1、非線性曲線擬合非線性曲線擬合回歸的操作步驟：回歸的操作步驟：(1)根據(jù)圖形（實(shí)際點(diǎn)），根據(jù)圖形（實(shí)際點(diǎn)），選配一條恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)形選配一條恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)形式式（類型）（類型）-需要數(shù)學(xué)理論與基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)。（并需要數(shù)學(xué)理論與基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)。（并寫出該函數(shù)表達(dá)式的一般形式，含待定系數(shù)）寫出該函數(shù)表達(dá)式的一般形式，含待定系數(shù)）(2)選用某條回歸命令求出所有的待定系數(shù)選用某條回歸命令求出所有的待定系數(shù)所以可以說，回歸就是所以可以說，回歸就是求待定系數(shù)求待定系數(shù)的過程（需的過程（需確定函數(shù)的形式）確定函數(shù)的形式）非線性曲線擬合非線性曲線擬合配曲線的一般方法是：配曲線的一般方法是：（一）先對(duì)兩個(gè)變量（一）先對(duì)兩個(gè)變量x

2、和和y 作作n次試驗(yàn)觀察得次試驗(yàn)觀察得(xi,yi),i=1,2,n畫出散點(diǎn)圖。畫出散點(diǎn)圖。（二）根據(jù)散點(diǎn)圖確定須配曲線的類型。（二）根據(jù)散點(diǎn)圖確定須配曲線的類型。通常選擇的六類曲線如下：通常選擇的六類曲線如下：（1）雙曲線）雙曲線 1/y=a+b/x（2）冪函數(shù)曲線）冪函數(shù)曲線y=axb , 其中其中x0,a0（3）指數(shù)曲線）指數(shù)曲線y=aebx其中參數(shù)其中參數(shù)a0.（4）倒指數(shù)曲線）倒指數(shù)曲線y=aeb/x 其中其中a0，（5）對(duì)數(shù)曲線）對(duì)數(shù)曲線y=a+blogx,x0（6）S型曲線型曲線 y=1/(a+be-x)（三）然后由（三）然后由n對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定每一類曲線的未知參數(shù)對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定每

3、一類曲線的未知參數(shù)a和和b。非線性曲線擬合非線性曲線擬合一、一元多次擬合：一、一元多次擬合： polyfit(x,y,n)二、多元非線性回歸二、多元非線性回歸 regress、 nlinfit、 lsqcurvefitlsqcurvefit、 fminsearch fminsearch lsqnonlinlsqnonlin、求解線性方程組、求解線性方程組/格式為格式為：p=polyfit(x,y,n)p=polyfit(x,y,n)其中其中 x x和和y y為原始的樣本點(diǎn)構(gòu)成的向量為原始的樣本點(diǎn)構(gòu)成的向量 n n為選定的多項(xiàng)式階次為選定的多項(xiàng)式階次 p p為多項(xiàng)式系數(shù)按降冪排列得出的行向量為多

4、項(xiàng)式系數(shù)按降冪排列得出的行向量 Y=polyval(p,x)Y=polyval(p,x) 求求polyfitpolyfit所得的回歸多項(xiàng)式在所得的回歸多項(xiàng)式在x x處的預(yù)測(cè)值處的預(yù)測(cè)值Y Y非線性曲線擬合非線性曲線擬合 命令命令已知某函數(shù)的線性組合為：已知某函數(shù)的線性組合為：g(x)=c1f1(x)+c2f2(x)+c3f3(x)+cnfn(x)其中其中f1(x),f2(x),fn(x) 為已知函數(shù)，為已知函數(shù)，c1,c2,cn為待定系數(shù)。假為待定系數(shù)。假設(shè)已經(jīng)測(cè)出（設(shè)已經(jīng)測(cè)出（x1,y1）,(x2,y2),.,(xm,ym)則可以建立如下線性則可以建立如下線性方程。方程。其中其中)()()(

5、)()()()(.)()(212222111211MnMMnnxfxfxfxfxfxfxfxfxfAMyyyy21Tncccc21該方程的最小二乘解為該方程的最小二乘解為 c=Ay非線性曲線擬合非線性曲線擬合x xi i0 00.20.20.40.40.70.70.90.90.920.920.990.991.21.21.41.41.481.481.51.5y yi i2.882.882.262.261.971.971.931.932.092.092.112.112.22.22.542.542.962.963.163.163.213.21例：例：假設(shè)測(cè)出一組（假設(shè)測(cè)出一組（xi,yi）,已知函數(shù)

6、原型為已知函數(shù)原型為y(x)=c1+c2e-3x+c3cos(-2x)e-4x+c4x2用已知數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)用已知數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)ci的值。的值。 程序運(yùn)行過程：程序運(yùn)行過程： x=0 0.2 0.4 0.7 0.9 0.92 0.99 1.2 1.4 1.48 1.5; y=2.88 2.26 1.97 1.93 2.09 2.11 2.2 2.54 2.96 3.16 3.21; A=ones(size(x),exp(-3*x),cos(-2*x).*(-4*x),x.2; c=Ay; c1=cc1 = 1.2686 1.6356 -0.0289 0.9268非線性曲線擬合非線性曲線擬合

7、使用格式：使用格式： b=或或b, bint, r, rint, stats=regress(y, x)或或regress(y, x, alpha) -命令中是先命令中是先y后后x, -須構(gòu)造好矩陣須構(gòu)造好矩陣x(x中的每列與目標(biāo)函數(shù)的一項(xiàng)對(duì)應(yīng)中的每列與目標(biāo)函數(shù)的一項(xiàng)對(duì)應(yīng))-并且并且x要在最前面額外添加全要在最前面額外添加全1列列/對(duì)應(yīng)于常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)于常數(shù)項(xiàng)-y必須是列向量必須是列向量-結(jié)果是從常數(shù)項(xiàng)開始結(jié)果是從常數(shù)項(xiàng)開始-與與polyfit的不同。）的不同。）b為回歸系數(shù)為回歸系數(shù) 的估計(jì)值的估計(jì)值(第一個(gè)為常數(shù)項(xiàng)第一個(gè)為常數(shù)項(xiàng))bint為回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)為回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)r: 殘差殘差

8、rint: 殘差的置信區(qū)間殘差的置信區(qū)間stats: 用于檢驗(yàn)回歸模型的統(tǒng)計(jì)量，有四個(gè)數(shù)值：相關(guān)系數(shù)用于檢驗(yàn)回歸模型的統(tǒng)計(jì)量，有四個(gè)數(shù)值：相關(guān)系數(shù)r2、F值、與值、與F對(duì)應(yīng)的概率對(duì)應(yīng)的概率p和殘差的方差（前兩個(gè)越大越好，和殘差的方差（前兩個(gè)越大越好，后兩個(gè)越小越好）后兩個(gè)越小越好）alpha: 顯著性水平（缺省時(shí)為顯著性水平（缺省時(shí)為0.05，即置信水平為，即置信水平為95%）其中：其中：顯著性顯著性(Significance)首次由首次由Fisher在在 假設(shè)性實(shí)驗(yàn)中提出假設(shè)性實(shí)驗(yàn)中提出.假假設(shè)檢驗(yàn)中有兩種錯(cuò)誤設(shè)檢驗(yàn)中有兩種錯(cuò)誤: 拒真和納偽拒真和納偽.顯著性檢驗(yàn)僅考慮顯著性檢驗(yàn)僅考慮發(fā)生拒

9、發(fā)生拒真錯(cuò)誤的概率真錯(cuò)誤的概率,也就是考慮原假設(shè)的也就是考慮原假設(shè)的Significance的程度，的程度，把把拒真的概率控制在提前所給定的閾值拒真的概率控制在提前所給定的閾值alpha之下之下，來考慮檢，來考慮檢驗(yàn)原假設(shè)是否正確驗(yàn)原假設(shè)是否正確非線性曲線擬合非線性曲線擬合1）相關(guān)系數(shù)）相關(guān)系數(shù)r2越接近越接近1，說明回歸方程越顯著；，說明回歸方程越顯著；(r2越越大越接近大越接近1越好越好)2）F越大，說明回歸方程越顯著；（越大，說明回歸方程越顯著；（F越大越好）越大越好）與與F對(duì)應(yīng)的概率對(duì)應(yīng)的概率p越小越好，一定要越小越好，一定要P x=0 0.2 0.4 0.7 0.9 0.92 0.9

10、9 1.2 1.4 1.48 1.5; y=2.88 2.26 1.97 1.93 2.09 2.11 2.2 2.54 2.96 3.16 3.21; A=ones(size(x),exp(-3*x),cos(-2*x).*(-4*x),x.2; b,brint,r,rint,stats=regress(y,A)；程序程序非線性曲線擬合非線性曲線擬合運(yùn)行結(jié)果運(yùn)行結(jié)果b = 1.2686 1.6356 -0.0289 0.9268brint = 1.0534 1.4838 1.4082 1.8631 -0.1182 0.0605 0.5877 1.2659r = -0.0242 0.0354

11、0.0283 -0.0068 -0.0156 -0.0183 -0.0154 -0.0057 0.0027 0.0102 0.0094rint = -0.0329 -0.0156 0.0001 0.0707 -0.0150 0.0716 -0.0513 0.0378 -0.0670 0.0357 -0.0692 0.0326 -0.0670 0.0362 -0.0461 0.0347 -0.0460 0.0513 -0.0359 0.0562 -0.0315 0.0503stats = 1.0e+03 * 0.0010 1.4774 0.0000 0.0000非線性曲線擬合非線性曲線擬合使用格

12、式：使用格式： beta = nlinfit(x,y, 程序名程序名,beta0) beta,r,J = nlinfit(X,y,fun,beta0)X給定的自變量數(shù)據(jù)給定的自變量數(shù)據(jù),Y給定的因變量數(shù)據(jù)給定的因變量數(shù)據(jù),fun要擬合的函數(shù)模型要擬合的函數(shù)模型(句柄函數(shù)或者內(nèi)聯(lián)函數(shù)形式句柄函數(shù)或者內(nèi)聯(lián)函數(shù)形式), beta0函數(shù)模型中待定系數(shù)估計(jì)初值（即程序的初始函數(shù)模型中待定系數(shù)估計(jì)初值（即程序的初始實(shí)參）實(shí)參）beta返回?cái)M合后的待定系數(shù)返回?cái)M合后的待定系數(shù) 其中其中beta為估計(jì)出的回歸系數(shù)；為估計(jì)出的回歸系數(shù)； r為殘差；為殘差； J為為Jacobian矩陣矩陣可以擬合成任意函數(shù)可以擬

13、合成任意函數(shù),最通用的，萬能的命令最通用的，萬能的命令.非線性曲線擬合非線性曲線擬合結(jié)果要看殘差的大小和是否有警告信息，如有警告則換一結(jié)果要看殘差的大小和是否有警告信息，如有警告則換一個(gè)個(gè)b0初始向量再重新計(jì)算初始向量再重新計(jì)算例題同前例例題同前例假設(shè)測(cè)出一組（假設(shè)測(cè)出一組（xi,yi）,已知函數(shù)原型為已知函數(shù)原型為y(x)=c1+c2e-3x+c3cos(-2x)e-4x+c4x2用已知數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)用已知數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)ci的值。的值。 x=0 0.2 0.4 0.7 0.9 0.92 0.99 1.2 1.4 1.48 1.5;y=2.88 2.26 1.97 1.93 2.09 2.

14、11 2.2 2.54 2.96 3.16 3.21;myfunc=inline(beta(1)+beta(2)*exp(-3*x)+beta(3)*cos(-2*x).*exp(-4*x)+beta(4)*x.2,beta,x); beta0=0.2,0.2,0.2,0.2; beta = nlinfit(x,y,myfunc,beta0)beta = 1.2186 2.3652 -0.7040 0.8716非線性曲線擬合非線性曲線擬合function yy= myfun( beta,x)yy=beta(1)+beta(2)*exp(-3*x)+beta(3)*cos(-2*x).*exp(

15、-4*x)+beta(4)*x.2 end法二、法二、 x=0 0.2 0.4 0.7 0.9 0.92 0.99 1.2 1.4 1.48 1.5; y=2.88 2.26 1.97 1.93 2.09 2.11 2.2 2.54 2.96 3.16 3.21; beta0=1,1,1,1; beta= nlinfit(x,y,myfun,beta0)beta = 1.2186 2.3652 -0.7040 0.8716非線性曲線擬合非線性曲線擬合lsqcurvefitlsqcurvefit和和lsqnonlinlsqnonlin為兩個(gè)求非線性最小二乘擬合的為兩個(gè)求非線性最小二乘擬合的函數(shù)兩

16、個(gè)命令都要先建立函數(shù)兩個(gè)命令都要先建立M-M-文件文件fun.mfun.m，在其中定義函數(shù)，在其中定義函數(shù)f(x)f(x)，但兩者定義，但兩者定義f(x)f(x)的方式是不同的的方式是不同的1. lsqcurvefit1. lsqcurvefit已知數(shù)據(jù)點(diǎn)：已知數(shù)據(jù)點(diǎn)： xdata=xdata=（xdata1，xdata2，xdataxdatan n），）， ydata=ydata=（ydataydata1 1，ydataydata2 2，ydataydatan n）lsqcurvefitlsqcurvefit用以求含參量用以求含參量x x（向量）的向量值函數(shù)（向量）的向量值函數(shù)F(x,xda

17、ta)=F(x,xdata)=（F F（x x，xdataxdata1 1），），F(xiàn) F（x x，xdataxdatan n）T T中的參變量中的參變量x(x(向量向量),),使得使得 最小 ),(21niiiydataxdataxF非線性曲線擬合非線性曲線擬合輸入格式為輸入格式為: :x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options）fun是一個(gè)事先建立的是一個(gè)事先建立的定義函數(shù)定義函數(shù)F(x,xdata) 的的M-文件文件, 自變量為自變量為x和和xdata迭代初值迭代初值已知數(shù)據(jù)點(diǎn)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)選項(xiàng)見無選項(xiàng)見無約束優(yōu)化約束優(yōu)化2. lsqnonlinl

18、s q n o n l i n 用 以 求 含 參 量用 以 求 含 參 量 x x （ 向 量 ） 的 向 量 值 函 數(shù)（ 向 量 ） 的 向 量 值 函 數(shù) f(x)=(ff(x)=(f1 1(x),f(x),f2 2(x),(x),f,fn n(x)(x)T T 中的參量中的參量x x，使得，使得 最小。最小。 其中其中 fi（x）=f（x，xdatai，ydatai）=F(x,xdatai)-ydatai22221)()()()()(xfxfxfxfxfnT下面是擬合的下面是擬合的option設(shè)置設(shè)置 （1）Display：結(jié)果顯示方式。：結(jié)果顯示方式。off不顯示，不顯示，iter

19、顯示每次迭顯示每次迭代的信息，代的信息，final為最終結(jié)果，為最終結(jié)果，notify只有當(dāng)求解不收斂的時(shí)只有當(dāng)求解不收斂的時(shí)候才顯示結(jié)果候才顯示結(jié)果（2）MaxFunEvals:允許函數(shù)計(jì)算的最大次數(shù)，取值為正允許函數(shù)計(jì)算的最大次數(shù)，取值為正整數(shù)整數(shù)（3）MaxIter：允許迭代的最大次數(shù)，正整數(shù)：允許迭代的最大次數(shù)，正整數(shù)（4）TolFun：函數(shù)值（計(jì)算結(jié)果）精度，正整數(shù)：函數(shù)值（計(jì)算結(jié)果）精度，正整數(shù)（5）TolX:自變量的精度，正整數(shù)。自變量的精度，正整數(shù)。使用方法如下使用方法如下option=optimset(MaxFunEvals,212,MaxIter,214,TolX,1e-8

20、,TolFun,1e-8);非線性曲線擬合非線性曲線擬合x= lsqnonlin lsqnonlin （fun，x0，options）fun是一個(gè)事先建是一個(gè)事先建立的定義函數(shù)立的定義函數(shù)f(x)的的M-文件，文件，自變自變量為量為x迭代初值迭代初值選項(xiàng)見無選項(xiàng)見無約束優(yōu)化約束優(yōu)化例例2 2 用下面一組數(shù)據(jù)擬合用下面一組數(shù)據(jù)擬合 中的參數(shù)中的參數(shù)a，b，kktbeatc2.0.0)(100200 30040050060070080090010004.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59該問題即解最優(yōu)化問題：該問題即解最優(yōu)化問題：2101

21、02.0),(minjjktcbeakbaFjjt310jc非線性曲線擬合非線性曲線擬合1 1）編寫編寫M-M-文件文件 curvefun1.mcurvefun1.m function f=curvefun1(x,tdata) f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata) %其中其中 x(1)=a; x(2)=b；x(3)=k; end2）輸入命令輸入命令tdata=100:100:1000;tdata=100:100:1000;cdata=cdata=1e-03* *4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,4.54,4.99,5.

22、35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59;6.50,6.59; x0=0.2,0.05,0.05; x0=0.2,0.05,0.05; x=lsqcurvefit (curvefun1,x0,tdata,cdata)x=lsqcurvefit (curvefun1,x0,tdata,cdata) f= f= curvefun1(x,tdata) 3 3）運(yùn)算結(jié)果為）運(yùn)算結(jié)果為：f =0.0043 0.0051 0.0056 0.0059 0.0061 f =0.0043 0.0051 0.0056 0.0059 0.0061 0.0062 0.0062 0.0

23、063 0.0063 0.0063 0.0062 0.0062 0.0063 0.0063 0.0063 x = 0.0063 -0.0034 0.2542 x = 0.0063 -0.0034 0.2542非線性曲線擬合非線性曲線擬合解法解法 2 用命令用命令lsqnonlin f(x)=F(x,tdata,ctada)= x=（a，b，k）Tktktcbeacbea),(102. 0102. 01011）編寫）編寫M-文件文件 curvefun2.m function f=curvefun2(x) tdata=100:100:1000; cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35

24、,5.65,5.90, 6.10,6.26,6.39,6.50,6.59; f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)- cdata end2）輸入命令）輸入命令: x0=0.2,0.05,0.05;x=lsqnonlin(curvefun2,x0)f= curvefun2(x)非線性曲線擬合非線性曲線擬合3 3）運(yùn)算結(jié)果為）運(yùn)算結(jié)果為 f =1.0e-003 f =1.0e-003 * *(0.2322 -0.1243 -0.2495 -0.2413 (0.2322 -0.1243 -0.2495 -0.2413 -0.1668 -0.0724 0.0241 0.11

25、59 0.2030 0.2792-0.1668 -0.0724 0.0241 0.1159 0.2030 0.2792 x =0.0063 -0.0034 0.2542 x =0.0063 -0.0034 0.25424）結(jié)論）結(jié)論：即擬合得即擬合得a=0.0063 b=-0.0034 k=0.25420.0063 b=-0.0034 k=0.2542可以看出可以看出,兩個(gè)命令的計(jì)算結(jié)果是相同的兩個(gè)命令的計(jì)算結(jié)果是相同的.非線性曲線擬合非線性曲線擬合比較以上幾種非線性擬合函數(shù)適用的條件和注意事項(xiàng)：1）Regress函數(shù)和函數(shù)和 命令：命令：1) 首先要確定要擬合的函數(shù)形式，然后確定待定的系數(shù)首

26、先要確定要擬合的函數(shù)形式，然后確定待定的系數(shù)從常數(shù)項(xiàng)開始排列，須構(gòu)造矩陣從常數(shù)項(xiàng)開始排列，須構(gòu)造矩陣(每列對(duì)應(yīng)于函數(shù)中的一項(xiàng)，每列對(duì)應(yīng)于函數(shù)中的一項(xiàng)，剔除待定系數(shù)剔除待定系數(shù))2) 適用于多元（可通過變形而適用于任意函數(shù)）。適用于多元（可通過變形而適用于任意函數(shù)）。y為列向量；為列向量；x為矩陣，第一列為全為矩陣，第一列為全1列（即對(duì)應(yīng)于常數(shù)項(xiàng)），其余每一列列（即對(duì)應(yīng)于常數(shù)項(xiàng)），其余每一列對(duì)應(yīng)于一個(gè)變量（或一個(gè)含變量的項(xiàng)），即對(duì)應(yīng)于一個(gè)變量（或一個(gè)含變量的項(xiàng)），即x要配成目標(biāo)函數(shù)要配成目標(biāo)函數(shù)的形式（常數(shù)項(xiàng)在最前）的形式（常數(shù)項(xiàng)在最前）3) regress只能用于函數(shù)中的每一項(xiàng)只能有一個(gè)待定系數(shù)的情只能用于函數(shù)中的每一項(xiàng)只能