1、中考數(shù)學(xué)“新定義”試題淺析隨著新課改的深入，中考試題中考查學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，促進學(xué)生發(fā)展的創(chuàng)新型試題不斷地涌現(xiàn)。而“新定義”試題是創(chuàng)新型試題的主要表現(xiàn)之一，也是2009年中考數(shù)學(xué)試題中的一個熱點?！靶露x”試題具有新穎公平的問題背景，且與已學(xué)數(shù)學(xué)知識密切關(guān)聯(lián)的知識基礎(chǔ)，能有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能力和運用已學(xué)知識分析問題、解決問題的綜合能力，在中考試題中有較好地效度。現(xiàn)舉例說明如下：考點一：利用“新定義”構(gòu)建數(shù)、式模型例1、（2009年紹興市）李老師從油條的制作受到啟發(fā)，設(shè)計了一個數(shù)學(xué)問題：如圖，在數(shù)軸上截取從原點到1的對應(yīng)點的線段AB,對折后（點A與B重合）再均勻地拉成1、一，一一一1個單位

2、長度的線段，這一過程稱為一次操作（如在第一次操作后，原線段AB上的-,43 113均變成11變成1,等）.那么在線段AB上（除A,B）的點中，在第二次操作4 22后，恰好被拉到與1重合的點所對應(yīng)的數(shù)之和是.解：.在第一次操作后，原線段AB上的-,3均變成1,1變成1,.在第二次操作后,4422原線段AB上的1，3均變成1,點所對應(yīng)的數(shù)之和是1+3=1。4444【剖析】本題是一道PISA型試題，以學(xué)生已學(xué)的數(shù)軸和已有的生活經(jīng)驗為基礎(chǔ)，對某種操作進行了新的定義。解答本題，關(guān)鍵是要讀懂新定義中“一次操作”的真正含義：先對折再拉1長到與原線段長度相等的線段即為1個單位長度。第一次操作后，在處為對折點，

3、均勻2拉長后1變成1,原線段AB上的-,3均變成1,這在題目中已有提示。第二次操作后，24421 13在線段一處有兩個數(shù)一和d為對折點，均勻拉長后這兩個數(shù)都江堰市變?yōu)?,根據(jù)題意，2 4413在第二次操作后，恰好被拉到與1重合的點對應(yīng)的數(shù)為一和Y,這樣馬上可以得出結(jié)論。4413.解：-=1。本題是對學(xué)生的抽象概括、空間想象能力要求較高。44例2、（2009年臺州市）若將代數(shù)式中的任意兩個字母交換，代數(shù)式不變，則稱這個代數(shù)式為完全對稱式，如a+b+c就是完全對稱式.下列三個代數(shù)式：(a-b)2；abbccaa2b+b2c+c2a,其中是完全對稱式的是(A)A.B.C.D,22解：由新定義“完全對

4、稱式”知，(a-b)=(b-a),所以是完全對稱式；若將a、b字母交換，貝Uab+bc+ca變?yōu)閎a+ac+bc,=ab+bc+ca=ba+ac+bc,，是完全對稱式；若將a、b字母交換，則a2b+bt2c變?yōu)閎2a+Jtc,ba2bbccab2a3c3b.不是完全對稱式。所以答案應(yīng)選擇為(A)【剖析】本題是以已學(xué)的整式的乘除、乘法公式為知識為基礎(chǔ)，對代數(shù)式的變換進行了新的定義。解答本題，關(guān)鍵是要讀懂新定義中數(shù)學(xué)的本質(zhì)含義，在理解“新定義”的基礎(chǔ)上，再進行具體的代入、計算、判斷，就能把問題解決?？键c二：利用“新定義”構(gòu)建方程、函數(shù)模型例3、(2009年孝感)對于任意兩個實數(shù)對(a,b)和(c,

5、d),規(guī)定：當且僅當a=c且b=d時，(a,b)=(c,d).定義運算"®"：(a,b)®(c,d)=(acbd,ad+bc).若(1,2)(p,q)=(5,0),則p=,q=.解：由新定義"運算規(guī)定得：:(a,b)®(c,d)=(acbd,ad+bc),，P-2q=5q2p=0(1,2)®(p,q)=(p2q,q+2P卜(p2q,q+2p)=(5,0)p=1-»一,解得：i,所以答案為：1,-2;q-2【剖析】本題是以學(xué)生已學(xué)的實數(shù)運算和二元一次方程組為知識基礎(chǔ)，給出了一個新定義的運算法則，學(xué)生在閱讀和理解新運算

6、的基礎(chǔ)上，來解決與新運算有關(guān)的問題。這類試題考查了學(xué)生的邏輯推理能力，由一般到特殊地讀懂新運算的本質(zhì)，關(guān)鍵是要準確理解新符號的數(shù)學(xué)意義。例4、(2009年杭州市)某校數(shù)學(xué)課外小組，在坐標紙上為學(xué)校的一塊空地設(shè)計植樹方案如下：第k棵樹種植在點Pk(xk,yk)處，其中刈=1,y1=1,當k>2時,Xkiykk-1k-2=xj1-5(-),a表示非負實數(shù)a的整數(shù)部分，例如2.6=2,55k-1=yk'50.2=0。按此方案，第2009棵樹種植點的坐標為A.(5,2009)B.(6,2010)C.(3,401)D(4,402)x1+1/：1：叩,X2=1+15215JJ解：從特殊點的坐

7、標出發(fā)，來探求它的變化周期性，從而來得出一般性的結(jié)論。=25x0=2,y2=1+匚裝=1+0=1,，p1(1,1)%=21-IL35父0=3,y3=1十冏，1=1十0=1,，巳(2,1)5山為5且2J)同理可得：P3(3,1),P4(4,1),P5(5,1),P6(1,25P7(2,2),P8(3,2),P9(4,2),P0(5,2),Pi(1,3),，得出五個數(shù)的循環(huán)。所以2009+5=4014,所以X2009=X4=4,y2009=401+1=402,因此得結(jié)論區(qū)09(4,402卜【剖析】本題是一道探索性試題，以學(xué)生已學(xué)的點的坐標和已有的探究經(jīng)驗為基礎(chǔ)，對a的數(shù)學(xué)符號進行了新的定義，即：a

8、表示非負實數(shù)a的整數(shù)部分。解答本題，關(guān)鍵是要讀懂新定義中“a”的真正含義，先通過對特殊和簡單數(shù)的探索對折再拉長到與原線段長度相1等的線段即為1個單位長度。第一次操作后，在，處為對折點，均2例5、(2009年義烏市)已知點AB分別是X軸、y軸上的動點，點C、D是某個函數(shù)圖像上的點，當四邊形ABCD(A、B、C、D各點依次排列)為正方形時，稱這個正方形為此函數(shù)圖像的伴侶正方形。例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖像的其中一個伴侶正方形。(1)若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1,求它的圖像的所有伴侶正方形的邊長；k.(2)右某函數(shù)是反比例函數(shù)y=-(k>0),他的圖像的伴侶正方形為ABC

9、D點D(2,河)X(m<2)在反比例函數(shù)圖像上，求m的值及反比例函數(shù)解析式；(3)若某函數(shù)是二次函數(shù)y=ax2+c(a#0),它的圖像的伴侶正方形為ABCDCD中的一個點坐標為(3,4).寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標,寫出符合題意的其中一條拋物線解析式，并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？。(本小題只需直接寫出答案)簡解：（1）如圖（1）,正方形邊長為-42;32(2)如圖(2),.AD®BAtDCBF，解得反比例函數(shù)為y=;x123(3)(1,3),(7,T),(Y,7),(4,1)對應(yīng)的函數(shù)為y=x2+,88y，2+等y*x2+1,y=3x2+

10、”40407777【剖析】本題以正方形和一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)為知識基礎(chǔ)和問題背景，給出了“函數(shù)圖像的伴侶正方形”的新定義，解答本題，關(guān)鍵是讀懂“新定義”，看懂函數(shù)圖象。本題主要考查了全等三角形、點坐標、函數(shù)圖象等相關(guān)知識和數(shù)形結(jié)合思想的運用，考查學(xué)生綜合運用知識的能力。例6、（2009年益陽市）閱讀材料：如圖1,過4ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫4ABC的“水平寬”（a）,中間的這條直線在ABC內(nèi)部線段的長度叫ABC的“鉛垂1ra，一一，局（h）”.我們可得出一種計算三角形面積的新方法：S&BC=-ah,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高

11、乘積的一半解答下列問題：如圖2,拋物線頂點坐標為點C(1,4),交x軸于點A(3,0),交y軸于點B.(1)求拋物線和直線AB的解析式；(2)點P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個動點，連結(jié)PA,PB,當P點運動到頂點C時，求CAB的鉛垂高CD及S#AB；P點的坐標；若不存在，請說9(3)是否存在一點P,使SPAB=SCAB,右存在，求出8明理由.簡解：解：(1)y1=_(x-1)24=-x22x3y2-x3(2)CD=4-2=2c1、S#AB=2M3M2=3(平方單位)(3)假設(shè)存在符合條件的點P,設(shè)P點的橫坐標為x,PAB的鉛垂高為h,則鉛垂高h=y1y2=(x2+2x+3)(x+3)=x2

12、+3x91_.2_、9八由Sapab=SaCAB，得：一M3M(-x43x)=一父38283化間彳導(dǎo):4x-12x+9=0,解得，x=2心3,、2一，315、將乂=一代入y1=x+2x+3中，解得P點坐標為(一，)224【剖析】本題以閱讀材料的形式提出了新定義：ABC的“水平寬:“鉛垂高(h)'；從而得出A-,一、，1r-,一一、一一種計算三角形面積的新方法：S&BC=ah,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積2的一半.運用新定義中的新方法，可解答一類在以拋物線為背景下的斜三角形的最大面積問題，解答本題，關(guān)鍵是讀懂“新定義”和理解運用新公式。本題主要考查學(xué)生閱讀理解能力和數(shù)形結(jié)合

13、思想的運用。以考點三：利用“新定義”構(gòu)建四邊形、相似形模型例7、(2009年臺州市)定義：到凸四邊形一組對邊距離相等，到另一組對邊距離也相等的點叫凸四邊形的準內(nèi)點.如圖1,PH=PJ,PI=PG,則點P就是四邊形ABCD的準內(nèi)點.(1)如圖2,/AFD與/DEC的角平分線FP,EP相交于點P.求證：點P是四邊形ABCD的準內(nèi)點.(2)分別畫出圖3平行四邊形和圖4梯形的準內(nèi)點.(作圖工具不限，不寫作法，但要有必要的說明)(3)判斷下列命題的真假，在括號內(nèi)填“真”或“假”.任意凸四邊形一定存在準內(nèi)點.()任意凸四邊形一定只有一個準內(nèi)點.()若P是任意凸四邊形ABCD的準內(nèi)點，則PA+PB=PC+P

14、D或PA+PC=PB+PD.()_LCD,PJ_LAD,簡解：(1)如圖2,過點P作PG_LAB,PH_LBC,PI.EP平分/DEC,PJ=PH.同理(2)A圖3(1)平行四邊形對角線AC,BD的交點R就是準內(nèi)點，如圖3(1)或者取平行四邊形兩對邊中點連線的交點P1就是準內(nèi)點，如圖3(2);梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點P2就是準內(nèi)點.如圖4.(3)真；真；假.【剖析】本題以四邊形、特殊四邊和角平分線的性質(zhì)為知識基礎(chǔ)，給出了“四邊形ABCD的準內(nèi)點”的新定義，解答本題，關(guān)鍵是讀懂“新定義”和看懂幾何圖形，理解點到直線的距離和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀理解能

15、力、邏輯推理能力和畫圖操作能力。例8、（2009年紹興市）若從矩形一邊上的點到對邊的視角是直角，則稱該點為直角點.例如，如圖的矩形ABCD中，點M在CD邊上，連AM,BM,/AMB=90°,則點M為直角點.（1）若矩形ABCD一邊CD上的直角點M為中點，問該矩形的鄰邊具有何種數(shù)量關(guān)系?并說明理由；D（2）若點M,N分別為矩形ABCD邊CD,AB上的直角點，且AB=4,BC=J3,求MN的長.解：(1)AB=2AD如圖(1)直角點M為CD邊的中點，MD=MC,.AD=BC,/D=ZC=Rt/,MD陣MDMAMD=BMC /AMB=R且,/AMD+BMC=90/AMD=BMC=45,AD

16、=DMAB=2AD如圖(2),作MH±AB于點H,連結(jié)MN, /AMB=90,/AMD廿BMC=90, /AMD+DAM=90,/DAMgBMC又./D=/C,1ADMTMCBBCBADDM力=,既MCBC34二MCMC,3,MC=1或3。當MC=1時,AN=1,NH=2。，MN2=MH2+NH2=(T3j+22=7MN=-7當MC=3時，MN=BC=Q【剖析】本題以全等三角形、矩形和相似三角形為知識基礎(chǔ)，給出了“直角點”的新定義，解答本題，關(guān)鍵是讀懂“新定義”和看懂幾何中的基本圖形。本題主要考查學(xué)生邏輯推理能力和分類討論思想的運用，以及解方程和計算能力。解答本題，可從不同角度和思路

17、來解答，是一道解法多樣性的試題。例9、（2009年湖州市）若P為ZXABC所在平面上一點，且/APB=/BPC=/CPA=120°,則點P叫做ZXABC的費馬點.第（25）題(1)若點P為銳角zABC的費馬點，且/ABC=60°,PA=3,PC=4,則PB的值為；(2)如圖，在銳角ABC外側(cè)作等邊ACB,連結(jié)BB'.求證：BB'過4ABC的費馬點P,且BB'=PA+PB+PC.25.(1)273.(2)證明：在BB'上取點P,使/BPC=120°,連結(jié)AP,再在PB'上截取PE=PC,連結(jié)CE.BPC=120°,二/EPC=60°.PCE為正三角形，.PC=CE,/PCE=60°,ZCEB=120°,ACB'為正三角形，.AC=B'C,/ACB'=60°,.PCAACE=ACEECB=60°,.