1、1“余弦定理”教學(xué)設(shè)計揚中市第二高級中學(xué)劉美蘭教學(xué)目標(biāo)：（1）掌握余弦定理，并能解決一些簡單的度量問題.（2） 初步運用余弦定理解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題（3） 經(jīng)歷余弦定理的發(fā)現(xiàn)與驗證過程，增強學(xué)生的理性思維能力 教學(xué)重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)與運用.教學(xué)難點：余弦定理的證明.課前準(zhǔn)備：（1）自制一個如圖所示的道具.（2） 課前，教者在黑板上畫好如圖所示的三個三角形.教學(xué)過程：一、情境創(chuàng)設(shè)提出問題1情境引入師:首先請看兩個實際問題：情境1 A, B兩地之間隔著一座小山，現(xiàn)要測量A、B之間即將修建的一條直的隧道的 長度.另選一個點C,可以測得的數(shù)據(jù)有：AC 182m, BC 126m,

2、ACB 630，如何求A、B兩地之間隧道的長度（精確到1m）.B情境2 一位工人欲做一個三角形的支架.已知桿BC的長度為6分米,DAE是由一根直 的鋼管沿著點A彎折而成.若彎折點A與焊接點B,C的距離分別為4分米和5分米，欲彎折 后桿BC恰好能與兩焊接點相接，則彎折后/ BAC勺大小是多少（精確到0.1度）？2提出問題師:顯然，這兩個都是解三角形的問題.其中，情境1的實質(zhì)是知道了三角形的兩邊與其夾角，求第三邊的長度；而情境2的實質(zhì)就是已知三角形的三條邊，要求其一個內(nèi)角的大小請問：(1)這兩個問題能用正弦定理來解決嗎？生：不能.(2)那么，這兩個問題之間有聯(lián)系嗎？生：互逆.師:對,在解法上是互逆

3、的,所以本節(jié)課我們將要探究的核心問題是：在已知三角形兩條 邊的前提下，其夾角的大小與第三條邊的長度之間有著怎樣的關(guān)系？這正是余弦定理所揭示的規(guī)律-引入課題.二、問題探究知識建構(gòu)問題1 在 ABC中，已知CB a,CA b (其中a b),當(dāng) C從小到大變化時，AB的長度的變化趨勢如何？師:(學(xué)生思考了一會兒后)我們可以用一個簡單的實驗看一下 (課上，利用課前制作道具做一下演示實驗.)生：AB的長度隨著 C的增大而增大.師：這是一個定性的結(jié)論.那么對于定量的研究，一個常用的思維策略是特殊化.取C=900是最容易想到的；另外，雖然角C不能取0o與1800,但它可以無限接近這兩個角,所以不妨再考察一

4、下這兩種情形續(xù)問：若將 C的范圍擴大到00,1800,特別地：當(dāng)C 00, C 900, C 1800這三種特殊情形時，AB的長度分別是多少？生：當(dāng) C 00 時，AB a b ;當(dāng) C 900 時，AB Ja2 b2 ;當(dāng) C 1800 時，AB a b.師:我們不妨把這三個結(jié)論在形式上寫得更接近些，即：當(dāng) C 0° 時，AB ，a2 b2 2ab 1,當(dāng) C 900時,AB Ja2 b2 2ab 0,當(dāng) C 1800時,AB Ja2 b2 2ab ( 1).問題2請你根據(jù)上述三個特例的結(jié)果，試猜想：當(dāng)C (001800)時，線段AB的長度是多少？(在學(xué)生獨立思考的基礎(chǔ)上，小組討論

5、交流后請學(xué)生回答)生：ABa2 b2 2abcos .問題3你能驗證Ig猜想嗎？請試一試.(課上,利用課前畫好的三張圖進(jìn)行討論.先讓學(xué)生獨立思考一會兒，然后根據(jù)學(xué)生回答 的情況進(jìn)行講解，至少討論下列前兩種方法.)方法一：證：(1)當(dāng) C為銳角時，過點A作AD BC于D.則 AB2 BD2 AD2 (a bcos )2 (bsin )2 =a2 b2 2abcos(2)當(dāng)C 為直角時,結(jié)論顯然成立.當(dāng) C為鈍角時，過點A作AD BC交BC的延長線于D.則 AB2 BD2 AD2 (a bcos( )2 (bsin( )2 222.2(a bcos ) (bsin ) =ab 2abcos .綜上

6、所述,均有AB Va2b22abcos ,故猜想成立.師:這種思路是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來計算 AB的長，但要注意這里要分三種 情況討論.方法二：證：因為AB AC CB,所以W2IiAC2 CB2 2AC CB a2 b2 2abcos( ) a2 b2 2abcos ,即 AB aa b2abcos ,故猜想成立.師:這種方法的思路是構(gòu)造向量，借助向量的運算來證題.將向量等式轉(zhuǎn)化數(shù)量等式常 用的手段是作數(shù)量積.方法三：證：以C為坐標(biāo)原點,CB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.貝U B(a,0), A(b cos ,bsin )，則 BA (bcos a, bsin ),所以| A

7、B |2 (bcos a)2 (bsin 0)2 = a2 b2 2abcos ,即 AB | AB | Va2b2_2abcos ,故猜想成立.師：這種思路是建立平面直角坐標(biāo)系，借助于坐標(biāo)運算來證題.利用坐標(biāo)法的優(yōu)點在于不必分類討論了且運算簡單.當(dāng)然，我們還可以從其它途徑來驗證這一猜想，這里就不再討論了，有興趣的同學(xué)課后 我們可以作些交流.問題4在三角形中，如何用符號語言與文字語言表示出上述結(jié)論？(提示:根式的表示形式不如平方的形式來得美觀.)2 c生:符號語言:在ABC，有a22 ab22 ab22 c2 c2abcosC, 2bccos A, 2accosB.b23文字語言：三角形任何一

8、邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余 弦的積的兩倍.師:很好！這一結(jié)論我們稱之為余弦定理，上述三個公式是余弦定理的一種表現(xiàn)形式.問題5如何根據(jù)三角形三條邊的長度來求其內(nèi)角的大小呢？2.22.22222 入2生：將上述結(jié)論變形為：cosC a-b ,cosA b一c ,cosB a一c.2ab2bc2ac師:這是余弦定理的另一種表現(xiàn)形式.對于余弦定理的這兩種形式，我們在解題中應(yīng)該 靈活地加以選用.感悟：(1)在第一組式子中，當(dāng)C=90°時，即有c2 a2 b2.所以，勾股定理是余弦定理的特殊情形，余弦定理可以看做是勾股定理的推廣.(2)在第二組式子中，我們考察式子左右兩

9、邊的符號，不難發(fā)現(xiàn)：在AABC, C為銳角a2b2c2;C為直角a2b2c2;C為鈍角a2b2c2.師:也就是說，在三角形中，要判斷一個內(nèi)角是什么角，只要看它的對邊的平方與其它兩 邊平方的和的大小.三、數(shù)學(xué)應(yīng)用深化理解例 1 在 ABC中，已知 b=3,c=1,A=60 ° ,求 a.解析：由余弦定理，得 a2 b2 c2 2bc cos A 32 12 2 3 1 cos600 7,所以 a J7 .問：在此條件下，其它元素可求嗎？反思:(1)利用余弦定理，可以解決“已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角” 的問題.(2)用余弦定理求邊的長度時，切記最后的結(jié)果要開平方.師：情境

10、1就是這種類型的問題，我們也不妨看一下解答.情境1:A,B兩地之間隔著一座小山，現(xiàn)要測量A、B之間即將修建的一條隧道的長度 另選一個點C,可以測得的數(shù)據(jù)有：AC=182m,BC=126牝ACB=63，如何求A,B兩地之間隧道 的長度(精確到1m).解析：在 ABC中，因為AC 182m,BC 126m, ACB 630,則由余弦定理，得_2_2222_ _AB AC BC 2AC BC cos ACB 1821262 182 126cos631822 1262 2 182 126 0.454 28177.15 ,所以 AB 168m.答:A, B兩地之間隧道的長度約為168m.例 2 在 AB

11、C 中，已知 a=7,b=5,c=3,求 A.h222 A2 o2 彳？解析：由余弦定理，得cos A b c a5-2bc 253所以 A=120°.問：在此條件下,其它兩個角可求嗎？眾生：可求.反思：(1)利用余弦定理，可以解決“已知三邊，求三個角”的問題.師:情境2就是這種類型的問題，我們不妨看一下解答.情境2: 一位工人欲做一個三角形的支架.已知桿BC的長度為6分米,DAE是由一根直 的鋼管沿著點A彎折而成.若彎折點A與焊接點B,C的距離分別為4分米和5分米，欲彎折 后桿BC恰好能與兩焊接點相接，則彎折后/ BAC勺大小是多少(精確到0.1度)？解析：在ABC中，因為c 4,

12、b 5,a 6,則由余弦定理，得,222八 b c acos A 2,2-25462bc0.125,所以 A 82.80 ;答：彎折后，BAC 82.80.反思:(2)利用余弦定理解決實際問題，解題的關(guān)鍵是建立出相應(yīng)的三角形的模型.同時, 要注意最后結(jié)果的精確度的要求.變式:(1)在4ABC中，已知a2+b2+ab=c2,求角C的大小.2.22.4解析：由 a2+b2+ab=c,得 a2 b2 c2ab ,貝U 一 ,即 cosC 一 ,2ab 2ab 22所以C 1200.反思:(3)在解三角形時，由邊的條件式求角時，別忘了余弦定理；同時要注重余弦定理 的逆用.變式:(2)若三條線段白長分別

13、為5,6,7,則用這三條線段().A.能組成直角三角形B.能組成銳角三角形C.能組成鈍角三角形D.不能組成三角形解析：首先因為兩條小邊之和大于第三邊，所以能夠組成三角形；接著，只要看最大的角是什么角.因為52 62 72,所以最大角為銳角，故這三條線段能組成銳角三角形.思考:(1)若用長為5,6,x的三條線段構(gòu)成的三角形是鈍角三角形，則正數(shù)x的取值范圍 是.(2)在 ABC 中，已知 a +c =2b,求證:B045° .x 6x 6解析:(1)由 x56或 5x6，解得病x 11或1 x而. 222222x 566 x51(2)要證：B <60 ,只要證：cosB -.一 _

14、 1而cosB -2所以cosB22,2cab2ca11,故 B< 60222 /C a.2C a -1_3c22Ca 2223a 6ca 3(c a) 08ca8ca四、思維提升鞏固拓展1課堂小結(jié)數(shù)學(xué)知識-本節(jié)課新學(xué)的數(shù)學(xué)知識只有余弦定理 .余弦定理與正弦定理是三角形中 的兩朵奇葩，從形式上看，兩者都具有“美觀”的外形，余弦定理雖有多個表達(dá)式，但它們之 間具有可以輪換的對稱美；從本質(zhì)上看，兩者都揭示了三角形中邊與角之間“美妙”的內(nèi)在 聯(lián)系.在解三角形的問題中，“已知三個元素”包括了 “三條邊，兩角一邊，兩邊一角”這三種 情況，前面學(xué)習(xí)的正弦定理能夠解決已知“兩角與任一邊”以及“兩邊與其中一邊的對角”這兩類問題；今天學(xué)習(xí)的余弦定理又能夠解決已知“三邊”以及“兩邊及其夾角”的這兩類問題.這樣,對于一般的解三角形問題，我們就都能找到解決的辦法了 .當(dāng)然，對于一些較 為復(fù)雜的三角形問題，往往還要把這兩個定理聯(lián)合起來解決問題.思維啟迪-從本節(jié)課的討論與研究中，我們獲得了以下的一些思維啟迪：(1)本節(jié)課上，對于余弦定理的發(fā)現(xiàn)，我們是從三個特例開始的，這遵循了 “從特殊到一 股”的思維策略.(2)在三個特例的基礎(chǔ)上，我們進(jìn)行了大膽的猜想，所以合理