1、四川省資陽市高中數(shù)學(xué)高一升高二復(fù)習(xí)講義第2講一元二次不等式及其解法新人教A版、復(fù)習(xí)舊知1、知識點(diǎn)解不等式的有關(guān)理論一元二次不等式的解集解一元二次不等式的基本步驟高次不等式解法分式不等式的解法2、作業(yè)評講二、新課講解重點(diǎn)：從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型；熟練掌握一元二次不等式的解法。難點(diǎn)：理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集的關(guān)系。求解簡單的分式不等式和高次不等式以及簡單的含參數(shù)的不等式考點(diǎn)：一元二次不等式的解法含參數(shù)不等式的解法分式不等式及高次不等式的解法簡單的恒成立問題易混點(diǎn)：掌握一元二次不等式的解法，利用不等式的性質(zhì)解簡單的簡單的分式不等式和高次不等式以及簡單的含參數(shù)的不等

2、式，會解簡單的指數(shù)不等式和對數(shù)不等式.【分類教學(xué)】知識梳理一.解不等式的有關(guān)理論(1) 若兩個不等式的解集相同，則稱它們是同解不等式；(2) 一個不等式變形為另一個不等式時，若兩個不等式是同解不等式，這種變形稱為不等式的同解變形；(3) 解不等式時應(yīng)進(jìn)行同解變形；(4) 解不等式的結(jié)果，原則上要用集合表示。元二次不等式的解集A>0=0<0二次函數(shù)2y=ax+bx+c(a>0)的圖y=ax2+bx+c2.y=ax+bx+2.cy=ax+bx,1豕,兀一次方程2ax+bx+c=0(a>0的根后兩相異實(shí)根xi,x2(xi<x2)后兩相等實(shí)根bxix22a無實(shí)根2ax+b

3、x+c>0(a>0)的解集x<x1或xAx2J2a,R_2ax+bx+c<0(aa0)的解集"Mx<x2003 .解一元二次不等式的基本步驟：(1) 整理系數(shù)，使最高次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù);(2) 嘗試用“十字相乘法”分解因式；(3)計算A=b2-4ac(4) 結(jié)合二次函數(shù)的圖象特征寫出解集。4 .高次不等式解法：盡可能進(jìn)行因式分解，分解成一次因式后，再利用數(shù)軸標(biāo)根法求解(注意每個因式的最高次項(xiàng)的系數(shù)要求為正數(shù))5 .分式不等式的解法：分子分母因式分解，轉(zhuǎn)化為相異一次因式的積和商的形式，再利用數(shù)軸標(biāo)根法求解;重難點(diǎn)突破1 .重點(diǎn)：從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等

4、式模型；熟練掌握一元二次不等式的解法。2 .難點(diǎn)：理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集的關(guān)系。求解簡單的分式不等式和高次不等式以及簡單的含參數(shù)的不等式3 .重難點(diǎn)：掌握一元二次不等式的解法，利用不等式的性質(zhì)解簡單的簡單的分式不等式和高次不等式以及簡單的含參數(shù)的不等式，會解簡單的指數(shù)不等式和對數(shù)不等式.(1)解簡單的指數(shù)不等式和對數(shù)不等式關(guān)鍵在于通過同解變形轉(zhuǎn)化為一般的不等式(組)來求解ax問題1.設(shè)a>0,解關(guān)于x的不等式log2<1x-1.axaxax點(diǎn)撥：log2<10<<2由>0得：x<0或x>1x-1x-1x-1ax-2x2：二

5、0Ia-2x2!x-1：二0討論：(1)當(dāng)a=2時，得x<02八(2)當(dāng)aa2時，<x<0a-2/.一一.2.一(3)當(dāng)0<a<2時，x>或x<02-a綜上所述，所求的解為：當(dāng)a=2時，解集為x|x<0當(dāng)a>2時，解集為x|2<x<0>.L.a-2,當(dāng)0<a<2時，解集為x|x2或x<0;>12/L2-a,(2)重視函數(shù)、方程與不等式三者之間的邏輯關(guān)系問題2.已知函數(shù)f(x)=ax2+a2x+2b-a3當(dāng)x(-2,6),f(x)>0,當(dāng)xW(,-2)U(6,y),f(x)<0,求f(x)

6、的解析式；點(diǎn)撥：據(jù)題意:由韋達(dá)定理知:x1=-2,x2=6是方程ax2+a2x+2b-a3=0的兩根_a=-2+6b二一8(2b-a3/二i=(1)父6a故f(x)=-4x216x-80三、【典型例題】考點(diǎn)1一元二次不等式的解法題型1.解一元二次不等式不等式x2>x的解集是()A.(-00,0)B.(0,1)C.(1,fD.(i0)U(1,f【解題思路】嚴(yán)格按解題步驟進(jìn)行由x2>x得x(x1)A0,所以解集為,0)U(1,-)，故選D；另解：抓住選擇題的特點(diǎn)，顯然當(dāng)x=±2時滿足不等式，故選D.【名師指引】解一元二次不等式的關(guān)鍵在于求出相應(yīng)的一元二次方程的根題型2.已知一

7、元二次不等式的解集求系數(shù).2112已知關(guān)于x的不等式ax+2x+c>0的解集為(一一，一)，求cx+2xa:>0的解集.32【解題思路】由韋達(dá)定理求系數(shù)m2-11.-11、，、2c,由ax+2x+c>0的解集為(一一，一)知a<0,-一，一為萬程ax+2x+c=0的兩個根，由323211211c2韋達(dá)te理得一十=一一，一一父一=一，解得a=12,c=2,.cx+2xaA0即32a32a22x2-2x-12<0,其解集為(-2,3).【名師指引】已知一元二次不等式的解集求系數(shù)的基本思路是，由不等式的解集求出根，再由韋達(dá)定理求系數(shù)【新題導(dǎo)練】1 .不等式(a2)x，

8、2(a2)-4<0,對一切XCR恒成立，則a的取值范圍是()A.(-8,2B.(-2,2C.(-2,2)D.(-8,2)解析：2一乙可推知-2va<2,另a=2時，原式化為-4v0,恒成立，丁-2vaW2.選BA<0,2 .關(guān)于x的不等式(mx-1)(x-2)>0,若此不等式的解集為x|J_vx<2,則m的取值m范圍是a.m>0d.2網(wǎng)畿A懿百確解析：由不等式的解集形式知m<0.考點(diǎn)2含參數(shù)不等式的解法題型1:解含參數(shù)有理不等式B.0vm<2m<°答案：Dc.m>例1：解關(guān)于x的一元二次不等式x2-(3【解題思路】比較根的大

9、小確毒解也鼠&Ra)x3唯0解析：.x2-(3+a)x+3a>0,(x-3)(x-a)>0當(dāng)a<3寸,x<a或x>3,不等式解集為版*<2或*>3；2當(dāng)a=3時，不等式為(x3)>0,解集為xxwR且x#3；當(dāng)a>3時，x<3或x>a,不等式解集為xx<3或x>a【名師指引】解含參數(shù)的有理不等式時分以下幾種情況討論：根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)(大于0,小于0,等于0);根據(jù)根的判別式討論(>0,4=0,Ac。).根據(jù)根的大小討論).題型2:解簡單的指數(shù)不等式和對數(shù)不等式1一例2.解不等式loga(1-_!_)>

10、;1(a>0,a#1)x【解題思路】借助于單調(diào)性進(jìn)行分類討論1解析(1)當(dāng)a>1時，原不等式等價于不等式組一一0x1一一ax由此得1a>1.因?yàn)?a<0,所以x<0,vxv0.x1-a1(2)當(dāng)0vav1時，原不等式等價于不等式組:1->0x1-<aa.x由得x>1或x<0,由得0Vxv1<x<.1-a1-a綜上，當(dāng)a>1時，不等式的解集是x|Lx<0,當(dāng)0vav1時，不等式的解集為1 -ax|1vxv.1-a【名師指引】解指數(shù)不等式與對數(shù)不等式通常是由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般的不等式(組)來求解，當(dāng)?shù)讛?shù)

11、含參數(shù)時要進(jìn)行分類討論.【新題導(dǎo)練】3.關(guān)于x的不等式63x2-2mx-m2<0的解集為()A.(-邛)B.(m,-m)C.L,-m)U(m二)D.以上答案都不對977997解析：原不等式可化為(x+m)(x-m)<0,需對m分三種情況討論，即不等式的解集與m有關(guān).974.解關(guān)于x的不等式：ax2-2(a+1)x+4<0解析：(ax-2)(x-2)<022a2(a-1)awx12cx<-|>,2-當(dāng)a<0=(-ax+2)(x2)>0=?x|x<或x>2b,aa=0=x.2;a=1=x5.考點(diǎn)3分式不等式及高次不等式的解法解不等式：(x

12、2-1)(x2-6x8)_0【解題思路】先分解因式，再標(biāo)根求解原不等式U(x-1)(x+1)(x-2)(x-4)>0,各因式根依次為-1,1,2,4,在數(shù)軸上標(biāo)根如下【名師指引】求解高次不等式或分式不等式一般用根軸法，要注意不等式的解集與不等式對應(yīng)的方程的根的關(guān)系.【新題導(dǎo)練】xa5 .若關(guān)于x的不等式一x-一A0的解集是(3,1)U(2,+望)，則a的值為(x3)(x1)解析：原不等式之(x+a)(x+3)(x+1)>0,結(jié)合題意畫出圖可知a=2./八2，ax16 .解關(guān)于x的不等式(a1)x-1>x(a>0)解：若0<a<Kln,則原不等式的解集為(L1

13、)U(色!，十叼;2a22公什5一1一，八，1一、5右a=3,則原不等式的解集為(5,十叼；22x214-2x。x(-)、,2.若L?則原不等式的解集為(1電buJ+E+叼22a27 .(廣東省深圳中學(xué)20082009學(xué)年度高三第一學(xué)段考試)解不等式.解析：；2x2(1)4'x、.22一55即2/>22得xA5所以原不等式的解集為x|XA566考點(diǎn)4簡單的恒成立問題題型1：由二次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍例1.若關(guān)于x的不等式ax2+2x+2>0在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解題思路】結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解當(dāng)a=0時，不等式2x+2>0解集不為R,故a=0不滿足

14、題意；,八,一一一一一，一一'a>0-1當(dāng)a00時，要使原不等式解集為R,只需«°，解得a>22-42a：02綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為(工，+望)2a=0八2Ia>0【名師指引】不等式ax+bx+c>0對一切xwR恒成立u<b=0或，2b-4ac二0c0fa=0-2一、_.一a：0不等式ax+bx+c<0對任息xwR恒成立。b=0或，.c=b2-4ac：0c：二0題型2.轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求參數(shù)的取值范圍【解題思路】先分離系數(shù)，再由二次函數(shù)最值確定取值范圍.(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a#0).由f(0)=1得c=1

15、,故f(x)=ax2+bx+1.11f(x+1)-f(x)=2xa(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x即2ax+a+b=2x,所以2a=2,a+b=0,解得a=1,b=-1，f(x)=x2x+1(2)由(1)知x2-x+1>2x+m在1,1恒成立，即m<x23x+1在-1,1恒成立.令g(x)=x23x+1=(x3)25，貝Ug(x)在1,1上單調(diào)遞減.所以g(x)在1,1上24的最大值為g(1)=-1.所以m的取值范圍是(-°°,-1).【名師指引】m<f(x)對一切xwR恒成立，則m<f(x)min;m2f(x)對一切xR恒

16、成立，則mf(x)max;【新題導(dǎo)練】8.不等式ax2+4x+a>1-2x2對一切xR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.22:不等式ax+4x+a>1-2x對一切xR恒成立，即(a+2)x2+4x+a-1>0對一切xR恒成立若a+2=0，顯然不成立,a+2>0右a+2=0,則3a>2A<09.若不等式x2+ax+10對于一切x(0,1)成立，則a的取值范圍是()2A.0B.-2C.-5D.-32解析：設(shè)f(x)=x2+ax+1,則對稱軸為x=a，若一旦,即a.1時，則f(x)222在0,上是減函數(shù)，應(yīng)有f(1)01x-1222,a1若0,即a0時，則f(x)在0

17、,一上是增函數(shù)，應(yīng)有f(0)=10恒成立，故22a0222若0a1,即1a0,則應(yīng)有f(9)=a±+1=1a_"恒成222424立，故1a0.綜上，有-a,故選C.2四、【鞏固練習(xí)】1.不等式x2+5x+6>0的解集是解析：將不等式轉(zhuǎn)化成x2-5x-6<0,即(x+1；(x6)<0.222 .右不等式xaxb<0的解集為x12<x父3,則不等式bxax1>0的解集為.解析：先由方程x2axb=0的兩根為2和3求得a,b后再解不等式bx2ax1>0.得二,233 .(廣東省五校2008年高三上期末聯(lián)考)若關(guān)于x的不等式g(x)至a2+

18、a+1(xwR)的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析：g(x)a2+a+1(xwR)的解集為空集，就是1=g(x)max<a2+a+1所以a(一二，一1)-(。，二)1、4(08梅州)設(shè)命題P：函數(shù)f(x)=lg(ax2-x+a)的定義域?yàn)閞命題q：不等式16J1+2x<1+ax對一切正實(shí)數(shù)均成立。如果命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。1、解：命題P為真命題U函數(shù)f(x)=lg(ax-x+a)定義域?yàn)閞=1621axx+a>0對任意實(shí)數(shù)x均成立ua=0時x>0解集為r,或16a0112ua>2-1命題P為真命題ua>21a045

19、.解關(guān)于x的不等式k(1-x)+1<0(k>0,kwi).x-2(1-k)xk-2八原不等式即<0,x-21 。若k=0,原不等式的解集為空集；2若1k>0,即0<k<1時，原不等式等價于2-k2-k此時>0,-2=1-k1-k2-k.右0<k<1,由原不等式的解集為x|2<x<1-k4r，一2k、，八、八3。若1k<0,即k>1時，原不等式等價于(x)(x-2)>0,1-k.2-k2-k此時恒有2>,所以原不等式的解集為x|x<,或x>2.1-k1-k五、【課后練習(xí)】6.已知a>0,且

20、aw1,解關(guān)于x的不等式：1一log2(a-1)-log4(4-a).2解：原不等式等價于1V1VVV210g2(a-1)-2log2(4-a),1210g2(a-1)三10g2(4-a)10g2(ax-1)22<log2(4-ax)'ax-1>0(1)原不等式同解于4ax>0(2)7分2(ax-1)2<4-ax(3)由得lva、<4：1由得2(ax)23ax-2<0,ax<22從而1vaxw2I0分當(dāng)a>1時，原不等式解為x|0<x<loga2當(dāng)0VaV1時，原不等式解為x|loga2<x<06.(廣東省深圳外國

21、語學(xué)校2008屆第三次質(zhì)檢)據(jù)調(diào)查，某地區(qū)100萬從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民,人均收入3000元，為了增加農(nóng)民的收入，當(dāng)?shù)卣e極引進(jìn)資本，建立各種加工企業(yè)，對當(dāng)?shù)氐霓r(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行深加工，同時吸收當(dāng)?shù)夭糠洲r(nóng)民進(jìn)入加工企業(yè)工作，據(jù)估計，如果有x(x>0)萬人進(jìn)企業(yè)工作，那么剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的人均收入有望提高2x%而進(jìn)入企業(yè)工作的農(nóng)民的人均收入為3000a元(a>0)。(I)在建立加工企業(yè)后，要使從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的年總收入不低于加工企業(yè)建立前的農(nóng)民的年總收入，試求x的取值范圍；(II)在(I)的條件下，當(dāng)?shù)卣畱?yīng)該如何引導(dǎo)農(nóng)民(即x多大時)，能使這100萬農(nóng)民的人均年收入達(dá)到最大。解：(I)由題意得(100-x)3000(1+2x%)>100X3000,2即x50xW0,解得0WxW50,又.x>0.-.0<x<50;(II)設(shè)這100萬農(nóng)民的人均年收入為y元，2則y=(100x)x3000X(1+2x%)+3000ax60x+3000(a+1)x+300000100100=-32+3000+475(a+1)2(0<x<50)5(i)當(dāng)0<25(a+1)<50,即0<a<1,當(dāng)x=25(a+1)