1、近世代數(shù)課后習題參考答案第二章 群論1 群論1. 全體整數(shù)的集合對于普通減法來說是不是一個群?證 不是一個群, 因為不適合結(jié)合律.2. 舉一個有兩個元的群的例子.證 G 1, 1 對于普通乘法來說是一個群.3. 證明 , 我們也可以用條件1,2 以及下面的條件4',5'來作群的定義:4. . G 至少存在一個右單位元e ,能讓 ae a 對于 G 的任何元a 都成立5. . 對于 G 的每一個元a ,在 G 里至少存在一個右逆元a 1, 能讓aa 1 e證 (1) 一個右逆元一定是一個左逆元,意思是由aa 1 e 得 a 1a e'1'因為由 4 G 有元 a

2、能使 a a e所以 (a 1a )e ( a 1a)( a 1a ' )11'1'1' a (aa ) a a ea a a e即 a 1a e(2) 一個右恒等元e 一定也是一個左恒等元, 意即由 ae a 得 ea a11ea(aa )aa(a a ) ae a即ea a這樣就得到群的第二定義.(3) 證 ax b 可解取 x a 1b11a(a b) (aa )b be b這就得到群的第一定義.反過來有群的定義得到4 ',5'是不困難的.2 單位元,逆元,消去律1. 若群 G 的每一個元都適合方程x 2 e , 那么 G 就是交換群.證

3、由條件知G 中的任一元等于它的逆元, 因此對 a , b G 有 ab (ab ) 1 b 1 a 1 ba .2. 在一個有限群里階大于2 的元的個數(shù)是偶數(shù).證 (1) 先證 a 的階是 n 則 a 1 的階也是n . an e (a 1)n (an) 1 e 1 e若有 m n 使 (a 1)m e 即 (am ) 1 e 因而 am e 1 am e 這與 a 的階是 n 矛盾 . a 的階等于a 1 的階(2) 的階大于2 , 則 a a 1 若 a a 1 a 2 e 這與 a 的階大于2 矛盾11(3) a b 則 a b總起來可知階大于2 的元 a 與 a 雙雙出現(xiàn),因此有限群里

4、階大于2 的元的個數(shù)一定是偶數(shù)3. 假定 G 是個數(shù)一個階是偶數(shù)的有限群,在G 里階等于2 的元的個數(shù)一定是奇數(shù).證 根據(jù)上題知, 有限群G 里的元大于2 的個數(shù)是偶數(shù);因此階2 的元的個數(shù)仍是偶數(shù),但階是 1 的元只有單位元,所以階2 的元的個數(shù)一定是奇數(shù).4. 一個有限群的每一個元的階都是有限的證 aG故 a,a , ,a , ,a , GG 是有限群,所以這些元中至少有兩個元相等mn aa(m n) 故 an m en m 是整數(shù) , 因而 a 的階不超過它4 群的同態(tài)假定在兩個群G 和 G 的一個同態(tài)映射之下, a a ， a 和 a 的階是不是一定相同?證 不一定相同例如 G 1G

5、11i31 i3,對普通乘法G ,G 都作成群,且(x) 1 (這里x是G 的任意元, 1 是 G 的元 )3.可知 G G 1 i3 1 i3而 1 的階是 1 .5 變換群1. 假定 是集合的一個非一一變換, 會不會有一個左逆元1 , 使得 1?證 我們的回答是回有的A 1,2 ,3 , 1 : 1 121 1212332344345顯然是一個非一一變換但2. 假定 A 是所有實數(shù)作成 的集 合 .證明.所 有 A 的可以寫成 x ax b, a ,b 是有理數(shù) , a 0 形式的變換作成一個變換群.這個群是不是一個交換群?證 (1):xax b:xcxd: x c(ax b) d cax

6、 cb d ca , cb d 是有理數(shù)ca 0 是關(guān)閉的.(2) 顯然時候結(jié)合律(3) a 1 b 0 則 : x x(4) : ax b11b:x x ()aa 而 1 所以構(gòu)成變換群.又 1 :xx 12 :x2x1 2:x2(x1)2 1:x2x 1故 1 22 1 因而不是交換群.3. 假定 S 是一個集合A 的所有變換作成的集合,我們暫時仍用舊符號:a a'(a)來說明一個變換.證明,我們可以用1 2: a 1 2(a)1 2 (a) 來規(guī)定一個S 的乘法 ,這個乘法也適合結(jié)合律,并且對于這個乘法來說還是 S 的單位元.證 1 :a1(a)2 :a2(a)那么 1 2 :

7、a 1 2 (a)1 2 (a)顯然也是A 的一個變換.現(xiàn)在證這個乘法適合結(jié)合律:( 1 2) 3 :a ( 1 2) 3(a)1 2 3(a) 1( 2 3) :a 1 2 3(a)1 2 3(a) 故( 1 2) 31( 2 3)再證 還是 S 的單位元:a a (a): a (a)(a): a (a)(a)4 證明一個變換群的單位元一定是恒等變換。證 設(shè) 是是變換群G 的單位元G ， G 是變換群，故是一一變換，因此對集合A 的任意元a ，有 A 的元b ，:b a(b)(a)( (a) =(b)(b) a(a) a另證(x )1 (x )根據(jù) 1 .7. 習題 3知 1 (x) x(x

8、) x5 證明實數(shù)域上一切有逆的n n 矩陣乘法來說，作成一個群。證 G = 實數(shù)域上一切有逆的n n 矩陣 11A , B G 則 B 1 A 1 是 AB 的逆從而A, B G對矩陣乘法來說，G 當然適合結(jié)合律且E ( n 階的單位陣)是 G 的單位元。故 G 作成群。6 置換群1 . 找出所有S 3 的不能和( 122331 ) 交換的元.證 S3 不能和(122331 ) 交換的元有(113232), (122133), (132231) 這是難驗證的2 把 S3的所有的元寫成不相連的循環(huán)置換的乘積解 : S3的所有元用不相連的循環(huán)置換寫出來是(1), (12), (13), (23)

9、, (123), (132)證明 :(1) 兩個不相連的循環(huán)置換可以交換1(2) (i1i2ik) 1 (ikik 1 i1)i1i2 ikik 1ik 2 imim 1 in) i 1 i 2 ik ik 2i k 3 i k 1 im 1 in證 (1) (i1i2 ik)(ik 1 im) =(ii12ii23 iikkik11imiimmi1mi1n ini1 i2 iki k 1 ik 2 imi m 1 i n(i2i3 i1i k 2 ik 3 ik 1im 1 in )i1i2 ikik 1ik 2 im又(ik 1ik 2 im ) (i1i2 ik ) =(i1i2 iki

10、k 2ik 3 ik 1im 1=(i1i2ikik1ik 2imim 1 in ) 故 (i ii )( i i )(i i )(i ii )=(i2i3i1ik2ik 3ik 1im1 in ), (i1i2ik )( ik1 im )(ik1 im )(i1i2ik )im 1n i1i2 ikiin )(i2i3 i1ik 1imim 1ink 1imim 1in )證明一個(2) (i1i2 ik)(ikik 1 i1) (i1),故 (i1i2 ik) 1 (ikik 1 i1)證設(shè)K 一循環(huán)置換的階是K(i1i 2 ik )( i12i23 ik1 )( ii1 iik )i3

11、i2k1(ii11iikk1 )ii( i1 i k ) (i1)設(shè) h k,那么h(ii1h1ikih)(i1)證明Sn 的每一個元都可以寫成(12), (13),(1n) 這 n 1 個循環(huán)置換證 根據(jù) 2 6 定理。Sn 的每一個元都可以寫成若干不相干循環(huán)置換的乘積而我們又能證明(i1i 2ik )(i1i2)( i1i3 )(i1ik )同時有 (i1il)(1i1)(1il )(1i1 ) , 這樣就得到所要證明的結(jié)論。2i1 in1i1 ik則(i3 i1 )(i1 ik1)7 循環(huán)群1 證明 一個循環(huán)群一定是交換群。證 G (a)則 aman ammn a， annmanm aa

12、2 假設(shè)群的元a 的階是 n ，證明 ar 的階是 n 這里 d (r,n) 是 r 和 n 的最大公因子d證 因為 (r , n) d 所以 rdr1 , n dn1 , 而( r1 , n1 ) 13 . 假設(shè) a 生成一個階n 是的循環(huán)群G 。證明 ar 也生成 G ，假如 (r,n)1 (這就是說r 和 n 互素 )證 a 生成一個階n 是的循環(huán)群G ，可得生成元a 的階是 n ，這樣利用上題即得所證，或者，由于(r,n)1 有 sr tn 1sr tnsr tnr nra a a a (a ) 即 a (a )故 (a)(a)r4 假定 G 是循環(huán)群，并且G 與 G 同態(tài)，證明G 也

13、是循環(huán)群。證 有 2。 4。定理1 知 G 也是群，設(shè) G 且 (a) a ( 是同態(tài)滿射)b G 則存在 b G 使 (b) b b a k 因而 G G kk故 (ak) a 即 (b) a k因而 b a 即?=( ?)5假設(shè) G 是無限階的循環(huán)群，G 是任何循環(huán)群，證明G 與 G 同態(tài)。證 )設(shè) G 是無限階的循環(huán)群，G (a)G (a) 令 (a ) ass且 (as a ) a a a (as) (a )所以 G G)設(shè) G (a) 而 a 的階是 n 。k1令 ： ah1 a當且只當h1nq1 k1 ,0 k1 n 易 知 是 G 到 G 的一個滿射1 k1ah2ah2 nq2

14、k 0 k2 n設(shè) k1k2 nq k 則h1h2n(q1q2 ) k1 k2n(q1 q2 q) kk qk qk1 k2k1 k2那么a h1 a h2a a a a a aG G8 子群1 找出 S3 的所有子群證 S3= (1), (12 ), (13), (23 ), (123 ), (132 ) 的子群一定包含單位元(1) 。) S3 本身及只有單位元(1) 都是子群)包含(1) 和一個 2 一循環(huán)的集合一定是子群因(1)(ij ) (ij ), (ij )2(1)H 2= (1), (12) ， H 3 = (1), (13)， H 4= (1), (23) 亦為三個子群(1)

15、及兩個3循環(huán)置換的集合是一個子群(ijk )2 (ijk ) ， (ijk )( ikj )(1) H 5 = (1), (123 ), (132 ) 是子群，S3有以上 6 個子群，今證只有這6 個子群，) 包含 (1) 及兩個或三個2 循環(huán)置換的集合不是子群因(ij )( ik ) (ijk ) 不屬于此集合)若一集合中3 循環(huán)置換只有一個出現(xiàn)一定不是子群因 (ijk )2 (ikj )一個集合若出現(xiàn)兩個3循環(huán)置換及一個2 循環(huán)置換不是子群因 (ij )(ijk ) (ik)3循環(huán)置換及2循環(huán)置換都只有兩個出現(xiàn)的集合不是子群因若 (ij ), (ik ) 出現(xiàn)則 (ij )( ijk 0(

16、 jk )故 S3 有且只有6 個子群。2 .證明；群G 的兩個子群的交集也是G 的子群。證 H1, H 2是 G 的兩個子群，H H H 2H 顯然非空a ,b H 則 a, b H 1 同時 a ,b H 2因 H 1,H 2是子群，故ab 1 H 1，同時 ab 1 H 2所以 ab 1 H 1 H 2 H故 H 是 G 的子群3 取S3 的子集 S ( 12 ), (123 ) ， S 生成的子群包含哪些個元？一個群的兩個不同的子集不會生成相同的子群？證 (12)2(1) S(123 )2(132 ) S(12)(123 )(13) S(12 )(132 )(23 ) S 從而 SS3

17、群的兩個不同的子集會生成相同的子群S1( 123 ) S1 生成的子群為 (1), (123 ), (132 )S2( 132) S2生成的子群為 (1), (123 ), (132 ) 4 證明，循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。證 G =( a )是循環(huán)群，H 是 G 的子群kk設(shè) a H ，而 0 h k 時 a H 。任意 b H 則 b G 因而 b a m m kq r 0 r k mkq rkq ra a aa因 am H ， a kq (ak)q所以 H (ak) 是循環(huán)群.5 . 找出模 12 的剩余類加群的所有子群證 剩余類加群是循環(huán)群故其子群是循環(huán)群.G =0,1,11() (1)

18、(5)( 7)(11) G() H1(0)()(2)(10)即H 2 0,2,4,6,8,10()( 3)(9) 即 H3 0, 3,69()( 4)(8)即 H 4 0,4, 8( ) (6)即 H 5 0, 6有且只有以上6 個 子群 .6 . 假定 H 是群 G 的一個非空子集, 并且 H 的每一個元的階都有限, 證明 , H 作成子群的充要條件: a, b H 推出 ab H證 必要性顯然充分性 a, b H 推出 ab H ,(*) 所以只證a H 推出即可.a H , a 的階有限設(shè)為 mmm1a e 即 aa所以 a 1 am 1由 (*) 可知 am 1 H , 因而 a 1

19、H這樣 H 作成 G 的子群 .9 子群的陪群1. 證明階是素數(shù)的群一定是循環(huán)群證：設(shè)群G 的階是素數(shù)P ,則可找到a G 而 a e , 則a 的階 p ,根據(jù) 2.9.定理 3 知 n p, 但 p 是素數(shù),故 ,n p那么 a0,a1, a 證明階是p m 的群 ( p 是素數(shù) )一定包含一個階是p 的子群 .證：設(shè)階是p m 的群為 G , m 是正整數(shù), 可取 a G , 而 a e ,n1根據(jù) 2.9.定理 3, a的階是 pn 而 n m , 進一步可得ap 的階為 p .n1H (ap ) 是階為 p 的 G 的子群 . ap 1 是 G 的 P 個不同元,所以恰是P 的不同元

20、,故n p .3. 假定 a 和 b 是一個群G 的兩個元,并且ab ba ,又假定a 的階是 m ，b 的階 n 是并且 ( mn ) 1 . 證明: ab 的階是 mnmnmnmn mn證 a e,b e (ab ) a b e .r設(shè) (ab ) e. mr mr mr mr則 (ab) a b b e n mr ,(m, n) 1 nr nr nr故 n r. (ab) a b e m nr ,(m,n) 1故 m r 又 (m,n)1 mn r因此 ab 的階是 mn .4. 假 定 是一 個群 G 的 元 間的 一 個等 價關(guān) 系 ,并 且對 于 G 的 任意 三 個元 a,x,x

21、' 來說 ,ax ax' x x'證明與G 的單位元e等價的元所作成的集合為H證 由于是等價關(guān)系,故有 e e 即 e H .a,b, H ,則 a e,b e因而 ae aa 1 , be bb 1由題設(shè)可得e a 1 , e b 1由對稱律及推移律得b 1 a 1再由題設(shè)得ab 1 e即ab 1 H這就證明了H 是 G 的一個子群.5. 我們直接下右陪集Ha 的定義如下: Ha 剛好包含G 的可以寫成ha (h H )G 的每一個元屬于而且只屬于一個右陪集. 證 任取 a G 則 a ea Ha這就是說, G 的每一個元的確屬于一個右陪集若 x Ha , x Hb

22、則 x h1a,x h2b.11則h1a h2b , 因而 a h1 h2b , b h2 h1a11ha hh1 h2b, hbhh2 h1aHa Hb , Hb Ha 故 Ha=Hb這就證明了, G 的每一個元只屬于一個右陪集.6. 若我們把同構(gòu)的群看成是一樣的,一共只存在兩個階是4 的群 ,它們都是交換群.證 設(shè) G 是階為 4 的群.那么G 的元的階只能是1, 2,4 .1 若 G 有一個元的階為4 , 則 G 為循環(huán)群;2 . 若 G 有一個元的階為2 ,則除單位元外,其他二元的階亦均未2 .就同構(gòu)的觀點看階為4 的群,只有兩個; 由下表看出這樣的群的確存在 . 循環(huán)群0 1 2 3

23、00123112302230133012非循環(huán)群e a b ceeabcaaecbbbceaccbae循環(huán)群是交換群，由乘法表看出是交換群10 不變子群、商群1. 假定群 G 的不變子群N 的階是 2 , 證明 , G 的中心包含N .證 設(shè) N e, nN 是不變子群, 對于任意a G 有1ana N若 ana 1 e 則 an a ， n e 矛盾ana 1 n 則 an na即 n 是中心元.又 e 是中心元顯然.故 G 的中心包含N .2. 證明 , 兩個不變子群的交集還是不變子群令證 N N1 N2 ,則 N 是 G 的子群 .111n N n N 1 及 n N2 ， ana N

24、1 ,ana N 2 ana N故 N 是不變子群.3. 證明:指數(shù)是2 的子群一定是不變子群證 設(shè)群 H 的指數(shù)是2則 H 的右陪集為He , HaH 的左陪集為eH , aHHe eH由 He Ha eH aH 易知 Ha aH因此不論x 是否屬于H 均有 Hx xH4. 假定 H 是 G 的子群 , N 是 G 的不變子群,證明 HN 是 G 的子群。證 任取h1n 1HN , h 2 n 2 HN(h1n1)(h2n2)h1(n1h2)n2 h1(h2n3)n3(h1h2)n1n2HN ,hn HN1 121 21111(hn) n h Nh h N11'(hn) h n HN

25、 .至于 HN 非空是顯然的!HN 是 G 的子群 .5. 列舉證明,G 的不變子群N 的不變子群1 未必是 G 的不變子群(取 G=!)證 取 G S4N 1 , 12 34 , 13 24 , 14 23N 11 , 14 23易知 N 是 G 的子群 , N 1 是 N 的子群我們說 iNi 是 i G 的不變子群 i, 這是因為 i ' i ' i ' i '''''i1i2 i3i4123411 i2i3i4i1i2i3i4此即說明i1i 2 ai3nia4 1 N ,a G , n N .因為 N 是階為 4 的群 ,

26、所以為交換群,故其子群N1是不變子群.但 N1 卻不是 G 的不變子群,原因是 :34 1 14 23 3413 24 N 16. 一個群 G 的可以寫成a 1b 1ab !形式的元叫做換位子.證明 :i)所有的有限個換位子的乘積作成的集合C 是 G 的一個不變子群;ii)G/C 是交換群;111) 若 N 是 G 的一個不變子群,并且G/N 是交換群,那么N C證 i) e 顯然是有限個換位子的乘積;11 e e e ee 故 e C(有限個換位子的乘積) (有限個換位子的乘積)=有限個換位子的乘積,故 C對 G 的乘法是閉的.由于 a 1b 1 ab 1 b 1a 1 ba 1 是換位子,

27、故 (有限個換位子的乘積)的逆仍為(有限個換位子的乘積)即有c 1 C, 故 C 是子群 ;c C,g C由 gcg 1 C 有 gcg 1c 1 c C 1即 gcg C 所以 C 是不變子群.(ii) x 、 y G c C x 1 y 1 xy c 就有 xy yxc 故 xy yxC 1 因而xyC yxC即 ( xC )( yC )( yC )( xC )所以G N 是交換子群;(iii) 因 G/N 是交換子群 就有 (xN )( yN ) (yN )(xN )(xy ) N ( yx ) Nxy yxNxy yxn n N 因此 x 1 y 1 xy N又由于 N 是子群,所以 N 包含有限個換位子的乘積,即N C.11 同態(tài)與不變子群1 我們看一個集合A 到集合 A 的滿射,證明, 若 S 是 S 的逆象 , S 一定是 S 的象;但若S 的 S 的象 , S 不一定是S 的逆象 .證 ) 在 之下的象一定是S ;若有 S 的元 s 在 之下的象s S ,則 s有兩個不同的象,故矛盾又 S 的逆象是