1、問(wèn)題10數(shù)列中整數(shù)解問(wèn)題一、考情分析數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高考中占有極其重要的地位.數(shù)列中整數(shù)解問(wèn)題逐漸成為一個(gè)新的熱點(diǎn).本文試圖對(duì)與數(shù)列有關(guān)的不定方程的整數(shù)解問(wèn)題的解法作初步的探討，以期給同學(xué)們的學(xué)習(xí)帶來(lái)幫助二、經(jīng)驗(yàn)分享二元不定方程雙變量的不定方程，在高中階段主要是求出此類(lèi)不定方程的整數(shù)解，方法較靈活，下面介紹3種常用的方法.方法1.因式分解法：先將不定方程兩邊的數(shù)分解為質(zhì)因數(shù)的乘積，多項(xiàng)式分解為若干個(gè)因式的乘積，再由題意分類(lèi)討論求解.方法2.利用整除性質(zhì)：在二元不定方程中，當(dāng)其中一個(gè)變量很好分離時(shí)，可分離變量后利用整除性質(zhì)解決.方法3.不等式估計(jì)法：利用不等式

2、工具確定不定方程中某些字母的范圍或等式一邊的范圍，再分別求解.如轉(zhuǎn)化為加j=?(可型，利用gn的上界或下界來(lái)估計(jì)fm的范圍，通過(guò)解不等式得出m的范圍，再一一驗(yàn)證即可.三、知識(shí)拓展1、整數(shù)的基本性質(zhì)：(1)整數(shù)的和，差，積仍為整數(shù)(2)整數(shù)的奇偶性：若-=2無(wú)+M丘刀，則稱(chēng)n為奇數(shù);若""(無(wú)目為，則稱(chēng)n為偶數(shù),在加，減，乘法運(yùn)算中，其結(jié)果有以下規(guī)律：奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù)(3)若a,bZ,且ab,則ab1R.a<b-(4)已知一'，若nZ,且na,b,則n只能取到有限多個(gè)整數(shù)(也有可能無(wú)解).a(5)若一Z,稱(chēng)

3、a能被b整除，則有：bb為a的一個(gè)因數(shù)(6)最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集，均有一個(gè)最小的自然數(shù)2、整數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用：(1)若變量屬于整數(shù)，則利用方程與不等式均可求出變量的值：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若要求得變量的值，通常要依賴(lài)方程，而不等式只能解得變量的范圍.但是在整數(shù)范圍內(nèi)，除了方程，在不等式中也可以利用整數(shù)的離散性求出變量的值(即性質(zhì)(4),例如：若打WN=，則n的取值只能是3,4.所以在涉及求整數(shù)的值時(shí)，思路不要局限于尋找等量關(guān)系，構(gòu)造不等關(guān)系依然可以求解.(2)整除問(wèn)題：若表達(dá)式形式較為簡(jiǎn)單，可通過(guò)對(duì)常數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解，進(jìn)而確定變量的取值；若表達(dá)式次數(shù)較高，則可以先利用二項(xiàng)式定理去掉高次的項(xiàng)，

4、再進(jìn)行處理.(3)多元整數(shù)不定方程：當(dāng)變量的值為整數(shù)時(shí)，不定方程的解可能有有限多組解.通常的處理方式有兩個(gè)：通過(guò)對(duì)表達(dá)式進(jìn)行因式分解，對(duì)另一側(cè)的常數(shù)進(jìn)行因數(shù)分解，進(jìn)而將不定方程拆成多個(gè)方程的方程組，進(jìn)而解出變量將一個(gè)字母視為變量(其余視為參數(shù))并進(jìn)行參變分離，求出含變量函數(shù)的值域，進(jìn)而將參數(shù)置于一個(gè)范圍內(nèi)，再利用整數(shù)離散性求得參數(shù)的值(4)反證法：運(yùn)用反證法處理整數(shù)問(wèn)題時(shí)，常見(jiàn)的矛盾有以下幾點(diǎn)：所解得變量非整數(shù)，或不符合已知范圍等式兩側(cè)為一奇一偶3、整數(shù)問(wèn)題通常會(huì)與數(shù)列聯(lián)系起來(lái)，其特征就是數(shù)列中項(xiàng)的序數(shù)，以及前n項(xiàng)和的項(xiàng)數(shù)，均為正整數(shù).四、題型分析(一)利用整除性質(zhì)aa【例1】已知數(shù)列an的通

5、項(xiàng)公式為an2n7,若為數(shù)列an中的項(xiàng)，則mam2QjiAh+1(2冽7)I?用5>【解析】V-=三二,an中的項(xiàng)為大于等于5(ai5)的奇數(shù)，所以考慮將旦例皿廉ja八am2一7)(2m5)2m3)4-Q2m3)2I向奇數(shù)形式變形：88=+-=2m-9+-,可得應(yīng)該為大于等于4的偶數(shù)，所以4或2m32m38-i5-8，斛得m一(舍)或m22m32【答案】m2(2m-7)(2m-5)【點(diǎn)評(píng)】(1)本題的亮點(diǎn)在于對(duì)13的變形，在有關(guān)整數(shù)的問(wèn)題里，通?？蓪?duì)分式進(jìn)行“分離常數(shù)”的變形，從而將復(fù)雜的分式簡(jiǎn)化，并能立刻找到需處理的部分.例如在本題中通過(guò)“分離常數(shù)”可迅速將目標(biāo)鎖定在一8上.2m3(2

6、)本題對(duì)一8的處理有多個(gè)角度，還可以從分母出發(fā)，觀(guān)察到2m3應(yīng)為奇數(shù)，而Z,而8的2m32m3奇因數(shù)只有1和1,同樣可確定m的值.【牛刀小試】【江蘇省清江中學(xué)2019屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量調(diào)研】設(shè)數(shù)列的前打項(xiàng)的和為$中且兄=二4號(hào)成等比數(shù)列.數(shù)列心滿(mǎn)足比=42且對(duì)任意正整數(shù)(1)求數(shù)列叫的通項(xiàng)公式.(2)證明數(shù)列a，j為等差數(shù)列.(3)令.一人藥口-3,問(wèn)是否存在正整數(shù)皿”,使得心工加十歹與成等比數(shù)列？若存在，求出m.匕的值，若不存在，說(shuō)明理由.【解析】(1)因?yàn)閿?shù)列叫的前，項(xiàng)的和=/，nifU;當(dāng)力二時(shí)，上式也成立，_2所以數(shù)列%的通項(xiàng)公式為%=s+i熊+5.(2)證明：因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)也都有

7、包,和成等比數(shù)列,所以所以4人十產(chǎn);即+1%(n+1)(n+2)兩式相除得，對(duì)任意正整數(shù)“都有r=,Of,門(mén)+I日廿斤+Z九即=,n+3rt+1bnbJ耳當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，-=-,所以%E3盾4亍(M+1)n4-12上上當(dāng)力為偶數(shù)時(shí),一2_=一，而。二三j所以與=；所以：一所以+】%=海+2)=鼻+1)=?所以數(shù)列4J為等差數(shù)列.因?yàn)槿胍?1所以=+s=2(m+5)*1=2m4-9G=2/c-1因此存在正整數(shù)使得匚寸JR十玉門(mén)成等比數(shù)列<=>（2沏+9產(chǎn)=（2m1）（24-1）口篦-1=8也2*1?50制!據(jù)m+10+72m-1|因?yàn)閙#都是正整數(shù)，則*1，1為25,即1,3,13時(shí)，對(duì)

8、應(yīng)的R=61.23.25.所以存在展言或建言或憶聶使得”勺成等比數(shù)列.（二）不等式估值法【例2】【江蘇省蘇州市2019屆高三上學(xué)期期末】定義：對(duì)于任意mEM',"+弓|+丁-1仍為數(shù)列4中的項(xiàng)，則稱(chēng)數(shù)列（為J為“回歸數(shù)列”.（1）己知廿與=2"（以£寸），判斷數(shù)列1%是否為“回歸數(shù)列”，并說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列%為“回歸數(shù)列"，%=3,同=%且對(duì)于任意林EN，均有/</十成立.求數(shù)列仍小的V+3S*l-V_通項(xiàng)公式；求所有的正整數(shù)s,t,使得等式卜7+35二1成立.【答案】（1）品不是“回歸數(shù)列”，說(shuō)明見(jiàn)解析（2）"，使得等式成立

9、的所有的正整數(shù)s,£的值是s=1,t=3【分析】（1）假設(shè)同是“回歸數(shù)列”，則對(duì)任意崔不，總存在媚小，使+i="成立，列出方程即可求解。因?yàn)橥?lt;與+1,所以A根據(jù)他J為“回歸數(shù)列”，得與+%+尸2%十|,可得以數(shù)列%為等差數(shù)列，即可求解；由二用,求得1=123,分類(lèi)討論，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，即可求解。+3S-1【解析】（i）假設(shè)mj是“回歸數(shù)列”則對(duì)任意噂際，總存在埃的，使/+4+）*I'恤成立,3ii+4-2B2-2n=2即即M2二2M此時(shí)等式左邊為奇數(shù).右邊為偶數(shù)，不成立，所以假設(shè)不成立所以%J不是“回歸數(shù)列”；（2）因?yàn)閔n<b0il,所以M+】G&

10、quot;+2,又因?yàn)?；為“回歸數(shù)列”，所以與"gL4”，即%+%2.2%+J所以數(shù)列匐為等差數(shù)列.又因?yàn)?$%=R所以n'.因?yàn)槎?所以E=叫+亡i344-sa-1t-3=武"'<o因?yàn)?，所以E泥？,又因?yàn)樯险?,所以£=123,當(dāng)t=1時(shí)，（*;式整理為3彳=0,不成立,當(dāng)1=2時(shí)，（*;式整理為?8巳N*）設(shè)汽飛,因?yàn)?ntl-n)+33n+1S=s無(wú)解時(shí)，>+1,因?yàn)閟鎏燈”,所以s=1綜合所述，使得等式成立的所有的正整數(shù)s,的值是s=1,t=3【牛刀小試】已知an為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn,若+-(1)求an（2）對(duì)m

11、N,將an中落入?yún)^(qū)間2m,2m內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm求bm一2二7_1D記/1產(chǎn)J）.，cm的前m項(xiàng)和記為T(mén)m,是否存在m,tN,使得五二%-771成立？若存在求出m,t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】（1）設(shè)an的公差為d=41=4的+6d=4（2©+d）生£=2&+1=/+1；打一lid=2|苗+1.2,八二A=2m-1解得：ai1,d2以等式左右邊的符號(hào)作為突破口（左邊為正數(shù)），得到4即可二二1J2）!，則所解方程變形為：rIr=y，可考慮對(duì)m,t進(jìn)行變量分離U）4十,工”一，2/t0,即t1,2,3，然后代入t解出符合條件的m勺+1>012JQI->

12、;0=4+4->0=1式123)2時(shí)，解得:1時(shí),解得:11產(chǎn)冽=1嗝產(chǎn)（舍）3時(shí)，解得:Q存在這樣的m3“一A、/,滿(mǎn)足所給方程t3【點(diǎn)評(píng)】1、本題中的方程，并沒(méi)有在一開(kāi)始就將代入，否則運(yùn)算會(huì)復(fù)雜的多，所采取的策略為先化簡(jiǎn)變形，變形完成之后再代入.可簡(jiǎn)化不必要的運(yùn)算2、本題在解m,t的不定方程所用的方法為變量分離法,將兩個(gè)只含某一字母的式子用等號(hào)連接，則兩邊式子的范圍應(yīng)當(dāng)一致.以其中一個(gè)式子作為突破口（比如m11），再結(jié)合變量必須取整數(shù)的條件，便可用不等關(guān)2系將變量所能取的值確定下來(lái)（三）反證法【例3】已知數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bh是等比數(shù)列，且對(duì)任意的nN，都有：小+鼠+L+4瓦p

13、ntI撿法，右ai8,則:(1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式(2)試探究：數(shù)列bn中是否存在某一項(xiàng)，它可以表示為該數(shù)列中其它W尸身2)項(xiàng)的和？若存在請(qǐng)求出該項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(1)【解析】也也+a2+L+Q*=n-2*心2+他+L2川可得：£3也=>=5+L)2即“(用之2)人口嗎4=1-24=6=2令n1,則1令n2,則-，一一一-'令n3,則一-,-|2(8+£/)5=45所以有：口8十2目)”128，解得:/.ar-4同+4也=2"JI.隕(2)【分析】首先要把命題翻譯為等式，將其他r項(xiàng)可設(shè)為Q,bt2,L,b1r，設(shè)存在某項(xiàng)bm,則%=4

14、+%+L+%=產(chǎn)=下+如旦+，設(shè)u工(L1匚，則同除以2t1,就會(huì)出現(xiàn)左右兩側(cè)奇偶不同，從而假設(shè)不成立解：假設(shè)存在某項(xiàng)bm及數(shù)列中的其他r項(xiàng)鼻心工&(AJ"<fJ2="+4+1+=+于+L+手，所以2r于"”兩邊同時(shí)除以2ti可得：2*'=1+2'+L+2"',左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù).所以等式不成立所以不存在這樣的項(xiàng)【點(diǎn)評(píng)】(1)通過(guò)本題要學(xué)會(huì)如何表示數(shù)列中某一串項(xiàng)：如果是相鄰項(xiàng),則可表不為:，如果不一定相鄰，則可用ti,t2Ltr作角標(biāo)，其中1,2,L,r體現(xiàn)出這一串項(xiàng)所成數(shù)列中項(xiàng)的序數(shù)，而ti,t2Ltr表示該項(xiàng)

15、在原數(shù)列中的序數(shù)(2)本題還有一個(gè)矛盾點(diǎn)：題目中的r項(xiàng)不一定為相鄰項(xiàng)，但是可通過(guò)放縮將右邊的項(xiàng)補(bǔ)全，變?yōu)閺?1直加到2tr，即與+L+乃eT+M+L+2則2出工2+2,+L+2,=三"一1，由整數(shù)性質(zhì)可得,所以，與矛盾，所以不存在.【牛刀小試】【江蘇省南京市13校2019屆高三12月聯(lián)合調(diào)研】已知數(shù)列為J的前有項(xiàng)和為，.，把滿(mǎn)足條件的所有數(shù)列%構(gòu)成的集合記為(1)若數(shù)列|回)通項(xiàng)為七=:，求證：巨M;(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，且+網(wǎng)EM,求2%-01的取值范圍；(3)若數(shù)列包/的各項(xiàng)均為正數(shù)，且數(shù)列中是否存在無(wú)窮多項(xiàng)依次成等差數(shù)列，若存在，給a出一個(gè)數(shù)列1。的通項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由.

16、ii1-店【解析】(1)因?yàn)?=J，所以兀=？胭i=】-(/"，所以之17+8”=久/一工V戒一1,所以小+1<1，即/wM.(2)設(shè)%的公差為d,因?yàn)閗n+n§EM,所以在+2玄a一iJ特別的當(dāng)甘=1時(shí)，即d匕一i,d'+"8"】n"+(ij-d-)naa_1>0由(得口，整理得331,因?yàn)樯鲜霾坏仁綄?duì)一切neN，恒成立，所以必有于N%解得d2-1,又所以4=-1,中日(冉+i)n無(wú)一1二0日口(附+1)(0-1)>0于是，即，所以叫+1之U,即口1短?1,crn,-2C<ls-(1i)+oi-8rf+tTj&

17、#171;-8+0附9所以因此2白5-的取值范圍是-%+）.（3）由得一一*空*,所以匹+1M乂,即手工2,=紅"九乂.sz<2a所以寅為九一，,而-$葉-x2B二期m2H從而有，又a-W網(wǎng),所以人”二“工亂1*2工如玄對(duì)黑長(zhǎng)7缶>3）,即又吃-所以有/f尸'”）,所以染為2、*ni1假設(shè)數(shù)列中存在無(wú)窮多項(xiàng)依次成等差數(shù)列，4不妨設(shè)該等差數(shù)列的第擰項(xiàng)為加+卜（為常數(shù)），dIl-l-h=>x2>則存在mEN,m>n,使得日口一如附即，設(shè)，二三：，_',(n+1戶(hù)M2儲(chǔ)17則2'J+-52""*"*?!+二

18、bfCn+l)<fCn)Sf(3)=<l即-,于是當(dāng)n主3時(shí)，2"+弓用d"M+b依>n2內(nèi)'-datn-<0從而有：當(dāng)m之3時(shí)1，即11,n1-datn-6口tV0于是當(dāng)也23時(shí)，關(guān)于有的不等式有無(wú)窮多個(gè)解，顯然不成立,京因此數(shù)列中是不存在無(wú)窮多項(xiàng)依次成等差數(shù)列.%（四）因式分解法【例4】已知等差數(shù)列SJ的公差d>Q.設(shè)4的前廿項(xiàng)和為1,d3«l,S力如求，及S/求E.底明爾M)的值,使得*-J=65.【解析】«)略(2)由(1)得%=：-3，=/(店N')m-£(片/1)(2惻=1+2由*2&#

19、171;-1)耕=sU=4所以(2網(wǎng)+A-DC+D=65,由m,展N知癡十#-13hl】65=13xS=1k65k,m,【點(diǎn)評(píng)】本題中將不定方程變形為6*J卜6+1)=$.1)因?yàn)榉纸夥绞绞俏ㄒ坏?，所以可以得到關(guān)于的二元一次方程組求解五、遷移運(yùn)用1.【江蘇省鎮(zhèn)江市2019屆高三上學(xué)期期末】設(shè)數(shù)列。j是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，喇=2,日加&=64.數(shù)列瓦滿(mǎn)足：對(duì)任意的正整數(shù),也都有一，b".(i)分別求數(shù)列%!與也J的通項(xiàng)公式；A(1-(1-(1-)<(2)若不等式祝兩雙爐也對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)拉的取值范圍；(3)已知的EN對(duì)于數(shù)列與,若在也與玩+1之間插入九個(gè)2

20、,得到一個(gè)新數(shù)列&.設(shè)數(shù)列的前m項(xiàng)的和為丁/試問(wèn)：是否存在正整數(shù)m,使得丁州=2019?如果存在，求出m的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)因?yàn)?是等比數(shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)，所以/%二的=""，解得啊=q,_杵!&_備=2*22=1公比"版=八='所以，因?yàn)?,+&血+-瓦=5-加中+2,所以一一一一=n-2n(n>2),兩式相減，得，所以當(dāng)力細(xì)時(shí)，%=%L、cr,uld出入、&二WN")因?yàn)楫?dāng)二I時(shí),11=2,所以卜工=1,符合科產(chǎn)n,所以,;(2)因?yàn)槿?l-%f所以當(dāng)播時(shí)，原不等式成立,vf2n

21、41ri"iif1與ci1當(dāng)位Q叱原不等式可化為C",tn姓程+1£1-)(1-(1).設(shè)E4就，則仆0,則二一，。+i、:£門(mén)+32n+所以,即數(shù)列LJ單調(diào)遞減,所以1用二更，解得位V位2jLF1-00綜上，(3)由題意可知，設(shè)瓦在數(shù)列(cj中的項(xiàng)為勺，則由題意可知,m二Z+必所以當(dāng)口=20,一2J+1+2十一+匕=2*上+4一4時(shí)，-，-O2W,易解得做?0,當(dāng)上二9時(shí),加三爐”-2M2、7丁J.c2_4=106S2019-1065=954=277所以當(dāng)=時(shí)，T,=20192.【江蘇省鹽城市、南京市2019屆高三年級(jí)第一次模擬】已知數(shù)列。力，其中空&

22、#163;*.(1)若M滿(mǎn)足小i=當(dāng)q=2,且電=1時(shí)，求%的值;耳十丁3,aEW,若%=1，若存在互不相等的正整數(shù)滿(mǎn)足力=+£,且%成等差數(shù)列，求"的值.(2)設(shè)數(shù)歹U|口的前項(xiàng)和為b，數(shù)歹UhJ的前n項(xiàng)和為恒成立，求板的最小值.【解析】（1）由4-生-4,里-%-2,a,-Gj-1,累加得鼻-S因,所以4-限7'一，口I,當(dāng)g=l時(shí)，/月，滿(mǎn)足題意；當(dāng)qi時(shí)，累加得口油.1g-%,所以&_-%一.若存在滿(mǎn)足條件，化簡(jiǎn)得時(shí)三yT,即士=廣V-4尸7=工，此時(shí)g=l（舍去）綜上所述，符合條件忖的值為1/q匚=-3,理已匚1=占14-3由三小工刀/曰匕-=%、

23、+b，7.c=l.c.=4（2）由后對(duì)"'可知/w,兩式作差可得：",又由.可知與二梟4=，故=瓦+瓦,所以=+”對(duì)一切的打亡.仁恒成立對(duì)鼠=K+如，如=%+力兩式進(jìn)行作差可得'=以4+/】，又由£=4也=7可知叼=3=3故屋=喂石（燈詡又由心口冏一"人+"了一門(mén)】Qz十口蟲(chóng)）=Mi+%廣一%7（4+%i）二一%十44*:"左，所以,上廠(chǎng)一%!口1卜鼠；一口必+J,所以當(dāng)也“時(shí)IsI-%口小：1=5,當(dāng)月=1時(shí)"-4"怙：=故左的最小值為53.【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2019屆高三上學(xué)期12月月考】已知數(shù)列

24、佃口的前打項(xiàng)和為瓦一且滿(mǎn)足L=Z%-2；數(shù)7b歹的前網(wǎng)頁(yè)和為限,且滿(mǎn)足b1=1,卜2=20（1）求數(shù)列|4）的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列九的通項(xiàng)公式；w+bH+1（3）是否存在正整數(shù)n,使得''恰為數(shù)列%中的一項(xiàng)？若存在，求滿(mǎn)足要求的那幾項(xiàng)；若不存在，詢(xún)-%+L說(shuō)明理由.【解析】（1）由S=2an2,則當(dāng)n>2時(shí)，Sn-1=2an-1-2,兩式相祠得：3n=2an-2an-1,貝U3n=23n1,由S=2a1一2,則31=2,.數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an=2n,/c、4Tft_%（2）由;=7-貝U=,=,%.3腦T,b拉也以上各式相乘，丁=,fn+12

25、Tr-16耳一1,則2Tn=bnbn+1,當(dāng)n>2時(shí)，2Tn-1=bn-ibn,兩式相減得：21=3(bn+1bn-1),即bn+1-bn1=2,數(shù)列bn的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，由=一,則bs=T2=bi+b2=3,b+b3=2b2,7%數(shù)列bn是以b1=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bn=n；(3)當(dāng)n=1時(shí)，無(wú)意義，an%4-1|、廳4,與+12"+門(mén)十1,八一、設(shè)cn=-,(n>2,nCN*),與"2"-(n+I)T則Cn+Cn二'"一"二J二.卜"0即Cn>Cn+1>1

26、,顯然2n+n+1>2n(n+1),則C2=7>C3=3>a>>1,，存在n=2,使得b7=C2,b3=C3,20+Fl+1下面證明不存在C2=2,否則，Cn=2,即2n=3(n+1),2HS+1)此時(shí)右邊為3的倍數(shù)，而2n不可能是3的倍數(shù)，故該不等式成立，綜上，滿(mǎn)足要求的bn為b3,b7.4.【江蘇省南通市2019屆高三年級(jí)階段性學(xué)情聯(lián)合調(diào)研】已知正項(xiàng)等比數(shù)列uj的前門(mén)項(xiàng)和為幾包它年少，Lr4一.門(mén)",TL瓦=5+1)北+士必(齊E評(píng)”)且仃3二七+2,叼11=1&。數(shù)列的刖n|項(xiàng)和為且2。(1)求數(shù)咧%的通項(xiàng)公式及其前h項(xiàng)和3;(2)證明數(shù)列

27、也;為等差數(shù)列，并求出向)的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)數(shù)列或乙1Mi油鈾，問(wèn)是否存在正整數(shù)mtnfl,使得成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿(mǎn)足要求的若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！窘馕觥?1)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列f&J的公比為q(q>0),則由,訛4=16得而=16得的=2,因此，=2n(n+1JTn.,T.<(2)方法一：因?yàn)榻?尸5+1況+f，所以"LIn+1n2TT丁11從而數(shù)列1，)是以=1為首項(xiàng)，上為公差的等差數(shù)列，故C=1+於-1)=如+1),(nj12n221故L/5*1),當(dāng)1r唯：時(shí)，”二丁，丁M1=虱，且n=l時(shí)適合，因此，"=",從而當(dāng)網(wǎng)期時(shí)，&q

28、uot;-"一1=1為常數(shù)，所以，數(shù)列他J為等差數(shù)列。n(n+1)方法二：因?yàn)?：，n(n+1)所以，當(dāng)ME?時(shí)，有5-D丁廣打1+2，兩式相減得：叫十產(chǎn)2%-嗚t+",即T"l2rlif-1+1j1丁/G=ZT;41=36?=GrTi=2又由S=1，仃口*1=5+1)/+2得.，從而_一,故/-h=i,所以，數(shù)列%為等差數(shù)列。Li+皿_那_32_12因?yàn)榭霦M旬一初幻-it+2ft+1,3a寸、,手工*.”也丁+，”*a所以.一-一一一一，假設(shè)存在存在正整數(shù)m.%1(mVMCI),使得Cm，。七成等差數(shù)列，則升.、mr,nrJr(3<?nF<n

29、9;<lf)Arfr=(?i3jne7/*)-一士，4口2令此5工二則原問(wèn)題等價(jià)于存在正整數(shù)，使得因?yàn)?+4=也+-口=巾5+)>0(因?yàn)橐谗?)，故數(shù)列4J單調(diào)遞增,若一城三2,即廣立箕'+2,則如之dn,工犯警4Nh從而土心=豆豆二旦=3>2,即4'>人,而t一4,孔9至tM因此，f：，<U,這與AO恒成立矛盾，故只能有l(wèi)-n=i，即r=11f+1，若m為奇數(shù)，則記t2H+1.-Wt7,從而心沖莖3Mt踞)二加a3nEjV*)r因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以數(shù)列八一,單調(diào)遞減，故當(dāng)E24時(shí)，,玉旦,211于132而21r1rEJV3故1饕境，因此，(*

30、)式無(wú)正整數(shù)解。reFom'.l若n為偶數(shù)，則記H=r.,即，同理可得(*)無(wú)正整數(shù)解。2>t+1-m綜上，不存在存在正整數(shù)隔，n“°二,使得成等差數(shù)列，也即不存在正整數(shù)m.ji./使得%M內(nèi)成等差數(shù)列。5.【江蘇省南京市六校聯(lián)合體2019屆高三12月聯(lián)考】已知數(shù)列an各項(xiàng)均不相同，ai=1,定義髓'n''"此，其中n,kCN*.(1)若KCL)=71,求口5；(2)若b+i(k)=2bn(k)對(duì)L=L2均成立，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為$.(i)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(ii)若k,tCM,且S,GS,S&成等比數(shù)列，求k和t的值.b

31、f-fl)=(Th-=?！窘馕觥?1)因?yàn)?quot;'"，所以所以u(píng)5=-9(2)(i)因?yàn)閎n+1(k)=2bn(k),+中/H仙=2&+-毋%+/侍，口帝三號(hào)皮結(jié)*1?=2("Hl令k=1,1m葉*k=2,出h+1+cit+3=2/a5t+口九+w由得,+*計(jì)戶(hù)2干露，+得+,+得%+1=2%,又=1H。，所以數(shù)列K%J是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以瑪=L(ii)由(i)可知$=2n1.因?yàn)镾i,S<-Si,SG成等比數(shù)列，所以(&S)2=S(S0),即(2k2)2=2-2k,所以2t=(2k)232k+4,即212=(2kT)2

32、32k2+1(*).由于&Sw0,所以kwi,即k>2.當(dāng)k=2時(shí)，2t=8,得t=3.當(dāng)k>3時(shí)，由(*),得(2J)232k-2+1為奇數(shù)，所以t2=0,即t=2,代入(*)得22k232k2=0,即2k=3,此時(shí)k無(wú)正整數(shù)解.綜上，k=2,t=3.6.【江蘇省鹽城市2019屆高三第一學(xué)期期中】已知正項(xiàng)數(shù)列4的首項(xiàng)臼=1,前n項(xiàng)和滿(mǎn)足與f=(1)求數(shù)列uj的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列體/是公比為4的等比數(shù)列，且卜1-3，與-%，電-%也是等比數(shù)列，若數(shù)列宣單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)位的取值范圍；(3)若數(shù)列帆J、端都是等比數(shù)列，且滿(mǎn)足“=兒-%，試證明：數(shù)列閭中只存在三項(xiàng).【解析】(

33、1)4+/=藥,故當(dāng)便？時(shí)期一t-2s,兩式做差得0一%)<-%，由;為正項(xiàng)數(shù)列知，冊(cè)與一1=1,即為等差數(shù)列，故叫尸也"瓦.2尸=也.1)(1皿同15=.釬7(2)由題意，化簡(jiǎn)得所以“名，On+ATtt-A所以.一，Onr+Z/+力_n+l+n+_tj4Cn+XJ？e-J由題意知一ri2%+n則有。恒成立，即：犯.I-3位恒成立，所以|1-3位<3,解得懂bbf'rcrj=cq(3)不妨設(shè)伍超過(guò)？項(xiàng)，令11n+i*ci帶入°產(chǎn)T，可得MS-=加-1)*),若p=q=1則兀-7=b-c,即(4為常數(shù)數(shù)列，與條件矛盾；若口豐Lq工1,令n=l得切(PT尸二

34、“9T，令依=乙得=T廠(chǎng)，兩式作商，可得，=q,帶入(*)得|b=c,即佃口為常數(shù)數(shù)列，與條件矛盾，故這樣的。只有3項(xiàng).7.【江蘇省徐州市2019屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列S"各項(xiàng)均為正數(shù)，4=1,%=3,且%4%+廣i+%+?對(duì)任意尼三西,恒成立.(1)若%=4求女的值；(2)若修=4(i)求證：數(shù)列M”)是等差數(shù)列；(ii)在數(shù)列|f%J中，對(duì)任意范,總存在gltW#*,(其中n<mM4),使仁/盧)構(gòu)成等比數(shù)列，求出符合條件的一組5北)|.【解析】(1)令數(shù)列弧)為“4dL十三+1=%何+%+/0%+2=%=4過(guò)曰=2_勺%+/+%=7,的n一1，所以九二，n%飪二%mi

35、.=2n(2k-1)(24+1),.，+口(2) .'/2rt+1k八，假設(shè)一奇數(shù)使得：2m-1=p(2n-1)2k-1=pi(2n-1)>2m-1.k>m,.-.p-綜合得：可構(gòu)造一組解為(mM=1z+LyF/n?+LqE,?=2i+1,E已.8.【江蘇省蘇州市2018屆高三調(diào)研測(cè)試】已知各項(xiàng)是正數(shù)的數(shù)列佃的前n項(xiàng)和為*.，、什口"2、r(1)若5fl+乂7=j-(nN*,n>2),且=2.求數(shù)列3,J的通項(xiàng)公式；若.一對(duì)任意打翼燈*恒成立，求實(shí)數(shù)位:的取值范圍；(2)數(shù)列叫是公比為q(q>0,q1)的等比數(shù)列，且a的前n項(xiàng)積為。丁月.若存在正整數(shù)k

36、,對(duì)任意-供十1)門(mén),nN*,使得下為定值，求首項(xiàng)七的值.kn【解析】(1)當(dāng)域E?時(shí)，由1+儲(chǔ)7,4；+2則.兩式相減得。一一%=；(/：I-吟，即/十詢(xún)=3,仃艇?屏+2aj-3a7-10=0當(dāng)力=2時(shí)，P4四工+勺=.,即一一,3解得口？=5或七=-2(舍)，所以與-町=3,即數(shù)列為等差數(shù)列，且首項(xiàng)七=3|所以數(shù)列%)的通項(xiàng)公式為%=3律-1.由知，%.=3h-,所以w(3n-l+2)儲(chǔ)+日；>_JHZ+W由題意可得"一a"1一必”對(duì)一切rt崟燈*恒成立,記如上+H二2"十？2*41,臉？,所以-3nz+lln-4當(dāng)力:4時(shí)，所以當(dāng)n=3時(shí),3n+a正

37、且公15產(chǎn)出，取得最大值卷,所以實(shí)數(shù)位的取值范圍為氐+孫(2)由題意，設(shè)4】(q>D.”1),以花=107-，兩邊取常用對(duì)數(shù),1=地+1眄+甌“工省/訊目4+31-M令，則數(shù)列是以4為首項(xiàng)，®q為公差的等差數(shù)列,為定值，令二淚，則用叱叫十三苧口二到，即一-=0，1,對(duì)rr裝燈*恒成立,(0t+I)1-jzft3=0因?yàn)閝>豐i,問(wèn)題等價(jià)于1<A+1)一世上二。且EJ二q皆1=博代入因?yàn)長(zhǎng)壁上T*,所以必>0包于1,所以9.【江蘇省常州2018屆高三上學(xué)期期末】已知各項(xiàng)均為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且滿(mǎn)足aia若=（甘+電+小+1）*口3/一八（其中a

38、為常數(shù)）,nN.數(shù)列bn滿(mǎn)足與一/一77（乏、）.（1）證明數(shù)列an是等差數(shù)列，并求出an的通項(xiàng)公式；*（2）若無(wú)窮等比數(shù)列Cn滿(mǎn)足：對(duì)任意的nN,數(shù)列bn中總存在兩個(gè)不同的項(xiàng)bs,bts,tN使得bsCnbt,求cn的公比q.【解析】（i）方法一：因?yàn)檫诵?i），所以（升1）%=（"331）（"2），由-得，（/D'一點(diǎn)zEM+2葭-,+1電+2（秣+1）,即（"1）$一=（%+2）$4-1"1電斗乂”1）,又10,則*一二工$田2,即喂二%十？.在咚廣（中山邑+小+】）中令ni得，加"L即a?ai2.綜上，對(duì)任意nN*,都有一一%=

39、2,故數(shù)列an是以2為公差的等差數(shù)列.-皿優(yōu)=2月一2+口又aa,則軍方法二：因?yàn)?，所以Sx1MI以"，又saia,S則數(shù)列是以a為首項(xiàng)，i為公差的等差數(shù)列，n因此*=弱-1+口，即Z="+（。-1）匕n,a=SSrT=2w-2+a，“人，,當(dāng)n2時(shí)，1丘”-i，又aa也符合上式，,a=-24-ti|X*故GqI故對(duì)任意nN*,都有“一，即數(shù)列an是以2為公差的等差數(shù)列.一、a氏二1二1Tf八,“一一.一1H/W1+一令“q2打一二*口，則數(shù)列&是遞減數(shù)列，所以聽(tīng)立11jP_考察函數(shù)',因?yàn)?v=11=-,所以yX1在1,上遞增，因此X14Jf(L2仁7*7

40、,從而4=k+?產(chǎn)卜因?yàn)閷?duì)任意nN*,總存在數(shù)列H中的兩個(gè)不同項(xiàng)bs,bt,使得bsgbt,所以對(duì)任意的nN*都有有一一.,：二口g+2)，不符合題意，舍去;若0q1,當(dāng)打之1+1.a+2ua:+2a+2時(shí),有-,不符合題意，舍去;10.【江蘇省鎮(zhèn)江市2018屆高三上學(xué)期期末】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,對(duì)任意正整數(shù)n,總存在正數(shù)P，q，r使得anpn1,Snqnr恒成立：數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn,且對(duì)任意正整數(shù)n,2nbn恒成立.(1)求常數(shù)p,q,r的值；(2)證明數(shù)列bn為等差數(shù)列；2桂十區(qū)2言+6In2ni2司+九p=q2-+-|_|Z.(3)若b12,記"42al4.滬42二

41、4，是否存在正整數(shù)k,使得對(duì)任意正整數(shù)n,Pnk恒成立，若存在，求正整數(shù)k的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】(1)Snqnr%T=/f，n2,n1又anp2n2時(shí)，pqn3時(shí),p,q為正數(shù)Pq2.又ai1,Sii.(2)2Tnnbnn2時(shí)，2&T產(chǎn)一1）如,-得:狙=也-5-11如，即（,"2也=5-1）如，又.!>%=限，+得：（»2也=6-必+5-1）限1,即電=%十%bn為等差數(shù)列(3)b10,b22,由(2)知bn為等差數(shù)列bn2n2.n1又由（1）知an2-.-,_2n+274«-44n-24口4月+2又:一一.I：一：一：c12日十2

42、-4止2fo0得.2%七里t1=3+一式4,解得口1,In2n<.n1時(shí)，Pn1Pn0,即P2Pl,一一1n2時(shí)，2n4，342n,2”3+1二汩，即12-2-4*2202m2ji此時(shí)Pn1Pn,即-；二一，E的最大值為匕=2x22x2+2十彳222若存在正整數(shù)k,使得對(duì)任意正整數(shù)n,Pnk恒成立，則改王4以，正整數(shù)k的最小值為4.11.【江蘇省南通市2018屆高三上學(xué)期第一次調(diào)研】若數(shù)列an同時(shí)滿(mǎn)足：對(duì)于任意的正整數(shù)n,a1+口/=2二aa1an恒成立；對(duì)于給定的正整數(shù)k,旭-兄也用對(duì)于任意的正整數(shù)n(nk)恒成立，則稱(chēng)數(shù)列an是“Rk數(shù)列”.'-上聯(lián))奇就(1)已知4=2%號(hào)

43、為偶飄判斷數(shù)列為是否為“R2數(shù)列”，并說(shuō)明理由;(2)已知數(shù)列bn是“R3數(shù)列”，且存在整數(shù)p(p1),使得b3P3,b3p1,b3p1,b3P3成等差數(shù)列證明：bn是等差數(shù)列.【解析】(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，4+1-4=2("1)-12時(shí)1)=3>°,所以an1an.口虎一？十口曲工片12)1+2(總+2)1=2(2n-1J=.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，*-4=(蜂+1)-2"10,所以201an.口虎一工十口計(jì)二2(內(nèi)一2)+2(川+2)=4內(nèi)=2ar所以，數(shù)列an是“R2數(shù)列”.b+A-2b(2)由題意可得："三行三一.久則數(shù)列n,b4,b7,是等差數(shù)列，設(shè)

44、其公差為d1,數(shù)列b2,b3,b8,是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d2,數(shù)列4,be,bg,是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d3.因?yàn)閎n必1,所以務(wù)畔1“'4a,所以一,二.,所以心4）2-力，歡心-出）交-%+H._.-b1b2一一，、若d2di0,則當(dāng)n時(shí)，不成立；d2d1瓦一瓦4W若d2di0,則當(dāng),之_&時(shí)，不成立；若d2di0,則和都成立，所以did2.0=d,=d*=d同理得：did3,所以did2d3,記i，-.設(shè)一一1.-,則.-V'【-'二.同理可得：除-41，所以心乜二d-£.所以bn是等差數(shù)列.【另解】二.二.二一二-1-/二片杵I_=44pd_

45、（b?+1/-11dI=4一瓦+A/二冬六m_S*+i=&+pd74+pd）,以上三式相加可得：32d,所以2d,3所以：.-_,.30M=3+（題-l）d=d+d_/+5_l）d二4+（初一一l）g,尾支=&+1>T|d=瓦+/.+（耳-1）4=%+（n）g,所以4=4+(打-1)工，所以所以，數(shù)列bn是等差數(shù)列.12.【江蘇省南通市如皋中學(xué)2017-2018學(xué)年第一學(xué)期高三第二次階段測(cè)試】已知數(shù)列一、，一3an的首項(xiàng)a15(1)求證：數(shù)列1為等比數(shù)列；an11T1、S.Il-L4，一，(2)記鼻公仆，若S<100,求最大正整數(shù)n；(3)是否存在互不相等的正整數(shù)m

46、s,n,使ms,n成等差數(shù)列，且am1,as-1,an-1成等比數(shù)列？如果存在請(qǐng)給以證明；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(1)因?yàn)樗?又因?yàn)橐灰?w0,所以一一1w0(nCN).所以數(shù)列等比數(shù)列.(2)由(1)可得1"=彳,Ui，所以"=2片)"+1若S<100，則n+1<100，因?yàn)楹瘮?shù)y=n+1：?jiǎn)握{(diào)增，所以最大正整數(shù)n的值為99.dill(3)假設(shè)存在，則rm-n=2s,(am1)(an-1)=(as-1)2,因?yàn)閍n=m,所以(于”一七轉(zhuǎn)一1)=?1工7)2,化簡(jiǎn)得3m+3n=23s,因?yàn)?m+3n>2Y產(chǎn)=23s,當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)等號(hào)，又m

47、s,n互不相等，所以不存在.13.【江蘇省徐州市銅山中學(xué)2018屆高三第一學(xué)期期中】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿(mǎn)足Sn2an1,nN*,數(shù)列bn滿(mǎn)足地=心”，“曠，且。1.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式;(2)若“二%,框,數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和為T(mén)n,對(duì)任意的nN*,都有TnnSna,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(3)是否存在正正數(shù)m,n,使成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的m,n；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),5=2/-皿，所以a=1.當(dāng)n2時(shí)，Sn兩式相減得an八，一,anc2an1,又a1=1,所以2,an1從而數(shù)列an為首項(xiàng)ai=1，公比q=2的等比數(shù)列，從而數(shù)列an

48、的通項(xiàng)公式為an2n1由他宜一(為+1地=確+D兩邊同除以nn1,得b"從而數(shù)列一為首項(xiàng)匕1,公差d1的等差數(shù)列，所以如二n,2從而數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bnn(2)由(1)得J=緇=杵7旬雨-2Z；=lx2+2x2;+3x2s+L+5-=十徨乂丁由“口、-L=1-f2+22+L_21fMy二七三兩式相減得_.S=2a-1=2"-1由(1)得因?yàn)閷?duì)nN*,都有TnnSna,即("D?+lWX-1)-Q恒成立,a<2-K-1所以口_,司,恒成立，所以adnmin2n10,從而數(shù)列dn為遞增數(shù)列因?yàn)樾?口=尸-(甘+1)-1-(丁-丹-1)所以當(dāng)n=1時(shí)，dn取最

49、小值di=0，于是a0.(3)假設(shè)存在正整數(shù)m,n,使bi,am,bn(n1)成等差數(shù)列，則bi+bn=2am,即1n22m,若n為偶數(shù)，則in2為奇數(shù)，而2m為偶數(shù)，上式不成立.若n為奇數(shù)，設(shè)加=3一1(把3),則1+/二火筑一廳3"24于是即好/+i=當(dāng)m1時(shí)，k1,此時(shí)n=2k1=1與n1矛盾；當(dāng)m2時(shí)，上r式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，顯然不成立綜上所述，滿(mǎn)足條件的m,n不存在.14.【江蘇省無(wú)錫市普通高中2018屆高三上學(xué)期期中】已知數(shù)列an滿(mǎn)足現(xiàn)十3拉力為奇數(shù)，a2n,nN.%=1“5=匚6收_«為偶數(shù)，記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,bn(1)求證：數(shù)列bn為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)bn;(2)求Sn;(3)