1、臨泉縣匯英中學(xué)臨泉縣匯英中學(xué) 閆東閆東 2013.12.31 第第15章章 軸對(duì)稱圖形與等腰三角形軸對(duì)稱圖形與等腰三角形 （復(fù)習(xí)題教材（復(fù)習(xí)題教材P149-153）滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)第滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)第15章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形復(fù)習(xí)題章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形復(fù)習(xí)題1.已知：點(diǎn)已知：點(diǎn)A(a，b)與點(diǎn)與點(diǎn)B(c,d).（1）如果點(diǎn)）如果點(diǎn)A,B關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱，那么軸對(duì)稱，那么a,b,c,d應(yīng)滿足什么應(yīng)滿足什么條件？條件？（2）如果點(diǎn)）如果點(diǎn)A,B關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱，那么軸對(duì)稱，那么a,b,c,d應(yīng)滿足什么應(yīng)滿足什么條件？條件？答：（答：（1）a=-c,b=d. （2）a=c,b=-d.2.直線直

2、線 與直線與直線y=2x關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱，寫(xiě)出直線軸對(duì)稱，寫(xiě)出直線 所表所表示的函數(shù)表達(dá)式示的函數(shù)表達(dá)式.ll答：答：y=-2x3.已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，BAC=90，AC=2AB,點(diǎn)點(diǎn)D是是AC的中點(diǎn)的中點(diǎn).EAD為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，AED=90.試猜想線段試猜想線段BE和和EC的關(guān)系，并證明你的猜想的關(guān)系，并證明你的猜想.CBDAE猜想：猜想：BE=EC, BEEC.證明：證明：AC=2AB,點(diǎn)點(diǎn)D是是AC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， AB=DC,又又EAD為等腰直角三角形，為等腰直角三角形，AE=DE, EAD=EDA=45，CDE=135BAC=90，BAE=B

3、AC+EAD=135，BAE=CDE,在在ABE和和DCE中中 AB=DC BAE=CDE AE=DEABE DCEBE=EC, AEB=DEC,AED=90,BEC=90,BEEC.4.已知：已知：ABC中，中，AB=AC,AD是是BC邊上中線，邊上中線，AB的的垂直平分線交垂直平分線交AD于點(diǎn)于點(diǎn)O,B的平分線交的平分線交AD于點(diǎn)于點(diǎn).求證：（求證：（1）OA=OB=OC; （2）點(diǎn)）點(diǎn)到到BC,CA,AB的距離相等的距離相等.ODCBAEGF證明：（證明：（1）OG是是AB的垂直平分線，的垂直平分線，OA=OB,又又AB=AC,AD是是BC邊上的中線，邊上的中線，AD是是BC邊的垂直平分

4、線，邊的垂直平分線，點(diǎn)點(diǎn)O在在AD上，上，OB=OC,OA=OB=OC.（2）AB=AC,AD是是BC邊上的中線，邊上的中線，AD是是BAC的平分線，又是的平分線，又是BC邊上的高，邊上的高，OB平分平分ABC,EAB,FAC,E=F=D,即：即：點(diǎn)到點(diǎn)到BC,CA,AB的距離相等的距離相等.5.已知：如圖，已知：如圖，AD是是ABC的角平分線，的角平分線，DEAB,DFAC,點(diǎn)點(diǎn)E,F為垂足為垂足.求證：求證：AD垂直平分垂直平分EF.BCDFEA證明：證明：AD是是BAC的角平分線，的角平分線， DEAB,DFAC,EAD=FAD, AED=AFD=90，在在AED和和AFD中，中， EA

5、D=FAD, AED=AFD， AD=AD,AED AFD,AE=AF,DE=DF,點(diǎn)點(diǎn)A,D都在都在EF的垂直平分線上，的垂直平分線上，AD垂直平分垂直平分EF.O6.已知：如圖，已知：如圖，ABC是等邊三角形，是等邊三角形，BD是中線是中線.點(diǎn)點(diǎn)E在在BC的延長(zhǎng)線上，使的延長(zhǎng)線上，使CE=CD. 求證：求證：DB=DE.ECBDA證明：證明：ABC是等邊三角形，是等邊三角形，ABC=ACB=60，BD是中線是中線.BD又是又是ABC的平分線，的平分線，DBC=30，CE=CD,E=CDE,又又ACB=E+CDE=60，E=30，DBC=E,DB=DE.7.求證：有兩條高相等的三角形是等腰三

6、角形求證：有兩條高相等的三角形是等腰三角形.已知：如圖，已知：如圖，ABC中，中，BD,CE分別是分別是AC,AB邊上的高，邊上的高，且且BD=CE. 求證：求證：ABC是等腰三角形是等腰三角形.DECBA證明：證明：BD,CE分別是分別是AC,AB邊上的高，邊上的高，ADB=AEC=90，在在ABD和和ACE中，中， A=A, ADB=AEC, BD=CE,ABD ACE,AB=AC,ABC是等腰三角形是等腰三角形.8.已知：如圖，已知：如圖，ABC中，中，AD是是BC邊上的高，邊上的高，AB=AC,BAC=120，垂足分別是垂足分別是E,F.求證：求證：DE+DF= BC.FEBCDA證明

7、：證明：AB=AC,B=C,BAC=120，B=C=30，又又DEAB,DFAC,DE=BD,DF=DC,DE+DF=BD+DC=BC.21 9.已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC,A=120，AC的垂直平分線的垂直平分線EF交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)E,交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)F.求證：求證：BF=2CF.FEBCA證明：連接證明：連接AF,AB=AC,B=C,A=120，B=C=30，EF是是AC的垂直平分線，的垂直平分線，AF=CF,FAC=C=30，BAF=90，BF=2AF,BF=2CF.10.已知：如圖，已知：如圖，ADDE,BEDE,AC,BC分別平分分別平分DAB,ABE,點(diǎn)點(diǎn)

8、C在線段在線段DE上上.求證：求證：AB=AD+BE.DBECAF證明：過(guò)證明：過(guò)C作作CFAB,垂足為垂足為F,又又AD,CEBE, AC平分平分DAB,BC平分平分ABE,CD=CF=CE,在在RtACD和和RtACF中，中， AC=AC, CD=CF,RtACD RtACF,AF=AD,在在RtBCE和和RtBCF中，中， BC=BC, CE=CF,RtBCE RtBCF,BF=BE,AB=AF+BF=AD+BE.11.已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，A=90，AB=AC,點(diǎn)點(diǎn)D在在BC上，上，BD=AB,作作DEBC,點(diǎn)點(diǎn)E在邊在邊AC上上.求證：（求證：（1）BE平分平分A

9、BC;（2）AE=ED=DC.CDEAB證明：證明：(1)在在RtABE和和RtDBE中，中， BE=BE, AB=DB,RtABE RtDBE,ABE=DBE,BE平分平分ABC;(2)A=90，AB=AC,C=45，又又DEBC,DEC=C=45，ED=DC,RtABE RtDBE,AE=ED,AE=ED=DC.12.已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，以它的邊中，以它的邊AB,AC為邊，為邊，分別在形外作等邊三角形分別在形外作等邊三角形ABD,ACE,連接連接BE,DC.求證：求證：BE=DC.EDCBA證明：證明：ABD和和ACE都是等邊都是等邊三角形，三角形，AB=AD,AE=AC

10、,BAD=CAE=60，BAE=DAC,在在ABE和和ADC中，中， AB=AD, BAE=DAC, AE=AC,ABE ADC,BE=DC.13.已知：如圖，線段已知：如圖，線段CD與與AOB,通過(guò)作圖求一點(diǎn)通過(guò)作圖求一點(diǎn)P,使使PC=PD,并且點(diǎn)并且點(diǎn)P到到AOB兩邊的距離相等兩邊的距離相等.OBDCA14.已知：如圖，已知：如圖，RtABC中，中，C=90，沿過(guò)點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)B的的一條直線一條直線BE折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C與邊與邊AB上的點(diǎn)上的點(diǎn)D重合重合.要使要使D恰好為恰好為AB的中點(diǎn)，問(wèn)還需增加一個(gè)什么條的中點(diǎn)，問(wèn)還需增加一個(gè)什么條件？說(shuō)明你增加的條件及依據(jù)件？說(shuō)明

11、你增加的條件及依據(jù).ABDEC可以增加：可以增加：A=30或或BC=AB,或或ABC=60，或，或ABC=2A.理由：理由：C=90，A=30，BC=AB,由折疊可知由折疊可知BC=BD=AB,D為為AB的中點(diǎn)的中點(diǎn).1.根據(jù)下列點(diǎn)的坐標(biāo)的變化，判斷它們進(jìn)行了怎樣的變根據(jù)下列點(diǎn)的坐標(biāo)的變化，判斷它們進(jìn)行了怎樣的變換？換？（1） （-3，-1） （ 3，-1）；）；（2） （-5, 6） （-5， 1）；）；（3） （ 4， 3） （ 4，-3）；）；（4） （ 2， -3） （ 3，-2）.答答;：(1)關(guān)于關(guān)于y軸軸對(duì)稱（或沿對(duì)稱（或沿x軸軸方向向右平移方向向右平移6個(gè)單位）個(gè)單位）.(2)

12、沿沿y軸軸方向向下平移方向向下平移5個(gè)單位個(gè)單位(或或關(guān)于直線關(guān)于直線y=3.5x對(duì)稱對(duì)稱).(3)關(guān)于關(guān)于x軸軸對(duì)稱（或沿對(duì)稱（或沿y軸軸方向向下平移方向向下平移6個(gè)單位）個(gè)單位）.(4)關(guān)于直線關(guān)于直線y=-x對(duì)稱（或先沿對(duì)稱（或先沿x軸軸方向向右平移方向向右平移1個(gè)單位，個(gè)單位，再沿再沿y軸軸方向向上平移方向向上平移1個(gè)單位）個(gè)單位）.2. BD是是ABC的角平分線，的角平分線，BD的垂直平分線交的垂直平分線交CA的的延長(zhǎng)線于點(diǎn)延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.求證：求證：EAB=EBC.EDCBA證明：證明：E在在BD的垂直平分線上，的垂直平分線上，EB=ED,EBD=EDB,BD平分平分ABC,ABD=

13、DBC,又又EAB=EDB+ABD, EBC=EBD+DBC,EAB=EBC3.已知：已知：O是線段是線段AB的中點(diǎn)，直線的中點(diǎn)，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,點(diǎn)點(diǎn)C,D在在直線直線MN上，上，1=2=45.（1）若點(diǎn)）若點(diǎn)C與點(diǎn)與點(diǎn)O重合重合圖圖(1),請(qǐng)直接寫(xiě)出請(qǐng)直接寫(xiě)出AC與與BD的數(shù)的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）若點(diǎn)）若點(diǎn)C,D不重合不重合圖圖(2),求證：求證：AC=BD,ACBD.CONANMDO(C)BAMDB2112（1）AC=BD, ACBD.3.已知：已知：O是線段是線段AB的中點(diǎn)，直線的中點(diǎn)，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,點(diǎn)點(diǎn)C,D在在直線直線MN上，上，1=2=45

14、.（2）若點(diǎn)）若點(diǎn)C,D不重合不重合圖圖(2),求證：求證：AC=BD,ACBD.CONAMDB21E證明：過(guò)證明：過(guò)B作作BE/AC,交交MN于點(diǎn)于點(diǎn)E,A=OBE,又又O是線段是線段AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，OA=OB,在在OAC和和OBE中，中， A=OBE, AOC=BOE, OA=OB,OAC OBE,AC=BE,OCA=OEB,1=BEDBED=21=2=45，2=BED=45，BE=BD,DBE=90，AC=BD,BEBDBE/AC,ACBD4.已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，ACB=90，D,E是邊是邊AB上的兩點(diǎn)，且上的兩點(diǎn)，且AD=AC,BE=BC. 求證：求證：DCE

15、=45.ACEDB證明：證明：AD=AC,BE=BC,ACD=ADC,BEC=BCE,又又A+ACD+ADC=180， B+BEC+BCE=180，A+2ACD=180，B+2BCE=180，A+B+2ACD+2BCE=360，A+B+2ACD+2BCD+2DCE=360，A+B+2ACB+2DCE=360，又又ACB=90,A+B+ACB=180，2DCE=90，DCE=45.5.已知：如圖，點(diǎn)已知：如圖，點(diǎn)D在等邊三角形在等邊三角形ABC的邊的邊AC上，點(diǎn)上，點(diǎn)E在邊在邊AB的延長(zhǎng)線上，使的延長(zhǎng)線上，使BE=CD,DE交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)P.求證求證:PD=PE.ABEPDCF證明：過(guò)證明：過(guò)

16、D作作DF/AB交交BC于于F,CDF=A,CFD=CBA, FDP=E,又又ABC是等邊三角形，是等邊三角形，A=CBA=C=60，C=CDF=CFD,CDF是等邊三角形，是等邊三角形，CD=FD,BE=CD,FD=BE,在在FDP和和BEP中，中， FDP=E, DPF=EPB, FD=BE,FDP BEP,PD=PE.6.（1）已知：如圖（）已知：如圖（1），在），在ABC中，中，ABC,ACB的平分線交于點(diǎn)的平分線交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)O的直線的直線DE/BC,DE分別與分別與AB,AC交于點(diǎn)交于點(diǎn)D,E.求證：求證：BD+CE=DE.CBEODA(1)證明：證明：DE/BC,DOB=OB

17、C,EOC=OCB,又又OB平分平分ABC,OC平分平分ACB,OBD=OBC,OCE=OCB,DOB=OBD,EOC=OCE,BD=DO,CE=OE,BD+CE=DO+OE,BD+CE=DE.（2）將（）將（1）題條件）題條件“ACB的平分線的平分線”改為改為“ACB的外角平分線的外角平分線”，如圖（，如圖（2）所示）所示.原來(lái)的關(guān)系式原來(lái)的關(guān)系式BD+CE=DE還成立嗎？如果不成立，你能推斷出還成立嗎？如果不成立，你能推斷出BD,CE,DE存存在的數(shù)量關(guān)系式嗎？請(qǐng)證明你的推斷在的數(shù)量關(guān)系式嗎？請(qǐng)證明你的推斷.CBOEDA答：答：不成立不成立.BD-CE=DE.證明：證明：DE/BC,DOB

18、=OBC,EOC=OCF,OB平分平分ABC,OC平分平分ACF,OBD=OBC,OCE=OCF,DOB=OBD,EOC=OCE,BD=DO,CE=OE,BD-CE=DO-OE,BD-CE=DE.F1.已知：等腰三角形已知：等腰三角形ABC中，中，AB=AC.（1）P為底邊為底邊BC上任一點(diǎn)，自點(diǎn)上任一點(diǎn)，自點(diǎn)P向兩腰作垂線向兩腰作垂線PE,PF,點(diǎn)點(diǎn)E,F為垂足為垂足.求證：求證：PE+PF等于定值；等于定值；（2）若點(diǎn)）若點(diǎn)P在底邊在底邊BC延長(zhǎng)線上時(shí)，情況如何？延長(zhǎng)線上時(shí)，情況如何？FEPBAC證明：連接證明：連接AP,設(shè)腰上的高為設(shè)腰上的高為h1,由由SABC=SPAB+SPAC,得得

19、 ABPE+ACPF=ABh1.又又AB=AC, PE+PF=h1.故，故，PE+PF等于定值等于定值.1.已知：等腰三角形已知：等腰三角形ABC中，中，AB=AC.（1）P為底邊為底邊BC上任一點(diǎn)，自點(diǎn)上任一點(diǎn)，自點(diǎn)P向兩腰作垂線向兩腰作垂線PE,PF,點(diǎn)點(diǎn)E,F為垂足為垂足.求證：求證：PE+PF等于定值；等于定值；（2）若點(diǎn)）若點(diǎn)P在底邊在底邊BC延長(zhǎng)線上時(shí)，情況如何？延長(zhǎng)線上時(shí)，情況如何？FEPCBA證明：連接證明：連接AP,設(shè)腰上的高為設(shè)腰上的高為h1,由由SABC=SPAB-SPAC,得得 ABPE-ACPF=ABh1.又又AB=AC, PE-PF=h1.故，故，PE-PF等于定值等于定值.如果，如果，點(diǎn)點(diǎn)P在底邊在底邊CB延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)線上時(shí)，有有PF-PE=h1.2.已知：等邊三角形已知：等邊三角形ABC.（1）P為為ABC內(nèi)任一點(diǎn)，自點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)，自點(diǎn)P向三邊作垂線向三邊作垂線PD,PE,PF,點(diǎn)點(diǎn)D,E,F為垂足為垂