1、模塊二模塊二 材料力學(xué)材料力學(xué) 梁彎曲時橫截面上正應(yīng)力、剪應(yīng)力的計算梁彎曲時橫截面上正應(yīng)力、剪應(yīng)力的計算 正應(yīng)力強(qiáng)度計算；正應(yīng)力強(qiáng)度計算；剪應(yīng)力強(qiáng)度的計算剪應(yīng)力強(qiáng)度的計算 教學(xué)教學(xué) 內(nèi)內(nèi) 容容1、 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力2、 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計算梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計算3、 提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑4、 梁的剪應(yīng)力和剪應(yīng)力的強(qiáng)度計算梁的剪應(yīng)力和剪應(yīng)力的強(qiáng)度計算 圖圖1(a)所示所示的簡支梁，荷載與支座反力都作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，其剪的簡支梁，荷載與支座反力都作用在梁的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，其剪力圖和彎矩圖力圖和彎矩圖如圖如圖1(b)、(c)所示所示。由圖可知，在

2、梁的由圖可知，在梁的AC、DB兩段內(nèi)，各橫截面上既有剪力又有彎矩，這種彎兩段內(nèi)，各橫截面上既有剪力又有彎矩，這種彎曲稱為曲稱為剪切彎曲剪切彎曲(或橫力彎曲或橫力彎曲)。在梁的在梁的CD段內(nèi)，各橫截面上只有彎矩而無剪力，這種彎曲稱為段內(nèi)，各橫截面上只有彎矩而無剪力，這種彎曲稱為純彎曲純彎曲。 一、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力一、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力圖圖1 取一矩形截面等直梁，先在其表面畫兩條與軸線垂直的橫線取一矩形截面等直梁，先在其表面畫兩條與軸線垂直的橫線-和和-，以及兩條與軸線平行的縱線以及兩條與軸線平行的縱線ab和和cd(圖圖2(a)。然后在梁的兩端各施加一個力偶。然后在梁的兩端各施加一個

3、力偶矩為矩為M的外力偶，使梁發(fā)生純彎曲變形的外力偶，使梁發(fā)生純彎曲變形(圖圖2(b)。可以觀察到如下現(xiàn)象：可以觀察到如下現(xiàn)象：（1） 梁變形后，橫線梁變形后，橫線-和和-仍為直線，并與變形后梁的軸線垂直，仍為直線，并與變形后梁的軸線垂直，但傾斜了一個角度。但傾斜了一個角度。（2） 縱向線變成了曲線，靠近頂面的縱向線變成了曲線，靠近頂面的ab縮短了，靠近底面的縮短了，靠近底面的cd伸長了。伸長了。圖圖2 一、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力一、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力根據(jù)上述的表面變形現(xiàn)象，由表及里地推斷梁內(nèi)部的變形，根據(jù)上述的表面變形現(xiàn)象，由表及里地推斷梁內(nèi)部的變形，作出如下的作出如下的兩點假設(shè)：兩點

4、假設(shè)：(1) 平面假設(shè)平面假設(shè)假設(shè)梁的橫截面變形后仍保持為平面，只是繞橫截面內(nèi)某軸轉(zhuǎn)了一個角假設(shè)梁的橫截面變形后仍保持為平面，只是繞橫截面內(nèi)某軸轉(zhuǎn)了一個角度，偏轉(zhuǎn)后仍垂直于變形后的梁的軸線。度，偏轉(zhuǎn)后仍垂直于變形后的梁的軸線。(2) 單向受力假設(shè)單向受力假設(shè)將梁看成是由無數(shù)縱向纖維組成，假設(shè)所有縱向纖維只受到軸向拉伸或?qū)⒘嚎闯墒怯蔁o數(shù)縱向纖維組成，假設(shè)所有縱向纖維只受到軸向拉伸或壓縮，互相之間無擠壓。壓縮，互相之間無擠壓。一、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力一、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 1、 橫截面上正應(yīng)力計算公式橫截面上正應(yīng)力計算公式ZIyM 1、 橫截面上正應(yīng)力計算公式橫截面上正應(yīng)力計算公式n 根

5、據(jù)變形的幾何關(guān)系根據(jù)變形的幾何關(guān)系，物理關(guān)系，靜力關(guān)系物理關(guān)系，靜力關(guān)系可得橫可得橫截面正應(yīng)力計算公式截面正應(yīng)力計算公式圖圖3 圖圖4 2、橫截面上的最大正應(yīng)力、橫截面上的最大正應(yīng)力maxmaxM yIZ圖圖3 圖圖4 一、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力一、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力【例例1】一懸臂梁的截面為矩形，自由端受集中力一懸臂梁的截面為矩形，自由端受集中力P作用作用(圖圖5(a)。已。已知知P=4kN，h=60mm，b=40mm，l=250mm。求固定端截面上。求固定端截面上a點的點的正應(yīng)力及固定端截面上的最大正應(yīng)力。正應(yīng)力及固定端截面上的最大正應(yīng)力。【解解】(1) 計算固定端截面上的彎矩計算

6、固定端截面上的彎矩MM=Pl=4250kNmm=1000kNmm(2) 計算固定端截面上計算固定端截面上a點的正應(yīng)力點的正應(yīng)力Iz=bh3/12=40603/12mm4=72104mm4a=M/Izya=13.9MPa一、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力一、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力2、橫截面上的最大正應(yīng)力、橫截面上的最大正應(yīng)力(3) 計算固定端截面上的最大正應(yīng)力計算固定端截面上的最大正應(yīng)力固定端截面的最大正應(yīng)力發(fā)生在該截面的上、下邊緣處。由梁固定端截面的最大正應(yīng)力發(fā)生在該截面的上、下邊緣處。由梁的變形情況可以看出，上邊緣產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，下邊緣產(chǎn)生最大壓的變形情況可以看出，上邊緣產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，下邊緣產(chǎn)

7、生最大壓應(yīng)力，其應(yīng)力分布應(yīng)力，其應(yīng)力分布如圖如圖5(b)所示所示。最大正應(yīng)力值為。最大正應(yīng)力值為max=M/Izymax=41.7MPa圖圖5 一、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力一、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力2、橫截面上的最大正應(yīng)力、橫截面上的最大正應(yīng)力【例例2】簡支梁受均布荷載簡支梁受均布荷載q作用，作用，如圖如圖6(a)所示所示。已知。已知q=3.5kN/m，梁的跨度梁的跨度l=1m，該梁由，該梁由10號槽鋼平置制成。試計算梁的最大拉應(yīng)力號槽鋼平置制成。試計算梁的最大拉應(yīng)力lmax和最大壓應(yīng)力和最大壓應(yīng)力ymax以及它們發(fā)生的位置。以及它們發(fā)生的位置?！窘饨狻?1) 求支座反力求支座反力由對稱性有

8、由對稱性有RA=RB=ql/2=5.25kN (2) 作出彎矩圖作出彎矩圖，如圖如圖6(b)所示所示。最大彎矩發(fā)生在跨中截面，其。最大彎矩發(fā)生在跨中截面，其值為值為Mmax=ql2/8=0.44kNm2、橫截面上的最大正應(yīng)力、橫截面上的最大正應(yīng)力一、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力一、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力(3) 由型鋼表查得由型鋼表查得10號槽鋼截面號槽鋼截面Iz=25.6cm4=25.6104mm4y1=1.52cm=15.2mmy2=3.28cm=32.8mm(4) 計算正應(yīng)力計算正應(yīng)力最大拉應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的下邊緣處最大拉應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的下邊緣處lmax=Mmax/Izyz=56.05

9、MPa最大壓應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的上邊緣處最大壓應(yīng)力發(fā)生在跨中截面的上邊緣處ymax=Mmax/Izy1=25.98MPa一、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力一、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力2、橫截面上的最大正應(yīng)力、橫截面上的最大正應(yīng)力圖圖6 一、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力一、梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力2、橫截面上的最大正應(yīng)力、橫截面上的最大正應(yīng)力在進(jìn)行梁的強(qiáng)度計算時，必須算出梁的最大正應(yīng)力值。對于等在進(jìn)行梁的強(qiáng)度計算時，必須算出梁的最大正應(yīng)力值。對于等直梁，彎曲時的最大正應(yīng)力一定在彎矩最大的截面的上、下邊緣。直梁，彎曲時的最大正應(yīng)力一定在彎矩最大的截面的上、下邊緣。該截面稱為該截面稱為危險截面危險截面，其上、

10、下邊緣的點稱為，其上、下邊緣的點稱為危險點危險點。(1) 對于中性軸是截面對稱軸的梁對于中性軸是截面對稱軸的梁 最大正應(yīng)力的值為最大正應(yīng)力的值為 max=Mmax/Wz式中式中Wz稱為稱為抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù) 2、橫截面上的最大正應(yīng)力、橫截面上的最大正應(yīng)力(2) 對于中性軸不是截面對稱軸的梁對于中性軸不是截面對稱軸的梁例如圖例如圖10.10所示的所示的T形截面梁，在正彎矩形截面梁，在正彎矩M作用下，梁下邊緣處產(chǎn)生最作用下，梁下邊緣處產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，上邊緣處產(chǎn)生最大壓應(yīng)力，其值分別為大拉應(yīng)力，上邊緣處產(chǎn)生最大壓應(yīng)力，其值分別為lmax=M/Izy1ymax=M/Izy2令令Wl=Iz/y1，

11、Wy=Iz/y2則則lmax=M/Wl，ymax=M/Wy圖圖7 2、橫截面上的最大正應(yīng)力、橫截面上的最大正應(yīng)力(1) 當(dāng)材料的抗拉和抗壓能力相同時當(dāng)材料的抗拉和抗壓能力相同時梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為maxmax MWZ 強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核在已知梁的材料和橫截面的形狀、尺寸，以及所受荷載的在已知梁的材料和橫截面的形狀、尺寸，以及所受荷載的情況下，可以檢查梁是否滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。情況下，可以檢查梁是否滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。maxmax MWZ3、正應(yīng)力強(qiáng)度條件、正應(yīng)力強(qiáng)度條件 截面設(shè)計截面設(shè)計當(dāng)已知荷載和梁的材料時，可根據(jù)強(qiáng)度條件，計算所需的當(dāng)已知荷載和梁的材料時，可根據(jù)強(qiáng)度條件，

12、計算所需的抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù) maxMWz 確定許可荷載確定許可荷載如已知梁的材料和截面尺寸，先根據(jù)強(qiáng)度條件，計算出梁所能承受的最如已知梁的材料和截面尺寸，先根據(jù)強(qiáng)度條件，計算出梁所能承受的最大彎矩大彎矩MmaxWz3、正應(yīng)力強(qiáng)度條件、正應(yīng)力強(qiáng)度條件一般情況下，梁的設(shè)計是以正應(yīng)力強(qiáng)度條件為依據(jù)。由等直梁的正應(yīng)力一般情況下，梁的設(shè)計是以正應(yīng)力強(qiáng)度條件為依據(jù)。由等直梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件max=Mmax/Wz可以看出，梁橫截面上最大正應(yīng)力與最大彎矩成正比，與抗彎截面系數(shù)可以看出，梁橫截面上最大正應(yīng)力與最大彎矩成正比，與抗彎截面系數(shù)成反比。所以提高梁的彎曲強(qiáng)度主要從成反比。所以提高梁的彎曲

13、強(qiáng)度主要從降低最大彎矩值降低最大彎矩值和和增大抗彎截面系數(shù)增大抗彎截面系數(shù)這兩方面進(jìn)行。這兩方面進(jìn)行。 (1) 合理布置梁的支座合理布置梁的支座以簡支梁受均布荷載作用為例以簡支梁受均布荷載作用為例(圖圖 (a)，跨中最大彎矩，跨中最大彎矩Mmax=1/8ql2，若將兩端的支座各向中間移動若將兩端的支座各向中間移動0.2l(圖圖8(b)，最大彎矩將減小為，最大彎矩將減小為Mmax=ql2/40，僅為前者的，僅為前者的1/5。因而在同樣荷載作用下，梁的截面可減。因而在同樣荷載作用下，梁的截面可減小，這樣就大大節(jié)省材料，并減輕自重。小，這樣就大大節(jié)省材料，并減輕自重。二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑二、提高

14、梁抗彎強(qiáng)度的途徑圖圖8 二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑(2) 改善荷載的布置情況改善荷載的布置情況若結(jié)構(gòu)上允許把集中荷載分散布置，可以降低梁的最大彎矩值。若結(jié)構(gòu)上允許把集中荷載分散布置，可以降低梁的最大彎矩值。例如簡支梁在跨中受一集中力例如簡支梁在跨中受一集中力P作用作用(圖圖9(a)，其，其Mmax=1/4Pl。若。若在在AB梁上安置一根短梁梁上安置一根短梁CD(圖圖9(b)，最大彎矩將減小為，最大彎矩將減小為Mmax=1/8Pl，僅為前者的僅為前者的1/2。又如將集中力。又如將集中力P分散為均布荷載分散為均布荷載q=P/l(圖圖9(c)，其最大，其最大彎矩減小為彎矩減小為

15、Mmax=1/8ql2=1/8Pl，只有原來的，只有原來的1/2。二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑圖圖9 二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑(3) 合理布置荷載作用位置合理布置荷載作用位置將荷載布置在靠近支座處比布置在跨中時，最大彎矩值要小得多。將荷載布置在靠近支座處比布置在跨中時，最大彎矩值要小得多。例如承受集中力例如承受集中力P作用的簡支梁，荷載作用在梁中點時作用的簡支梁，荷載作用在梁中點時(圖圖10(a)，最大，最大彎矩彎矩Mmax=1/4Pl，若荷載靠近支座作用，若荷載靠近支座作用(圖圖10(b)，則最大彎矩，則最大彎矩Mmax=5/36Pl，減小近一半，

16、且隨著荷載離支座距離的縮小而繼續(xù)減，減小近一半，且隨著荷載離支座距離的縮小而繼續(xù)減小。小。二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑圖圖10 二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑(4) 適當(dāng)增加梁的支座適當(dāng)增加梁的支座由于梁的最大彎矩與梁的跨度有關(guān)，增加支座可以減小梁的跨度，由于梁的最大彎矩與梁的跨度有關(guān)，增加支座可以減小梁的跨度，從而降低最大彎矩值。從而降低最大彎矩值。例如均布荷載作用的簡支梁，在梁中間增加一個支座例如均布荷載作用的簡支梁，在梁中間增加一個支座(圖圖11)，則則Mmax=1/32ql2，只是原梁的，只是原梁的1/4。 二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑二、提高梁抗彎強(qiáng)

17、度的途徑圖圖11 二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑(1) 選擇抗彎截面系數(shù)選擇抗彎截面系數(shù)Wz與截面面積與截面面積A比值高的截面比值高的截面梁所能承受的彎矩與抗彎截面系數(shù)梁所能承受的彎矩與抗彎截面系數(shù)Wz成正比，成正比，Wz不僅與截面的不僅與截面的尺寸有關(guān)，還與截面的形狀有關(guān)。梁的橫截面面積愈大，尺寸有關(guān)，還與截面的形狀有關(guān)。梁的橫截面面積愈大，Wz也愈大，也愈大，但消耗的材料也多。所以梁的合理截面應(yīng)該是用最小的面積得到最大但消耗的材料也多。所以梁的合理截面應(yīng)該是用最小的面積得到最大的抗彎截面系數(shù)。的抗彎截面系數(shù)。表表10.1列出幾種常用截面形狀列出幾種常用截面形狀Wz/A的比

18、值。從表中可看出，圓形的比值。從表中可看出，圓形截面的比值最小，矩形截面次之，工字鋼及槽鋼較好。截面的比值最小，矩形截面次之，工字鋼及槽鋼較好。 二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑(2) 根據(jù)材料的特性選擇截面根據(jù)材料的特性選擇截面由正應(yīng)力強(qiáng)度條件由正應(yīng)力強(qiáng)度條件lmax=Mmax/Wl=Mmax/Iy1lymax=Mmax/Wy=Mmax/I2y可知，當(dāng)截面的最大拉應(yīng)力與壓應(yīng)力同時達(dá)到其許用值時，可知，當(dāng)截面的最大拉應(yīng)力與壓應(yīng)力同時達(dá)到其許用值時，材料才能得到充分利用，材料才能得到充分利用，故同時滿足以上兩式的截面形狀才是合理的。由以上兩式故同時滿足以上兩式的截面形狀才是合理的

19、。由以上兩式取等號相比得取等號相比得l/y=y1/y2二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑對于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的塑性材料對于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的塑性材料，由于，由于l=y，則，則要求要求y1=y2，應(yīng)采用對稱于中性軸的截面，如矩形、圓形、工字形等，應(yīng)采用對稱于中性軸的截面，如矩形、圓形、工字形等截面。截面。對于抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的脆性材料，對于抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的脆性材料，由于由于ly，則要求則要求y1y2，應(yīng)采用不對稱于中性軸的截面，如，應(yīng)采用不對稱于中性軸的截面，如T形、槽形等截面。形、槽形等截面。還應(yīng)注意脆性材料的還應(yīng)注意脆性材料的y往往比往往比l大得多，因此受壓邊緣離

20、中大得多，因此受壓邊緣離中性軸的距離性軸的距離y2應(yīng)較大。應(yīng)較大。二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑等截面梁的截面尺寸是由最大彎矩等截面梁的截面尺寸是由最大彎矩Mmax確定的，其他截面由于確定的，其他截面由于彎矩小，最大應(yīng)力都未達(dá)到許用應(yīng)力值，材料未得到充分利用。為了彎矩小，最大應(yīng)力都未達(dá)到許用應(yīng)力值，材料未得到充分利用。為了充分發(fā)揮材料的潛力，在彎矩較大處采用較大截面，而在彎矩較小處充分發(fā)揮材料的潛力，在彎矩較大處采用較大截面，而在彎矩較小處采用較小截面。這種橫截面沿梁軸線變化的梁稱為采用較小截面。這種橫截面沿梁軸線變化的梁稱為變截面梁變截面梁。若變截。若變截面梁各橫截面上的最

21、大正應(yīng)力都恰好等于材料的許用應(yīng)力，稱為面梁各橫截面上的最大正應(yīng)力都恰好等于材料的許用應(yīng)力，稱為等強(qiáng)等強(qiáng)度梁度梁。等強(qiáng)度梁的等強(qiáng)度梁的Wz(x)沿梁軸線變化的規(guī)律為沿梁軸線變化的規(guī)律為Wz(x)=M(x)/ 二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑從強(qiáng)度觀點看，等強(qiáng)度梁是最理想的，但因截面變化，這種梁的施工較從強(qiáng)度觀點看，等強(qiáng)度梁是最理想的，但因截面變化，這種梁的施工較困難。因此在工程上常采用形狀簡單的變截面梁，來代替理論上的等強(qiáng)度梁。困難。因此在工程上常采用形狀簡單的變截面梁，來代替理論上的等強(qiáng)度梁。例如例如，在房屋建筑中的陽臺及雨篷挑梁，如圖，在房屋建筑中的陽臺及雨篷挑梁，如圖10.

22、18所示，梁的截面高度所示，梁的截面高度是變化的，自由端較小，固定端較大。是變化的，自由端較小，固定端較大。圖圖12 二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑二、提高梁抗彎強(qiáng)度的途徑(1) 矩形截面梁的剪應(yīng)力矩形截面梁的剪應(yīng)力矩形截面梁橫截面上各點處的剪應(yīng)力方向都與剪力矩形截面梁橫截面上各點處的剪應(yīng)力方向都與剪力Q的方向一致，的方向一致，距中性軸距中性軸z距離為距離為y的任意一點處的剪應(yīng)力的任意一點處的剪應(yīng)力=QSz/(Izb)剪應(yīng)力沿截面寬度方向均勻分布，沿截面高度方向按拋物線規(guī)律剪應(yīng)力沿截面寬度方向均勻分布，沿截面高度方向按拋物線規(guī)律分布，分布，如圖如圖13(b)、(c)所示所示。在中性軸處剪應(yīng)力最大，其

23、值為。在中性軸處剪應(yīng)力最大，其值為max=3Q/2A三、梁橫截面上的剪應(yīng)力三、梁橫截面上的剪應(yīng)力2、梁橫截面上的剪應(yīng)力公式、梁橫截面上的剪應(yīng)力公式圖圖13 三、梁橫截面上的剪應(yīng)力三、梁橫截面上的剪應(yīng)力2、梁橫截面上的剪應(yīng)力公式、梁橫截面上的剪應(yīng)力公式(2) 工字形截面梁的剪應(yīng)力工字形截面梁的剪應(yīng)力工字形截面由腹板和翼緣組成。腹板是一個狹長的矩形，其剪應(yīng)力可按工字形截面由腹板和翼緣組成。腹板是一個狹長的矩形，其剪應(yīng)力可按矩形截面的剪應(yīng)力公式計算，距中性軸距離為矩形截面的剪應(yīng)力公式計算，距中性軸距離為y處的剪應(yīng)力處的剪應(yīng)力max=QSz/（Izd）剪應(yīng)力沿腹板高度按拋物線規(guī)律分布，最大剪應(yīng)力產(chǎn)生在中性軸處，剪應(yīng)力沿腹板高度按拋