1、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是用于證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的正確性的一種嚴(yán)格的推理方法在數(shù)學(xué)競賽中占有很重要的地位（1）第一數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果 （1數(shù)學(xué)歸納法的基本形式）時，成立；假設(shè)成立，由此推得時，也成立，那么，根據(jù)對一切正整數(shù)時，成立（2）第二數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果當(dāng)（）時，成立；假設(shè)成立，由此推得時，也成立，那么，根據(jù)對一切正整數(shù)時，成立2數(shù)學(xué)歸納法的其他形式（1）跳躍數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)時，成立，假設(shè)時成立，由此推得時，也成立，那么，根據(jù)對一切正整數(shù)時，成立（2）反向數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果 對無限多個正整數(shù)成立；假設(shè)時，命題成立，則當(dāng)

2、時命題也成立，那么根據(jù)對一切正整數(shù)時，成立例如，用數(shù)學(xué)歸納法證明： 為非負(fù)實(shí)數(shù)，有 在證明中，由 真，不易證出 真；然而卻很容易證出 真，又容易證明不等式對無窮多個 （只要 型的自然數(shù)）為真；從而證明 ，不等式成立（3）螺旋式歸納法 P（n），Q（n）為兩個與自然數(shù) 有關(guān)的命題，假如 P(n0)成立； 假設(shè) P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假設(shè) Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立； 綜合（1）（2）,對于一切自然數(shù)n（>n0），P(n),Q(n)都成立；（4）雙重歸納法設(shè) 是一個含有兩上獨(dú)立自然數(shù) 的命題 與 對任意自然數(shù) 成立；若由 和 成立，能推出 成立；根

3、據(jù)（1）、（2）可斷定， 對一切自然數(shù) 均成立3應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的技巧（1）起點(diǎn)前移：有些命題對一切大于等于1的正整數(shù)正整數(shù)都成立，但命題本身對也成立，而且驗(yàn)證起來比驗(yàn)證時容易，因此用驗(yàn)證成立代替驗(yàn)證，同理，其他起點(diǎn)也可以前移，只要前移的起點(diǎn)成立且容易驗(yàn)證就可以因而為了便于起步，有意前移起點(diǎn)（2）起點(diǎn)增多：有些命題在由向跨進(jìn)時，需要經(jīng)其他特殊情形作為基礎(chǔ)，此時往往需要補(bǔ)充驗(yàn)證某些特殊情形，因此需要適當(dāng)增多起點(diǎn)（3）加大跨度：有些命題為了減少歸納中的困難，適當(dāng)可以改變跨度，但注意起點(diǎn)也應(yīng)相應(yīng)增多（4）選擇合適的假設(shè)方式：歸納假設(shè)為一定要拘泥于“假設(shè)時命題成立”不可，需要根據(jù)題意采取第一、第二、跳躍

4、、反向數(shù)學(xué)歸納法中的某一形式，靈活選擇使用（5）變換命題：有些命題在用數(shù)學(xué)歸納證明時，需要引進(jìn)一個輔助命題幫助證明，或者需要改變命題即將命題一般化或加強(qiáng)命題才能滿足歸納的需要，才能順利進(jìn)行證明5歸納、猜想和證明在數(shù)學(xué)中經(jīng)常通過特例或根據(jù)一部分對象得出的結(jié)論可能是正確的，也可能是錯誤的，這種不嚴(yán)格的推理方法稱為不完全歸納法不完全歸納法得出的結(jié)論，只能是一種猜想，其正確與否，必須進(jìn)一步檢驗(yàn)或證明，經(jīng)常采用數(shù)學(xué)歸納法證明不完全歸納法是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題極好的方法從0以外的數(shù)字開始如果我們想證明的命題并不是針對全部自然數(shù)，而只是針對所有大于等于某個數(shù)字b的自然數(shù)，那么證明的步驟需要做如下修改： 第一步

5、，證明當(dāng)n=b時命題成立。 第二步，證明如果n=m(mb)成立，那么可以推導(dǎo)出n=m+1也成立。 用這個方法可以證明諸如“當(dāng)n3時，n2>2n”這一類命題。 只針對偶數(shù)或只針對奇數(shù)如果我們想證明的命題并不是針對全部自然數(shù)，而只是針對所有奇數(shù)或偶數(shù)，那么證明的步驟需要做如下修改： 奇數(shù)方面： 第一步，證明當(dāng)n=1時命題成立。 第二步，證明如果n=m成立，那么可以推導(dǎo)出n=m+2也成立。 偶數(shù)方面： 第一步，證明當(dāng)n=0或2時命題成立。 第二步，證明如果n=m成立，那么可以推導(dǎo)出n=m+2也成立。 遞降歸納法數(shù)學(xué)歸納法并不是只能應(yīng)用于形如“對任意的n”這樣的命題。對于形如“對任意的n=0,1

6、,2,.,m”這樣的命題，如果對一般的n比較復(fù)雜，而n=m比較容易驗(yàn)證，并且我們可以實(shí)現(xiàn)從k到k-1的遞推，k=1,.,m的話，我們就能應(yīng)用歸納法得到對于任意的n=0,1,2,.,m，原命題均成立。（一）第一數(shù)學(xué)歸納法：  一般地，證明一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n），有如下步驟：（1）證明當(dāng)n取第一個值n0時命題成立。n0對于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況；（2）假設(shè)當(dāng)n=k（kn0，k為自然數(shù)）時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（n0），命題P(n）都成立。（二）第二數(shù)學(xué)歸納法：對于某個與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n），（1）驗(yàn)證n=n0時P(n）成立；（2）假設(shè)n0n<=k時P(n）成立，并在此基礎(chǔ)上，推出P(k+1）成立。綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（n0），命題P(n）都成立。（三）倒推歸納法（反向歸納法）：（1）驗(yàn)證對于無窮多個自然數(shù)n命題P(n）成立（無窮多個自然數(shù)可以是一個無窮數(shù)列中的數(shù)，如對于算術(shù)幾何不等式的證明，可以是2k，k1）；（2）假設(shè)P(k+1）（kn0）成立，并在此基礎(chǔ)上，推出P(k）成立，綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（n0），命題P(n）都成立；（四）螺旋式歸納法對兩個與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n），Q(