1、第03講 函數(shù)的值域（最值）的常見求法（2）【知識(shí)要點(diǎn)】一、函數(shù)值域的定義函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.二、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則，不論采用什么方法求函數(shù)的值域，都要考慮定義域，函數(shù)的問題必須遵循“定義域優(yōu)先”的原則.三、常見函數(shù)的值域1、一次函數(shù)的值域?yàn)?2、二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)的值域?yàn)?，時(shí)的值域?yàn)?3、反比例函數(shù)的值域?yàn)?4、指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?5、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)? 6、冪函數(shù)的值域?yàn)?，冪函?shù)的值域?yàn)?7、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域?yàn)?，正切函?shù)的值域?yàn)?四、求函數(shù)的值域常用的方法求函數(shù)的值域常用的方法有觀察法、分離常數(shù)法、配方法、反函數(shù)法、換元法、判別式法、基本不等式法、單調(diào)性法、數(shù)形結(jié)合

2、法、導(dǎo)數(shù)法、絕對(duì)值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三數(shù)（函數(shù)、數(shù)形結(jié)合、導(dǎo)數(shù)）”和“三不（基本不等式、絕對(duì)值不等式、柯西不等式）”.五、函數(shù)的值域一定要用集合或區(qū)間來表示.六、函數(shù)的值域、取值范圍和函數(shù)的最值實(shí)際上是同一范疇的問題，所以求函數(shù)值域的方法適用于求函數(shù)的最值和取值范圍等. 【方法講評(píng)】方法六判別式法使用情景形如的函數(shù).解題步驟一般先將函數(shù)化成二次方程，再利用判別式來求函數(shù)的值域.【例1】求函數(shù)的值域. 【點(diǎn)評(píng)】（1）分子、分母中含有二次項(xiàng)的函數(shù)類型，此函數(shù)經(jīng)過變形后可以化為的形式，再利用判別式加以判斷.（2）函數(shù)經(jīng)過變形后可以化為的形式后，要注意對(duì)是否為零進(jìn)行分類討論，因

3、為它不一定是一元二次方程.（3）判別式法解出值域后一定要將端點(diǎn)值（本題是）代回方程檢驗(yàn)，把不滿足題意的舍去. 【反饋檢測(cè)1】求函數(shù)的值域. 方法七基本不等式法使用情景一般變量是正數(shù)，變量的和或積是定值.解題步驟一般先進(jìn)行配湊，再利用基本不等式求函數(shù)的最值，從而得到函數(shù)的值域. 【例2】已知，求函數(shù) 的最小值.【解析】.=當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立.因?yàn)樵诙x域內(nèi)，所以最小值為.【點(diǎn)評(píng)】（1）本題不能直接使用基本不等式，本題在利用基本不等式前，要對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，要用到分離函數(shù)的方法對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再使用基本不等式.（2）很多函數(shù)在使用基本不等式之前都要進(jìn)行化簡(jiǎn)和配湊，所以要注意觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu),再進(jìn)

4、行變形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值時(shí)，要注意“一正二定三相等”，三個(gè)條件缺一不可. 【例3】已知，求函數(shù)的最大值. 【點(diǎn)評(píng)】（1）基本不等式有二元基本不等式(和三元不等式.（2）基本不等式不僅適用于一般函數(shù)，也適用三角函數(shù)和其它所有函數(shù)，只要滿足條件，就可以利用“一正二定三相等”來分析解答. 【反饋檢測(cè)2 】已知，且，則的最小值為. 【反饋檢測(cè)3】【2017浙江，17】已知R，函數(shù)在區(qū)間1，4上的最大值是5，則的取值范圍是_ 方法八單調(diào)性法使用情景函數(shù)的單調(diào)性容易判斷.解題步驟先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的值域. 【例 4】求函數(shù)的值域. 【點(diǎn)評(píng)】（1）本題

5、先利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性確定了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)的最大值和最小值，得到函數(shù)的值域.（2）判定函數(shù)的單調(diào)性常用的有定義法、圖像法、復(fù)合函數(shù)分析法和導(dǎo)數(shù)法,注意靈活使用. 【例5】求函數(shù)的值域.【解析】令，則在上都是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的值域?yàn)??！军c(diǎn)評(píng)】（1）如果能確定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，可以使用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域.（2）本題中利用了這樣一個(gè)性質(zhì)：增（減）函數(shù)+增（減）函數(shù)=增（減）函數(shù).（3）本題，都是增函數(shù)，利用到了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,所以要對(duì)函數(shù)單調(diào)性的判定方法比較熟練，才能做到游刃有余.【反饋檢測(cè)4】求函數(shù)的值域. 方法九數(shù)形結(jié)合法使用情景函數(shù)有明顯的幾何

6、意義.解題步驟先找到“數(shù)”對(duì)應(yīng)的“形”，再利用數(shù)形結(jié)合分析解答.【例6】求函數(shù)的值域. 【點(diǎn)評(píng)】(1)畫函數(shù)的圖像，要先化簡(jiǎn)解析式，再畫出函數(shù)的圖像.(2)本題也可以利用重要的絕對(duì)值不等式得到函數(shù)的最值，所以函數(shù)的最小值為5.（3）對(duì)于絕對(duì)值函數(shù)，一般利用零點(diǎn)討論法把函數(shù)化成分段函數(shù)，再作圖. 【例7】 如果函數(shù)定義在區(qū)間上，求的最小值. 圖1如圖2所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間上時(shí)，有，即.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值. 圖2如圖3所示，若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間右側(cè)時(shí)，有，即.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值 圖3綜上討論，【點(diǎn)評(píng)】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是一種較典型的問題.如果對(duì)稱軸和區(qū)間的位置關(guān)系不能確定，常利用

7、分類討論和數(shù)形結(jié)合分析解答. 【例8】求函數(shù)的值域. 因?yàn)橹本€和圓相切，所以所以函數(shù)的值域?yàn)椤军c(diǎn)評(píng)】（1）對(duì)于某些具有明顯幾何意義的函數(shù)，我們可以利用數(shù)形結(jié)合的方法求該函數(shù)的值域.先找到函數(shù)對(duì)應(yīng)的形態(tài)特征，再求該函數(shù)的值域.（2）由于對(duì)應(yīng)著兩點(diǎn)之間的斜率（差之比對(duì)應(yīng)直線的斜率），所以本題可以利用斜率分析解答. 【例9】設(shè)是上的偶函數(shù)，對(duì)任意，都有且當(dāng)時(shí)，內(nèi)關(guān)于的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（ ）A（1，2）BC D 若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解所以恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.則解得：a2. 故選D【點(diǎn)評(píng)】(1) 本題涉及到函數(shù)的奇偶性、周期性和零點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合再好不過了

8、. 所以要先根據(jù)已知條件作出函數(shù) 的圖像，再作出函數(shù) 的圖像，數(shù)形結(jié)合分析解答. (2)對(duì)于函數(shù)的問題，大家要比較敏感，隨時(shí)想到利用函數(shù)的圖像來分析. 【例10】點(diǎn)為拋物線：上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，則與到軸的距離之和的最小值為（ ）A.9 B.10 C.8 D.5【解析】如圖所示，焦點(diǎn)過點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線交軸與點(diǎn)，到軸的距離,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，,所以與到軸的距離之和的最小值. 【點(diǎn)評(píng)】圓錐曲線中，涉及到焦半徑時(shí)，要想到圓錐曲線的定義，把問題轉(zhuǎn)化，優(yōu)化解題. 【例11】已知x，y滿足約束條件(1)求目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值；(2)若目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個(gè)，求的值；(3)求的取值范圍【解析

9、】(1)作出不等式組表示的可行域如圖： 作直線：，并平行移動(dòng)使它過可行域內(nèi)的點(diǎn)，此時(shí)有最大值；過可行域內(nèi)的點(diǎn)，此時(shí)有最小值，解，得解，得解，得，.(2)一般情況下，當(dāng)取得最大值時(shí)，直線所經(jīng)過的點(diǎn)都是唯一的，但若直線平行于邊界直線，即直線平行于直線時(shí)，線段上的任意一點(diǎn)均使取得最大值，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)即最優(yōu)解，有無數(shù)個(gè)又，. 【點(diǎn)評(píng)】線性規(guī)劃的問題，就是數(shù)形結(jié)合研究問題的典型.線性規(guī)劃解答問題的一般步驟是（1）根據(jù)題意，設(shè)出變量；（2）列出線性約束條件；（3）確定線性目標(biāo)函數(shù)；（4）畫出可行域（即各約束條件所示區(qū)域的公共區(qū)域）；（5）利用線性目標(biāo)函數(shù)作平行直線系；（6）觀察圖形，找到直線在可行域上

10、使取得欲求最值的位置，以確定最優(yōu)解，給出答案.【反饋檢測(cè)5】若點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2），為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，則取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是 . 【例12】如圖，圓錐的底面直徑，母線長(zhǎng)，點(diǎn)在母線上，且，有一只螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，則這只螞蟻爬行的最短距離是（ ）A B C D 【點(diǎn)評(píng)】（1）由于螞蟻在沿著曲面爬行，所以螞蟻?zhàn)哌^的路線時(shí)曲線，要直接求，比較困難，怎么辦？我們這時(shí)可以把曲面展開，變成平面，再利用解三角形的知識(shí)來分析解答，問題迎刃而解. （2）本題利用了轉(zhuǎn)化化歸的思想，把空間的問題化成平面的問題，問題迎刃而解.【反饋檢測(cè)6】如圖，圓錐的底面圓直徑為2，母線長(zhǎng)為4，若小蟲

11、從點(diǎn)開始繞著圓錐表面爬行一圈到的中點(diǎn)，則小蟲爬行的最短距離為_ 方法十導(dǎo)數(shù)法使用情景函數(shù)的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，利用導(dǎo)數(shù)可以方便地求出函數(shù)的單調(diào)性.解題步驟先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的值域.【例12】已知函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）求在區(qū)間上的最小值【解析】（1）當(dāng)時(shí)，又故切線的斜率為所以切線方程為：即（2）函數(shù)的定義域?yàn)楫?dāng)x變化時(shí)， 的變化情況如下表：0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增 【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于結(jié)構(gòu)較復(fù)雜或高次的函數(shù)，一般利用導(dǎo)數(shù)法來研究函數(shù)的值域.先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用該函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)的草圖分析函數(shù)的值域. 【例13】?jī)煽h城和相距20，現(xiàn)計(jì)

12、劃在兩縣城外以為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)建造垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對(duì)城和城的總影響度為城與城的影響度之和，記點(diǎn)到城的距離為，建在處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度為,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城的影響度與所選地點(diǎn)到城的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城和城的總影響度為0.065.（1）將表示成的函數(shù)；（11）討論（1）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城和城的總影響度最小？若存在，求出該點(diǎn)到城的距離;若不存在，說明理由. 【解析】（1）如圖,由題意知, 其中當(dāng)時(shí)，,所以.所以表示成的函數(shù)為 【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于應(yīng)用題，先要建立函數(shù)的模型，通過函數(shù)的模型，把一個(gè)實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)學(xué)問題，再利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的最值，最后再回到實(shí)際問題中去.【反饋檢測(cè)7】已知函數(shù) ，求函數(shù)在上的最大值 高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納及反饋檢測(cè)第03講：函數(shù)值域（最值）的常見求法（2）（判別式法、基本不等式法、單調(diào)性法、數(shù)形結(jié)合法和導(dǎo)數(shù)法）參考答案 【反饋檢測(cè)1答案】 【反饋檢測(cè)2答案】【反饋檢測(cè)2詳細(xì)解析】 【反饋檢測(cè)3答案】【反饋檢測(cè)3詳細(xì)解析】，分類討論：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值，舍去；當(dāng)時(shí)，此時(shí)命題成立；當(dāng)時(shí)，則：或，解得：或綜上可得，實(shí)數(shù)