1、1第四章 級數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 復數(shù)項級數(shù)復數(shù)項級數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)2第二節(jié)第二節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)二、冪級數(shù)的斂散性二、冪級數(shù)的斂散性三、冪級數(shù)的運算和性質三、冪級數(shù)的運算和性質一、冪級數(shù)的概念一、冪級數(shù)的概念3一、冪級數(shù)的概念一、冪級數(shù)的概念 22100)()()(azcazccazcnnn.zczczcczcnnnnn 22101或或這種級數(shù)稱為這種級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù).4二、冪級數(shù)的斂散性二、冪級數(shù)的斂散性1.收斂定理收斂定理(阿貝爾阿貝爾Abel定理定理)如果級數(shù)如果級數(shù) 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz

2、, z在在收斂收斂, z那末對那末對的的級數(shù)必絕對收斂級數(shù)必絕對收斂, 如果如果在在級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散, 那末對滿足那末對滿足的的級數(shù)必發(fā)散級數(shù)必發(fā)散.滿足滿足5xyo . .R收斂圓收斂圓收斂半徑收斂半徑冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnzc的收斂范圍是以原點為中心的圓域的收斂范圍是以原點為中心的圓域.2. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑63. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法方法方法: 比值法比值法( (定理二定理二) ):, 0lim 1 nnncc如如果果那末收斂半徑那末收斂半徑.1 R注意注意:nnncc1lim 存在且不為零存在且不為零 .定理中極限定理中極限說明說明: 0 0 RR如果如果7pn

3、nnnnncc)1(limlim1 . 11 R所以所以答案答案，因為因為pnnc1 課堂練習課堂練習 試求冪級數(shù)試求冪級數(shù) 1npnnz)( 為為正正整整數(shù)數(shù)p的收斂半徑的收斂半徑.pnn)11(1lim . 1 8 00)(nnnzzc定理四定理四設冪級數(shù)設冪級數(shù)的收斂半徑為的收斂半徑為,R那末那末(2)(zf在收斂圓在收斂圓Raz 內的導數(shù)可將其冪內的導數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導得到級數(shù)逐項求導得到, .)()(11 nnnaznczf即即是收斂圓是收斂圓Raz 內的解析函數(shù)內的解析函數(shù) . 0)()( nnnazczf它的和函數(shù)它的和函數(shù)(1)三、冪級數(shù)的運算和性質三、冪級數(shù)的運算和性質9

4、(3)(zf在收斂圓內可以逐項積分在收斂圓內可以逐項積分, 0.,d)(d )(ncnncRazczazczzf 01.)(1d)( nnnzaazncf 或或簡言之簡言之: 在收斂圓內在收斂圓內, , 冪級數(shù)的和函數(shù)解析冪級數(shù)的和函數(shù)解析; 冪級數(shù)可逐項求導冪級數(shù)可逐項求導, , 逐項積分逐項積分. .(常用于求和函數(shù)常用于求和函數(shù))即即10第三節(jié)第三節(jié) 泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)一、泰勒定理二、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)三、典型例題11一、泰勒定理一、泰勒定理, 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒級數(shù)泰勒級數(shù)泰勒展開式泰勒展開式定理定理設設)(zf在區(qū)域在區(qū)域D內解析內解析,0z

5、為為D 內的一內的一d為為0z到到D的邊界上各點的最短距離的邊界上各點的最短距離, 那末那末點點,dzz 0時時, 00)()(nnnzzczf成立成立,當當12說明說明:1.1.任何解析函數(shù)在一點的泰勒級數(shù)是唯一的任何解析函數(shù)在一點的泰勒級數(shù)是唯一的. . 2. 如果如果 f (z)在在z0解析解析, , 則使則使 f (z)在在z0的的泰勒展泰勒展開式成立的圓域的半徑開式成立的圓域的半徑 R等于從等于從z0到到 f (z)的距的距z0最近一個奇點最近一個奇點 的距離的距離, , 即即R=| z0|. 13二、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)二、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)常用方法常用方法: 直接法和間接法直接

6、法和間接法. .1.直接法直接法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù)在在將函數(shù)將函數(shù)zzf由泰勒展開定理計算系數(shù)由泰勒展開定理計算系數(shù)14例如，例如，. 0 的的泰泰勒勒展展開開式式在在求求 zez),2,1 ,0(,1)(0)( neznz故有故有 02! 21nnnznznzzze, 在復平面內處處解析在復平面內處處解析因為因為ze. R所以級數(shù)的收斂半徑所以級數(shù)的收斂半徑,)( )(znzee 因因為為15仿照上例仿照上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242

7、 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的泰勒展開式的泰勒展開式在在與與可得可得 zzz162. 間接展開法間接展開法 : 借助于一些已知函數(shù)的展開式借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結合解析結合解析函數(shù)的性質函數(shù)的性質, 冪級數(shù)運算性質冪級數(shù)運算性質 (逐項求導逐項求導, 積分積分等等)和其它數(shù)學技巧和其它數(shù)學技巧 (代換等代換等) , 求函數(shù)的泰勒展求函數(shù)的泰勒展開式開式.17例如，例如， . 0 sin 的泰勒展開式的泰勒展開式在在利用間接展開法求利用間接展開法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi18附

8、附: 常見函數(shù)的泰勒展開式常見函數(shù)的泰勒展開式,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z19,)!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!)1()1( nznn )1( z20例例1 1. )1 (1 2的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成把把

9、函函數(shù)數(shù)zz 解解 nnzzzz) 1(11121 z三、典型例題三、典型例題, 11)1(12 zzz上有一奇點上有一奇點在在由于由于,1內處處解析內處處解析且在且在 z,的冪級數(shù)的冪級數(shù)可展開成可展開成 z21 zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式兩邊逐項求導上式兩邊逐項求導,22例例2 2. 0 )1ln( 泰泰勒勒展展開開式式處處的的在在求求對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的主主值值 zz分析分析, 1 , 1 )1ln( 是它的一個奇點是它的一個奇點平面內是解析的平面內是解析的向左沿負實軸剪開的向左沿負實軸剪開的在從在從 z. 1 的的冪冪級級數(shù)數(shù)內內可可以以展展開開

10、成成所所以以它它在在zz 如圖如圖,1 Ro1 1xy23zzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 將展開式兩端沿將展開式兩端沿 C 逐項積分逐項積分, 得得解解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的曲線的曲線到到內從內從為收斂圓為收斂圓設設zzC 24例例3 3. 231)( 的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成把把函函數(shù)數(shù)zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即25例例

11、4 4.cos2的的冪冪級級數(shù)數(shù)求求z解解),2cos1(21cos2zz 因為因為 ! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 221664422)2cos1(21cos2zz 所所以以 zzzz! 62! 42! 2216543226第四節(jié)第四節(jié) 洛朗級數(shù)洛朗級數(shù)二、洛朗級數(shù)的概念三、函數(shù)的洛朗展開式一、問題的引入四、典型例題27一、問題的引入一、問題的引入問題問題: . , )( 00的的冪冪級級數(shù)數(shù)是是否否能能表表示示為為不不解解析析在在如如果果zzzzf :10 內內在在圓圓環(huán)環(huán)域域 z例如，例如，10)1(1)( zzzzzf及及在在都

12、不解析都不解析,但在圓環(huán)域但在圓環(huán)域10 z及及110 z內都是解析的內都是解析的.)1(1)(zzzf ,111zz 28所以所以)1(1)(zzzf ,121 nzzzz即即在在)(zf10 z內可以展開成級數(shù)內可以展開成級數(shù).內內，在在圓圓環(huán)環(huán)域域110 z也可以展開成級數(shù)：也可以展開成級數(shù)：)1(1)(zzzf .)1()1()1(1)1(121 nzzzz nzzzz)1()1()1(1112 )1(1111zz29nnnzzc)(. 10 雙邊冪級數(shù)雙邊冪級數(shù)負冪項部分負冪項部分正冪項部分正冪項部分主要部分主要部分解析部分解析部分同時收斂同時收斂收斂收斂 nnnnzzc)(0nnn

13、nnnzzczzc)()(0001 302.結論結論:的的收收斂斂區(qū)區(qū)域域為為雙雙邊邊冪冪級級數(shù)數(shù)nnnzzc)(0 .201RzzR 圓圓環(huán)環(huán)域域1R2R.0z常見的特殊圓環(huán)域常見的特殊圓環(huán)域: :2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z31二、洛朗級數(shù)的概念二、洛朗級數(shù)的概念定理定理內內處處處處解解析析，在在圓圓環(huán)環(huán)域域設設 )( 201RzzRzf ,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(21 10其中其中),1,0( nC為圓環(huán)域內繞為圓環(huán)域內繞 的任一正向簡單閉曲線的任一正向簡單閉曲線. 0z為洛朗系數(shù)為洛朗系數(shù).內內可可展展開開成成洛洛朗朗級級

14、數(shù)數(shù)在在那那末末Dzf )( 32說明說明:函數(shù)函數(shù))(zf在圓環(huán)域內的在圓環(huán)域內的洛朗展開式洛朗展開式)(zf在圓環(huán)域內的在圓環(huán)域內的洛朗洛朗(Laurent)級數(shù)級數(shù). nnnzzczf)()(0 1) 2) 某一圓環(huán)域內的解析函數(shù)展開為含有正、負某一圓環(huán)域內的解析函數(shù)展開為含有正、負冪項的級數(shù)是唯一的，冪項的級數(shù)是唯一的， 這就是這就是 f (z) 的洛朗級數(shù)的洛朗級數(shù). 定理給出了將圓環(huán)域內解析的函數(shù)展為洛朗級數(shù)定理給出了將圓環(huán)域內解析的函數(shù)展為洛朗級數(shù)的一般方法的一般方法. .33三、函數(shù)的洛朗展開式三、函數(shù)的洛朗展開式1. 直接展開法直接展開法利用定理公式計算系數(shù)利用定理公式計算系

15、數(shù)nc), 2, 1, 0(d)()(2110 nzficCnn 然后寫出然后寫出.)()(0nnnzzczf 缺點缺點: 計算往往很麻煩計算往往很麻煩.根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性根據(jù)正、負冪項組成的的級數(shù)的唯一性, 可可用代數(shù)運算、代換、求導和積分等方法去展開用代數(shù)運算、代換、求導和積分等方法去展開 .2. 間接展開法間接展開法34四、典型例題四、典型例題例例1 1 : )2)(1(1)( 在在圓圓環(huán)環(huán)域域函函數(shù)數(shù) zzzf;10)1 z;21)2 z.2)3 z內是處處解析的內是處處解析的,試把試把 f (z) 在這些區(qū)域內展開成洛朗級數(shù)在這些區(qū)域內展開成洛朗級數(shù).解解,)2(1)

16、1(1)(zzzf , 10 )1內內在在 z35oxy1,1 z由由于于 nzzzz2111則則2112121zz )( zf所以所以)1(2 zz 421212zz 2874321zz12 z從而從而 nnzzz2221212236 , 21 )2內內在在 z12oxyzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz2221212237)( zf于是于是 21111zzz 2222121zz 842111121zzzzznn, 2 )3內內在在 z2oxy2 z由由12 z此時此時zzz211121 38 24211zzz,

17、121 zz此時此時仍有仍有zzz111111 21111zzz)( zf故故 24211zzz 21111zzz.731432 zzz39例例2 2, 0 內內在在 z. )( 2展開成洛朗級數(shù)展開成洛朗級數(shù)將將zezfz 解解 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圓環(huán)域的中心本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 既是各負冪項的奇點既是各負冪項的奇點,. 2的奇點的奇點也是函數(shù)也是函數(shù)zez40解解 ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz本例中圓環(huán)域的中心本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 既是各負冪項的奇點既是各負冪項的奇點,