1、在求一個(gè)數(shù)字矩陣在求一個(gè)數(shù)字矩陣 A 的特征值和特征向量時(shí)曾的特征值和特征向量時(shí)曾出現(xiàn)過(guò)出現(xiàn)過(guò) - 矩陣矩陣 E - A，我們稱它為，我們稱它為 A 的特征矩陣的特征矩陣.這一節(jié)的主要結(jié)果是證明兩個(gè)這一節(jié)的主要結(jié)果是證明兩個(gè) n n 數(shù)字矩陣數(shù)字矩陣 A 和和B 相似的充分必要條件是它們的特征矩陣相似的充分必要條件是它們的特征矩陣 E - A和和 E - B 等價(jià)等價(jià). 為了證明這一結(jié)論，先來(lái)證明下面為了證明這一結(jié)論，先來(lái)證明下面兩個(gè)引理兩個(gè)引理. 因因 P0( E - B ) Q0 = P0Q0 - P0BQ0 ，它又與它又與 E - A 相等，進(jìn)行比較后應(yīng)有相等，進(jìn)行比較后應(yīng)有P0Q0 =

2、 E， P0BQ0 = A .由此由此 Q0 = P0-1，而，而 A = P0BP0-1 .故故 A 與與 B 相似相似. 把把 U( ) 改寫(xiě)成改寫(xiě)成U( ) = D0 m + D1 m -1 + + Dm -1 + Dm .這里這里 D0 , D1 , , Dm 都是都是 n n 數(shù)字矩陣，而且數(shù)字矩陣，而且D0 0 . 如如 m = 0，則令，則令 Q( ) = 0 及及 U0 = D0 ，它，它們顯然滿足引理們顯然滿足引理 2 要求要求.設(shè)設(shè) m 0，令，令Q( ) = Q0 m -1 + Q1 m -2 + + Qm -2 + Qm -1 .這里這里 Qj 都是待定的數(shù)字矩陣都是待

3、定的數(shù)字矩陣.于是于是( E - A ) Q( ) = Q0 m + (Q1 - AQ0) m -1 + .+ (Qk - AQk-1) m -k + .+ (Qm -1 - AQm -2) - AQm - 1 . 要想使等式要想使等式U( ) = ( E - A ) Q( ) + U0成立，只需取成立，只需取Q0 = D0 ，Q1 = D1 + AQ0 ，Q2 = D2 + AQ1 ， Qk = Dk + AQk-1 ， Qm-1 = Dm-1 + AQm-2 ，U0 = Dm + AQm-1 .就行了就行了. 用完全相同的辦法可以求得用完全相同的辦法可以求得 R( ) 和和 V0 .由由可

4、知可知 E - A 與與 E - B 等價(jià)就是有可逆的等價(jià)就是有可逆的 - 矩陣矩陣 U( ) 和和 V( ) 使使 E - A = U( ) ( E - B ) V( ) . (4)先證先證設(shè)設(shè) A 與與 B 相似，即有可逆矩陣相似，即有可逆矩陣 T使使 A = T-1BT .于是于是 E - A = E - T-1BT = T-1 ( E - B ) T ，從而從而 E - A 與與 E - B 等價(jià)等價(jià).再證再證設(shè)設(shè) E - A 與與 E - B 等價(jià)，即有等價(jià)，即有可逆的可逆的 - 矩陣矩陣 U( ) 和和 V( ) 使使 E - A = U( ) ( E - B ) V( ) (4)

5、成立成立. 由由存在存在 - 矩陣矩陣 Q( ) 和和 R( )以及數(shù)字矩陣以及數(shù)字矩陣 U0 和和 V0 使使U( ) = ( E - A ) Q( ) + U0 ， (5)V( ) = R( ) ( E - A ) + V0 ， (6)成立成立. 把把 E - A = U( ) ( E - B ) V( )改寫(xiě)成改寫(xiě)成U-1( )( E - A)= ( E - B ) V( ) ，式中的式中的 V( ) 用用 (6) 代入，再移項(xiàng)，得代入，再移項(xiàng)，得U-1( ) - ( E - B) R( ) ( E - A) = ( E - B) V0 .右端次數(shù)等于右端次數(shù)等于 1 或或 V0 = O

6、，因此，因此U-1( ) - ( E - B) R( )是一個(gè)數(shù)字矩陣是一個(gè)數(shù)字矩陣(后一種情況下應(yīng)是零矩陣后一種情況下應(yīng)是零矩陣)，記作，記作T，即，即T = U-1( ) - ( E - B) R( )，T ( E - A) = ( E - B) V0 . (7)現(xiàn)在我們來(lái)證明現(xiàn)在我們來(lái)證明 T 是可逆的是可逆的.(由由 )由由T = U-1( ) - ( E - B) R( )，得得E = U( )T + U( ) ( E - B) R( )= U( )T + ( E - A) V-1( ) R( ) (由由 )=( E - A) Q( ) + U0T+ ( E - A) V-1( )

7、R( )= U0T + ( E - A) Q( ) T + V-1( ) R( ) .等式右端的第二項(xiàng)必須為零，否則它的次數(shù)至少等式右端的第二項(xiàng)必須為零，否則它的次數(shù)至少是是 1，由于，由于 E 和和 U0T 都是數(shù)字矩陣，等式不可能成都是數(shù)字矩陣，等式不可能成立立. 因此因此E = U0T .這就是說(shuō)，這就是說(shuō)，T 是可逆的是可逆的. 由由的第二式得的第二式得 E - A = T-1( E - B )V0 .再由再由知，知，A 與與 B 相似相似.矩陣矩陣 A 的特征矩陣的特征矩陣 E - A 的不變因子以后就的不變因子以后就簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為 A 的不變因子的不變因子. 因?yàn)閮蓚€(gè)因?yàn)閮蓚€(gè) - 矩陣等價(jià)的充矩陣等價(jià)的充分必要條件是它們有相同的不變因子，所以由定理分必要條件是它們有相同的不變因子，所以由定理7 即得即得 應(yīng)該指出應(yīng)該指出 n n 矩陣的特征矩陣的秩一定是矩陣的特征矩陣的秩一定是 n.因此，因此，n n 矩陣的不變因子總是有矩陣的不變因子總是有 n 個(gè)，并且它個(gè)，并且它們的乘積就等于這個(gè)矩陣的特征多項(xiàng)式們的乘積就等于這個(gè)矩陣的特征多項(xiàng)式.以上結(jié)果說(shuō)明，不變因子是矩陣的相似不