1、第一章第一章 函數與極限章主要內容小結一、函數1、函數的概念定義：設，函數為特殊的映射：，其中，為定義域，為值域，圖形C： （一般為平面曲線），決定函數的因素是定義域與對應法則。2、函數的特性：單調性、奇偶性、有界性、周期性。3、設函數為單射，反函數為其逆映射 。 4、復合函數：給定函數鏈，則復合函數為 。5、初等函數：常數及基本初等函數經有限次四則運算與復合而成的能用一個式子表示的函數。 2、 極限1、極限定義的等價形式（以為例）（即為無窮?。?，有。2、極限存在準則及極限的運算法則極限存在準則：（1）夾逼準則（用于證明一些不能直接求出的數列與函數的極限，關鍵是將函數放縮，使放大與縮小后的函數

2、極限值相同，進而夾在中間的函數的極限值也是同一個值）；（2）單調有界數列必有極限（可用于判定數列極限的存在性，但求不出極限值）。極限的運算法則：（略）3、無窮大與無窮小無窮大與無窮小的定義與關系，無窮小的性質，無窮小的階的比較（高階、低階、同階、等價）。常用等價無窮?。寒敃r，有下列等價替換：4、兩個重要極限：；或。5、求極限的基本方法：利用定義求極限；利用運算法則求極限；利用極限存在準則求極限；利用重要極限求極限；利用等價無窮小的替換定理求極限；利用連續(xù)函數求極限。在求極限時，需將初等運算（有理化、三角恒等變形等）與上述方法交叉使用。6、判斷極限不存在的方法：無界函數；左右極限不相等；取兩個子

3、數列其極限值不相等；取一個子數列極限值不存在。三、連續(xù)與間斷1、函數連續(xù)的等價形式：，使當時，有判定函數在一點的連續(xù)性可選用上述一種形式。2、函數在點連續(xù)要求滿足：有定義；存在；上述三條若有一條不滿足，則點為函數的間斷點。根據不滿足的情況可將間斷點分類如下：函數間斷點函數的間斷點可能會出現在分段函數的分段點上、函數無意義的邊界點上。對分段點，若以大于、等于、小于來分段，則需討論左右極限與函數值及其關系；若以等于、不等于來分段，只需討論極限值與函數值及其關系。3、閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質：有界定理、最值定理、介值定理、零點定理。這里的性質一定要滿足閉區(qū)間與連續(xù)函數兩個條件。本部分的重點是介值定理與

4、零點定理，會做圍繞介值定理與零點定理的證明題。舉例例1 設函數 ，求解：本問題是關于分段函數的復合，要求熟悉分段函數與復合函數。 例2 設，其中，求。解：本例是求函數值的問題，一般有配方法與換元法，此處采用的是換元法。 令 ，則，代入原方程得，即， 令，則，代入上式得，即 ，聯(lián)立畫線三式得：。例3 求下列極限（1）； （2）； （3）；（4）； （5）；（6）； （7）（2000年考研題）（8）； （9）。解：本部分求極限用到三角函數的運算公式、變量代換、分式有理化、代數式的化簡等初等運算，并利用極限的運算法則、極限存在準則、重要極限及無窮小的等價替換等方法。（1）所以。（2）。（3）。（4）

5、。（5）（6）因為所以又，故。（7）解：，所以原式=1。（8）解：對極限，令則，由夾逼準則得（9）解：=。例4 確定常數，使。解：原式，即，故，即， 例5 當時，是的幾階無窮?。拷猓涸O其為的階無窮小，則因為，即。例6 設，證明數列的極限存在，并求此極限（2002年考研題）。證明：本類型的題需證明數列單調有界，先證明有界性，有，且設，則，故數列有上界且恒正，下證的單調性，可用差值法或比值法，差值法：，數列單增，比值法：，數列單增，綜上數列單調遞增有上界，必有極限，設，則，解得,（舍去），故。例7 設函數在連續(xù)，則 ， 。解：，故，即。例8 求的間斷點，并判斷其類型。解：，所以為第一類可去間斷點，

6、所以為第二類無窮間斷點，所以為第一類跳躍間斷點。例9 設函數有無窮間斷點及可去間斷點，試確定常數及。解：因為為無窮間斷點，所以，因為為可去間斷點，所以極限存在，。例10 討論函數的連續(xù)性，若有間斷點，指出其類型。解：此類題目需先求函數的表達式，為第一類跳躍間斷點，函數除外處處連續(xù)。例11 設，求。解：當時，而，故，由等價替換定理有當時，。例12 證明方程至少有一個不超過的正根。證明：令，則在上連續(xù)，且，由知，若，則由得，故是方程的根；若，則由零點定理，至少存在一點，使，故是方程的根；縱上可知，方程至少有一個不超過的正根。例13 設定義在區(qū)間上，且對任意實數有，若在連續(xù)，證明對任意都連續(xù)。證明：。例14 若在內連續(xù)，存在，則必在內有界。證