi) (i=1,2,n) 是在沒有進一步信息（不知道事是在沒有進一步信息（不知道事件件A是否發(fā)生）的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能是否發(fā)生）的情況下，人們對諸事件發(fā)生可能性大小的認識性大小的認識.當有了新的信息（知道當有了新的信息（知道A發(fā)生），人們對諸事件發(fā)發(fā)生），人們對諸事件發(fā)生可能性大小生可能性大小P(Bi | A)有了新的估計有了新的估計.貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化 在貝葉斯公式中，在貝葉斯公式中，P(Bi)和和P(Bi |A)分別稱為原因的分別稱為原因的先驗概率先驗概率和和后后驗概率驗概率.貝葉斯公式在實際中有很多應用貝葉斯公式

21、在實際中有很多應用.概率論概率論 例例7 7 對以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明當機器調(diào)整得良對以往的數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明當機器調(diào)整得良 好時好時, ,產(chǎn)品的合格率為產(chǎn)品的合格率為 90%,90%,而當機器發(fā)生某一而當機器發(fā)生某一 故障故障, ,其合格率為其合格率為 30%.30%.每天早上機器開動時機每天早上機器開動時機 器調(diào)整良好的概率為器調(diào)整良好的概率為 75%.75%.已知某天早上第一件已知某天早上第一件 產(chǎn)品是合格品，產(chǎn)品是合格品， 試求：機器調(diào)整得良好的概率是多少？試求：機器調(diào)整得良好的概率是多少？%30)|( BAPBB%90)|( BAP機器調(diào)整得機器調(diào)整得良好良好 機器發(fā)生某一機器發(fā)生某一

22、故障故障 A產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格概率論概率論 解解 ：)|(ABP)B|A(P)B(P)B|A(P)B(P)B|A(P)B(P.90302509075090750說明：說明：乘法公式，全概率公式，貝葉斯公式乘法公式，全概率公式，貝葉斯公式非常重要，在運用時關(guān)鍵是找到樣本空間的劃分。非常重要，在運用時關(guān)鍵是找到樣本空間的劃分。概率論概率論 例例8 某一地區(qū)患有癌癥的人占某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對一，患者對一種試驗反應是陽性的概率為種試驗反應是陽性的概率為0.95，正常人對這種試，正常人對這種試驗反應是陽性的概率為驗反應是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個人，試，現(xiàn)抽查了一個人，試驗反應

23、是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大驗反應是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?則則 表示表示“抽查的人不患癌癥抽查的人不患癌癥”. CCC已知已知 P(C)=0.005, P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04解解設(shè)設(shè) C=抽查的人患有癌癥抽查的人患有癌癥， A=試驗結(jié)果是陽性試驗結(jié)果是陽性，求求 P(C|A). 它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件 A）發(fā)生的最）發(fā)生的最可能原因可能原因.概率論概率論 現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義. .由由貝葉斯公式貝葉斯公式，可得，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入數(shù)據(jù)計算得代入數(shù)據(jù)計算得 P(CA)= 0.1066 2. 檢出陽性是否一定患有癌癥檢出陽性是否一定患有癌癥? 1. 這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？這種試驗對于診斷一個人是否患有癌癥有無意義？概率論概率論 0