1、 1.1 1.1 你能證明它們嗎（二）你能證明它們嗎（二）公理：三邊對應相等的兩個三角形全等（公理：三邊對應相等的兩個三角形全等（）公理：兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等公理：兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等( (SASSAS) )公理：兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等公理：兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等( (ASAASA) )公理：全等三角形的對應邊、對應角相等。公理：全等三角形的對應邊、對應角相等。推論：兩角及其中一角的對應邊相等的兩個三角形全等推論：兩角及其中一角的對應邊相等的兩個三角形全等(AAS)定理定理: 等腰三角形的兩個底角相等等腰三角形的兩個底角相等簡稱簡稱:

2、等邊對等角等邊對等角推論推論: 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合互相重合 (三線合一三線合一)結論結論1: 1: 等腰三角形等腰三角形腰上的高線與底邊的夾角腰上的高線與底邊的夾角等于等于頂角的一半頂角的一半. .知識要點知識要點: :結論結論2:2:等腰三角形等腰三角形底邊上的任意一點底邊上的任意一點到兩腰的距到兩腰的距離之和離之和等于一腰上的高等于一腰上的高駛向勝利的彼岸命題的證明命題的證明 例題欣賞例題欣賞w例例1 1 求證求證: :等腰三角形兩底角的平分線相等等腰三角形兩底角的平分線相等. .證明證明:AB=AC

3、(:AB=AC(已知已知),),ABC=ACB(ABC=ACB(等邊對等角等邊對等角).).又又1= ABC,2=1= ABC,2=ACB(ACB(已知已知),),1=2(1=2(等式性質等式性質).).在在BDCBDC與與CEBCEB中中DCB= EBCDCB= EBC（已知）（已知）, , BC=CBBC=CB（公共邊）（公共邊）, ,1=21=2（已證）（已證）, ,BDCBDCCEBCEB（ASAASA）. .BD=CE(BD=CE(全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應邊相等) )已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AB=AC,BD,CE,AB=AC,BD,CE是是AB

4、CABC角平分線角平分線. .求證求證:BD=CE.:BD=CE.ACBD1E22121駛向勝利的彼岸命題的證明命題的證明 我能行我能行w求證求證: :等腰三角形兩腰上的中線相等等腰三角形兩腰上的中線相等. .證明證明: :AB=AC(AB=AC(已知已知),),ABC=ACB(ABC=ACB(等邊對等角等邊對等角).).又又CM= AC,BN=CM= AC,BN=AB(AB(已知已知),),CM=BN(CM=BN(等式性質等式性質).).在在BMCBMC與與CNBCNB中中 BC=CB BC=CB（公共邊）（公共邊）, , MCB=NBC MCB=NBC（已知）（已知）, , CM=BNCM

5、=BN（已證）（已證）, ,BMCBMCCNBCNB（SASSAS）. .BM=CN(BM=CN(全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應邊相等) )已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AB=AC,BM,CN,AB=AC,BM,CN是是ABCABC兩腰上的中線兩腰上的中線. .求證求證:BM=CN.:BM=CN.2121ACBMN駛向勝利的彼岸命題的證明命題的證明 我能行我能行w求證求證: :等腰三角形兩腰上的高相等等腰三角形兩腰上的高相等. .證明證明: :AB=AC(AB=AC(已知已知),), ABC=ACB( ABC=ACB(等邊對等角等邊對等角).). 又又 BP,CQ

6、BP,CQ是是ABCABC兩腰上的高兩腰上的高( (已知已知),), BPC=CQB=90 BPC=CQB=900 0( (高的意義高的意義).). 在在BPCBPC與與CQBCQB中中 BPC=CQBBPC=CQB（已證）（已證）, , PCB=QBCPCB=QBC（已證）（已證）, , BC=CB BC=CB（公共邊）（公共邊）, , BPCBPCCQBCQB（AASAAS）. . BP=CQ( BP=CQ(全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應邊相等) )已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AB=AC,BP,CQ,AB=AC,BP,CQ是是ABCABC兩腰上的高兩腰上的高.

7、 .求證求證:BP=CQ.:BP=CQ.ACBPQ學無止境學無止境 議一議議一議這里是一個由這里是一個由特殊特殊結結論歸納出論歸納出一般一般結論的結論的一種數學思想方法一種數學思想方法.駛向勝利的彼岸ACBDE1.1.已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,AB=AC,AB=AC(1)(1)如果如果CBD=ABC/3,BCE=ACB/3CBD=ABC/3,BCE=ACB/3呢呢? ? 由此你能由此你能得到一個什么結論得到一個什么結論? ?(2)(2)如果如果CD=AC/3,BE=AB/3CD=AC/3,BE=AB/3呢呢? ? 由此你能得到一個什么由此你能得到一個什么結論結論? ?你

8、能證明得到的結論嗎？你能證明得到的結論嗎？等腰三角形的判等腰三角形的判定定 議一議議一議駛向勝利的彼岸前面已經證明了前面已經證明了“等邊對等角等邊對等角”，反過來，反過來， “等角對等邊等角對等邊”成立嗎成立嗎? ?即即有兩個角相等的三角形是等腰三角形有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎嗎? ?ACB已知已知: :如圖如圖, ,在在ABCABC中中,B,BC.C.求證求證:AB=AC.:AB=AC.如：作如：作BCBC邊上的中線；邊上的中線； 作作AA的平分線的平分線 作作BCBC邊上的高邊上的高.幾何的幾何的三種語言三種語言 議一議議一議駛向勝利的彼岸定理：定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角

9、形（有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊等角對等邊）. .ACB在在ABCABC中中BBCC（已知），（已知），AB=ACAB=AC（等角對等邊）（等角對等邊）. .這又是一個判定這又是一個判定兩條線段相等兩條線段相等方法之一方法之一. 1.如圖如圖,ABCABC中中,D.E分別是分別是AC.AB上的點上的點,BD與與CE交于交于點點O,給出下列四個條件給出下列四個條件:EBO=DCOEBO=DCO BEO=CDOBEO=CDO BE=CD BE=CD OB=OCOB=OC(1)上述四個條件中上述四個條件中,哪兩個條件可判定哪兩個條件可判定ABCABC是等腰三角形是等腰三角形(用序號寫

10、出所有情形用序號寫出所有情形)(2)選擇的選擇的1小題的一種情形小題的一種情形,證明證明ABCABC是等腰三角形是等腰三角形.B BA AE ED DC CO; ; ; ; ; 2.現有等腰三角形紙片現有等腰三角形紙片,如果能從一個角的頂點出如果能從一個角的頂點出發(fā)發(fā),將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙片將原紙片一次剪開成兩塊等腰三角形紙片,問此問此時的等腰三角形的頂角的度數時的等腰三角形的頂角的度數? 3690108證明命題的證明命題的新思路新思路w 路邊苦李路邊苦李w 古時候有個人叫王戍，古時候有個人叫王戍，7 7歲那年的某一歲那年的某一天和小朋友在路邊玩，看見一棵李子樹上天和小朋友在路邊

11、玩，看見一棵李子樹上的果實多得把樹枝都快壓斷了，小朋友們的果實多得把樹枝都快壓斷了，小朋友們都跑去摘，只有王戍站著沒動。小朋友問都跑去摘，只有王戍站著沒動。小朋友問他為何不去摘，他說：他為何不去摘，他說：“樹長在路邊，如樹長在路邊，如果李子是甜的果李子是甜的, ,那么早沒了那么早沒了, ,現在李子那么現在李子那么多，肯定李子是苦的，不好吃。多，肯定李子是苦的，不好吃?！毙∨笥研∨笥颜獊硪粐L，李子果然苦的沒法吃。摘來一嘗，李子果然苦的沒法吃。駛向勝利的彼岸開啟 智慧學無止境學無止境w小明說小明說, ,在一個三角形中，在一個三角形中，如果兩個角所對的邊不相如果兩個角所對的邊不相等等, ,那么這兩個

12、角也不相等那么這兩個角也不相等. .w你認為這個結論成立嗎你認為這個結論成立嗎? ?w如果成立如果成立, ,你能證明它嗎你能證明它嗎? ?開啟 智慧CAB 即在即在ABCABC中中, ,如果如果ABAC,那么那么BC.學無止境學無止境w小明是這樣想的小明是這樣想的: :w你能理解他的推理過程嗎?駛向勝利的彼岸開啟 智慧CAB 假設假設B=CB=C, , 那么根據那么根據“等角對等邊等角對等邊” ” 得得AB=AC,AB=AC,與已知條件是與已知條件是ABACABAC相矛相矛盾盾因此假設不成立因此假設不成立, ,原命題成立原命題成立即即BC.BC.反證法反證法w先假設命題的結論先假設命題的結論反

13、面反面成立成立，w然后推導出與定義，公理、已證定理或然后推導出與定義，公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果，已知條件相矛盾的結果，w所以假設不成立所以假設不成立, ,原命題成立原命題成立w你可要結識你可要結識“反證法反證法”這個新朋友這個新朋友噢噢! !開啟 智慧反證法是一種重要的數學證明方法反證法是一種重要的數學證明方法. .在解決某些問題時常常會有出人意在解決某些問題時常常會有出人意料的作用料的作用. .這種證明方法稱為這種證明方法稱為反證法反證法 (reduction to absurdity)(reduction to absurdity) 假設歸謬結論初露鋒芒初露鋒芒w例例1.1.如

14、何證明這個結論如何證明這個結論: :w如果如果a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,a4 4,a,a5 5都是正數都是正數, ,且且a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5=1,=1,那么那么, ,這五個數中至少這五個數中至少有一個大于或等于有一個大于或等于1/5.1/5.用用反證法反證法來證來證: :證明證明: :假設這五個數假設這五個數全部全部小于小于1/5,1/5,那么這五那么這五個數的和個數的和a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5就小于就小于1.1.這與已知這與已知這五個數的和這五個數的和a a1 1+a+a2 2+a

15、+a3 3+a+a4 4+a+a5 5=1=1相矛盾相矛盾. .因此因此假設不成立假設不成立, , 原命題成立原命題成立, ,即這五個數中至即這五個數中至少有下個大于或等于少有下個大于或等于1/5.1/5.心動 不如行動成功者的搖籃 隋堂練習隋堂練習P91.用反證法證明：用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角一個三角形中不能有兩個角是直角已知：已知：ABC求證：求證：A、B、C中不能有兩個角是直角中不能有兩個角是直角證明：證明：假設假設A、B、C中有兩個角是直角中有兩個角是直角，不妨設不妨設A=B=90，則，則A+B+C=90+90+C180這與三角形內角和定理矛盾，這與三角形內角和定理

16、矛盾，所以所以A=B=90不成立不成立所以一個三角形中不能有兩個角是直角所以一個三角形中不能有兩個角是直角2. 用反證法證明用反證法證明:在一個三角形中在一個三角形中,至少有一個內至少有一個內角小于或等于角小于或等于60證明證明: 假設假設A ,B, CA ,B, C是是ABCABC的三個內角的三個內角, , 且都大于且都大于6060, , 則則A 60A 60,B 60,B 60, C 60, C 60, , A+B+C180 A+B+C180; ;這與三角形的內角和是這與三角形的內角和是180180定理矛盾定理矛盾假設不成立假設不成立在一個三角形中在一個三角形中,至少有一個內角小于或等于至

17、少有一個內角小于或等于60. 隋堂練習隋堂練習P9成功者的搖籃知識要點知識要點: :結論結論3:等腰三角形兩底角的平分線相等等腰三角形兩底角的平分線相等.定理定理:有兩個角相等的三角形是等腰三角形有兩個角相等的三角形是等腰三角形. 簡稱簡稱:等角對等邊等角對等邊.結論結論4:等腰三角形兩腰的高線、中線分別相等等腰三角形兩腰的高線、中線分別相等.反證法反證法認識你嗎認識你嗎? ?回味無窮 理解證明的理解證明的必要性必要性和和規(guī)范性規(guī)范性. 理解幾何命題證明的理解幾何命題證明的方法方法,步驟步驟,格式格式及及注意事注意事項項. 你對你對“執(zhí)果索因執(zhí)果索因”,“,“由因導果由因導果”理解與運用理解與運用有何進步有何進步. 規(guī)范性