1、1通知通知 控制工程基礎(chǔ)課預(yù)定于 16周 周2下午7-8節(jié)考試（閉卷），具體考場安排隨后通知。 2控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)安排實(shí)驗(yàn)安排時(shí)間安排時(shí)間安排： B130309-10班：第班：第12周、周六周、周六 上午上午 8:30開始開始 B130311班：第班：第12周、周六周、周六 下午下午 2:00開始開始 地地 點(diǎn)點(diǎn)：西區(qū)西區(qū) 實(shí)驗(yàn)樓實(shí)驗(yàn)樓C-309 指導(dǎo)老師指導(dǎo)老師：劉老師劉老師實(shí)驗(yàn)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)內(nèi)容： 實(shí)驗(yàn)一實(shí)驗(yàn)一： 控制系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)的模擬控制系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)的模擬 實(shí)驗(yàn)二實(shí)驗(yàn)二： 一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)一階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng) 實(shí)驗(yàn)三實(shí)驗(yàn)三： 二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)3控制系統(tǒng)有三個(gè)基本

2、要求：控制系統(tǒng)有三個(gè)基本要求： 穩(wěn)、準(zhǔn)、快穩(wěn)、準(zhǔn)、快XK26/26-60-500XK26/26-60-500重型數(shù)控五軸雙龍門鏜銑床重型數(shù)控五軸雙龍門鏜銑床評價(jià)評價(jià)準(zhǔn)確性準(zhǔn)確性: : 穩(wěn)態(tài)誤差來衡量。穩(wěn)態(tài)誤差來衡量。評價(jià)評價(jià)快速性快速性：上升時(shí)間、調(diào)整時(shí)間、頻寬等性能指標(biāo)來衡量。：上升時(shí)間、調(diào)整時(shí)間、頻寬等性能指標(biāo)來衡量。頻頻域域分分析析法法時(shí)時(shí)域域分分析析法法準(zhǔn)準(zhǔn)和和快快4第第5章章 系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念 RouthRouth（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)（勞斯）穩(wěn)定判據(jù) HurwizeHurwize（胡爾維茨）穩(wěn)定判據(jù)（胡爾維茨）穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性系統(tǒng)的相對

3、穩(wěn)定性 作業(yè)作業(yè)：5.1、5.2、 5.4(2)、5.9(1)5 1. 1. 理解系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念；理解系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念； 2. 2. 掌握掌握RouthRouth穩(wěn)定判據(jù)；穩(wěn)定判據(jù)； 3. 3. 熟悉熟悉NyquistNyquist穩(wěn)定判據(jù)；穩(wěn)定判據(jù)； 4. 4. 理解穩(wěn)定程度的概念。理解穩(wěn)定程度的概念。教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)1. 1. 系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別方法；系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別方法；2. 2. 衡量系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標(biāo)。衡量系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標(biāo)。教學(xué)目的、要求教學(xué)目的、要求6u 穩(wěn)定性實(shí)例穩(wěn)定性實(shí)例 5-1 5-1 系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念 1940 1940年年1111月月7 7日，一

4、陣日，一陣風(fēng)引起了橋的晃動(dòng)，而且晃動(dòng)風(fēng)引起了橋的晃動(dòng)，而且晃動(dòng)越來越大，直到整座橋斷裂。越來越大，直到整座橋斷裂。 跨越華盛頓州塔科馬峽谷跨越華盛頓州塔科馬峽谷的首座大橋，開通于的首座大橋，開通于19401940年年7 7月月1 1日。只要有風(fēng)，這座大橋日。只要有風(fēng)，這座大橋就會(huì)晃動(dòng)。就會(huì)晃動(dòng)。7 系統(tǒng)在受到外界干擾作用時(shí)，其被控制量將系統(tǒng)在受到外界干擾作用時(shí)，其被控制量將偏離偏離平衡位置，平衡位置，當(dāng)當(dāng)這個(gè)干擾作用去除后這個(gè)干擾作用去除后，若系統(tǒng)在足夠長的時(shí)間內(nèi)能夠恢復(fù)到其，若系統(tǒng)在足夠長的時(shí)間內(nèi)能夠恢復(fù)到其原來原來的平衡狀態(tài)的平衡狀態(tài)或者趨于一個(gè)給定的或者趨于一個(gè)給定的新的平衡狀態(tài)新的平衡

5、狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 線性系統(tǒng)的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的取決于系統(tǒng)的固有特征固有特征，與系統(tǒng)的輸入信號(hào)，與系統(tǒng)的輸入信號(hào)或干擾無關(guān)。或干擾無關(guān)。 n 臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存：若系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。n 說明說明：經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定視為不穩(wěn)定。：經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定視為不穩(wěn)定。u 穩(wěn)定性定義：穩(wěn)定性定義：u 穩(wěn)定性判定：穩(wěn)定性判定： 當(dāng)系統(tǒng)去除外界信號(hào)之后當(dāng)系統(tǒng)去除外界信號(hào)之后，若系統(tǒng)在足夠

6、長的時(shí)間內(nèi)能夠恢，若系統(tǒng)在足夠長的時(shí)間內(nèi)能夠恢復(fù)到其復(fù)到其原來的平衡狀態(tài)原來的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。85-2 5-2 穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件 描述線性定常系統(tǒng)的微分方程描述線性定常系統(tǒng)的微分方程( )(1)110()(1)110( )( ).( )( )( )( ).( )( )nnnnmmmma ytayta y ta y tb xtbxtb x tb x t式中，式中，x為輸入，為輸入，y為輸出，為輸出，ai，bj為常數(shù)。為常數(shù)。方程兩邊進(jìn)行拉氏變換方程兩邊進(jìn)行拉氏變換：1100() ( )( )nnnna sasa Y sA s左邊左邊0( ) ( )

7、( )A s Y sA s0( )( )( )B s X sB s1100()( )( )mmmmb sbsb X sB s右邊右邊900( )( )( )( )( )( )( )A sB sB sY sX sA sA s對以上方程兩邊進(jìn)行拉氏反變換：對以上方程兩邊進(jìn)行拉氏反變換：11100( )( )( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )ciA sB sB sy tLY sLLX sy ty tA sA s( )cy t稱為補(bǔ)函數(shù)，與初始條件有關(guān)，而與輸入或干擾無關(guān)稱為補(bǔ)函數(shù)，與初始條件有關(guān)，而與輸入或干擾無關(guān) 00011111innp tiiciiiiiNsNpNpytLLe

8、A sApspAp( )iy t稱為特解函數(shù)，與輸入有關(guān)，為穩(wěn)態(tài)輸出稱為特解函數(shù)，與輸入有關(guān)，為穩(wěn)態(tài)輸出 1iB sytLX sA s00( ) ( )( )( )( )( )A s Y sA sB s X sB st 0cyt 系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定t cyt 系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定或是時(shí)間或是時(shí)間t的周期的周期函數(shù)、或是不為函數(shù)、或是不為01000( )( )( )( )cA sB sY sA s 1inp tciiytK e（1）所有的根都是互不相等的實(shí)根）所有的根都是互不相等的實(shí)根系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定 實(shí)根都小于零實(shí)根都小于零（2）若有相等的實(shí)根）若有相等的實(shí)根 1inp tjciiytK t e

9、系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定 實(shí)根小于零實(shí)根小于零 ()11iiiinnajb ta tjbtciiiiytK eK e eiiipajb0ia 當(dāng)當(dāng) |0ctyt系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定0ia 當(dāng)當(dāng)系統(tǒng)將產(chǎn)生持續(xù)振蕩，系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)將產(chǎn)生持續(xù)振蕩，系統(tǒng)不穩(wěn)定（3）若有根虛根時(shí)）若有根虛根時(shí)1(cossin)ina tiiiiK ebtjbt 虛根系統(tǒng)穩(wěn)定虛根系統(tǒng)穩(wěn)定 虛根虛根s全部具有負(fù)實(shí)部全部具有負(fù)實(shí)部 0ia 當(dāng)當(dāng) |ctyt 不系統(tǒng)穩(wěn)定不系統(tǒng)穩(wěn)定 綜上所述，不論系統(tǒng)特征方程的特征根為何種形式，線綜上所述，不論系統(tǒng)特征方程的特征根為何種形式，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：所有特征根均為負(fù)

10、數(shù)或具有負(fù)的實(shí)所有特征根均為負(fù)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)數(shù)部分（即：所有特征根均在復(fù)數(shù)平面的左半部分）。數(shù)部分（即：所有特征根均在復(fù)數(shù)平面的左半部分）。11某單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為某單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為)0, 0() 1()(TKTssKsG解： 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)特征方程為： 由已知條件知系統(tǒng)具有負(fù)實(shí)根或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。2( )A sTssK 2( )( )1( )BG sKGsG sTssK 試判斷該系統(tǒng)穩(wěn)定性。試判斷該系統(tǒng)穩(wěn)定性。系統(tǒng)特征根為：1,211 42TKpT 12 1 1、直接計(jì)算或間接得知系統(tǒng)特征根。、直接計(jì)算或間接得知系統(tǒng)特征根。 2 2、確定系

11、統(tǒng)特征根具有負(fù)實(shí)部的系統(tǒng)參數(shù)的區(qū)域。、確定系統(tǒng)特征根具有負(fù)實(shí)部的系統(tǒng)參數(shù)的區(qū)域。 （1 1）直接對系統(tǒng)特征方程求解；）直接對系統(tǒng)特征方程求解； （2 2）根軌跡法。）根軌跡法。 根軌跡有兩種方法是：根軌跡有兩種方法是： 勞斯勞斯- -胡爾維茨判據(jù)胡爾維茨判據(jù); ; 乃氏判據(jù)。乃氏判據(jù)。一般情況下，確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法有：一般情況下，確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法有：應(yīng)用第一種類型的兩種方法是：應(yīng)用第一種類型的兩種方法是：131 1、勞斯判據(jù)、勞斯判據(jù) 這一判據(jù)是基于方程式的根與系數(shù)的關(guān)系而建立的。設(shè)系這一判據(jù)是基于方程式的根與系數(shù)的關(guān)系而建立的。設(shè)系統(tǒng)特征方程為統(tǒng)特征方程為當(dāng)系統(tǒng)特征方程階次越高，利用胡

12、氏判據(jù)時(shí)，行當(dāng)系統(tǒng)特征方程階次越高，利用胡氏判據(jù)時(shí)，行列式計(jì)算工作量越大，所以高階時(shí)，可用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的列式計(jì)算工作量越大，所以高階時(shí)，可用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性。 勞斯判據(jù)步驟如下：勞斯判據(jù)步驟如下： 檢查各項(xiàng)系數(shù)檢查各項(xiàng)系數(shù)是否齊全（包括常數(shù)項(xiàng)）及是否大于是否齊全（包括常數(shù)項(xiàng)）及是否大于0 0。若。若是，進(jìn)行第二步；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。是，進(jìn)行第二步；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。1 1）列出系統(tǒng)特征方程：）列出系統(tǒng)特征方程： 00111asasasannnn5-3 5-3 代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)（勞斯代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)（勞斯- -胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)）胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)）141011111000001

13、2s =0nnnnnnnnnAa sa sasaaaaasssaaaassssss（ ）nsss,21式中，式中， 為系統(tǒng)的特征根。為系統(tǒng)的特征根。 1512112120000nnnnnnaaaassssssssssaaaa nnnnnnnnnnnssssssaasssssssssaassssssaasssaa1232101242132103131210221011;16 從上式可知，要使全部特征根均具有負(fù)實(shí)部，就必須滿從上式可知，要使全部特征根均具有負(fù)實(shí)部，就必須滿足以下兩個(gè)條件。足以下兩個(gè)條件。 特征方程的各項(xiàng)系數(shù)特征方程的各項(xiàng)系數(shù) (i=0，1，2，n)都都不等于零不等于零。因?yàn)槿粲幸粋€(gè)

14、系數(shù)為零，則必出現(xiàn)實(shí)部為零的特征根或?qū)嵅恳驗(yàn)槿粲幸粋€(gè)系數(shù)為零，則必出現(xiàn)實(shí)部為零的特征根或?qū)嵅坑姓胸?fù)的特征根，才能滿足上式；此時(shí)系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定有正有負(fù)的特征根，才能滿足上式；此時(shí)系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定（根在虛軸上）或不穩(wěn)定（根的實(shí)部為正）。（根在虛軸上）或不穩(wěn)定（根的實(shí)部為正）。 特征方程的各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)都相同，才能滿足上式，特征方程的各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)都相同，才能滿足上式，按照慣例，按照慣例， 一般取正值，上述兩個(gè)條件可歸結(jié)為系統(tǒng)穩(wěn)定的一般取正值，上述兩個(gè)條件可歸結(jié)為系統(tǒng)穩(wěn)定的一個(gè)必要條件，即一個(gè)必要條件，即系數(shù)大于零系數(shù)大于零。但這只是一個(gè)必要條件。但這只是一個(gè)必要條件, 既使既使上述條件已滿足，系統(tǒng)

15、仍可能不穩(wěn)定，因?yàn)樗皇浅浞謼l件。上述條件已滿足，系統(tǒng)仍可能不穩(wěn)定，因?yàn)樗皇浅浞謼l件。1700111asasasannnn13211nnnnnaaaaac15412nnnnnaaaaac17613nnnnnaaaaac121311ccaacdnn131512ccaacdnn24611357212331231101nnnnnnnnnnnnsaaaasaaaascccsdddsgsh2 2）按系統(tǒng)的特征方程式列寫勞斯表）按系統(tǒng)的特征方程式列寫勞斯表183 3）考察勞斯陣列表中第一列各數(shù)的符號(hào)，如果第一列）考察勞斯陣列表中第一列各數(shù)的符號(hào)，如果第一列中各數(shù)中各數(shù)a an n、a an-1n-1、c

16、 c1 1、d d1 1gg1 1、h h1 1的符號(hào)相同，則表的符號(hào)相同，則表示系統(tǒng)具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)等于零，系統(tǒng)穩(wěn)定；如示系統(tǒng)具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)等于零，系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號(hào)不同，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)果符號(hào)不同，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)。具有的正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)。19例例: 設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為0516178234ssss試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：解： 首先，由方程系數(shù)可知已滿足穩(wěn)定的必要條件。首先，由方程系數(shù)可知已滿足穩(wěn)定的必要條件。 其次，排勞斯陣列其

17、次，排勞斯陣列 43210117581615540/35sssss 由勞斯陣列的第一列看出：第一列中系數(shù)符號(hào)全為正值，由勞斯陣列的第一列看出：第一列中系數(shù)符號(hào)全為正值，所以控制系統(tǒng)穩(wěn)定。所以控制系統(tǒng)穩(wěn)定。20例：設(shè)系統(tǒng)的特征方程為例：設(shè)系統(tǒng)的特征方程為05432)(2345ssssssD用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定? ?解解: :012345532411ssssss5 . 05 . 1959/165 因?yàn)榈谝涣杏幸驗(yàn)榈谝涣杏?0.5-0.5，且正、負(fù)號(hào)改變兩次，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，且正、負(fù)號(hào)改變兩次，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個(gè)根在且有兩個(gè)根在s的右半平面上。的右半平面

18、上。21例例2 2：一個(gè)反饋控制系統(tǒng)的特征方程為：一個(gè)反饋控制系統(tǒng)的特征方程為01032523sKKss試確定使該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的試確定使該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值。值。解解: : 該題給出了系統(tǒng)閉環(huán)特征方程，用勞斯判據(jù)求出該題給出了系統(tǒng)閉環(huán)特征方程，用勞斯判據(jù)求出K值范圍。值范圍。 1023210532102123sKKKsKsKs0232032052KKKKK解解 得得K0.5即為所求。即為所求。 22特殊情況處理：u 勞斯陣列的任一行中第勞斯陣列的任一行中第1 1列元為列元為0 0，而其余元素不全為，而其余元素不全為0 0； 方法方法1 1：用一個(gè)很小的正數(shù)：用一個(gè)很小的正數(shù)e e代替第代替第1

19、 1列等于列等于0 0的元素參與后續(xù)的元素參與后續(xù)計(jì)算，并令計(jì)算，并令e e 0 0求極限判斷符號(hào)。求極限判斷符號(hào)。 方法方法2 2：用：用s=1/=1/p代入原方程得到一個(gè)新的含代入原方程得到一個(gè)新的含p的多項(xiàng)式，再的多項(xiàng)式，再對此多項(xiàng)式應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，可得相同結(jié)論。對此多項(xiàng)式應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，可得相同結(jié)論。u 勞斯陣列的任一行所有元都為勞斯陣列的任一行所有元都為0 0，即出現(xiàn)，即出現(xiàn)0 0行。行。 方法：用該方法：用該0 0行的上一行構(gòu)成一個(gè)輔助多項(xiàng)式，取該輔助多項(xiàng)行的上一行構(gòu)成一個(gè)輔助多項(xiàng)式，取該輔助多項(xiàng)式的一階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來代替式的一階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來代替0 0行，然后應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)。行

20、，然后應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)。 23例例1 1：設(shè)系統(tǒng)特征方程為：設(shè)系統(tǒng)特征方程為s4 4+2+2s3 3+ +s2 2+2+2s+2=0+2=0，試用勞，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列出勞斯表解：列出勞斯表 s4 1 1 2 s3 2 2 0 s2 e e(取代取代0) 2 s1 2-4/e e s0 2 可見第一列元素的符號(hào)改變兩次，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定可見第一列元素的符號(hào)改變兩次，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的且在的且在s右半平面上有兩個(gè)極點(diǎn)。右半平面上有兩個(gè)極點(diǎn)。24例：設(shè)系統(tǒng)特征方程為例：設(shè)系統(tǒng)特征方程為s6 6+2+2s5 5+6+6s4 4+8+8s3 3+10+10

21、s2 2+4+4s+4=0+4=0；試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：列出勞斯表解：列出勞斯表 s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 輔助多項(xiàng)式輔助多項(xiàng)式A( (s) )的系數(shù)的系數(shù) s3 0 0 0 A(s) =2s4+8s2+4 dA(s)/ds=8s3+16s25以導(dǎo)數(shù)的系數(shù)取代全零行的各元素，繼續(xù)列寫勞斯表：以導(dǎo)數(shù)的系數(shù)取代全零行的各元素，繼續(xù)列寫勞斯表： s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 s3 0 0 8 16 dA(s)/ds的系數(shù)的系數(shù) dA(s)/ds=8s3+16s s2 4 4 s1 8

22、s0 4 第一列元素全為正，系統(tǒng)穩(wěn)定性也不能確定（有可能穩(wěn)定）；第一列元素全為正，系統(tǒng)穩(wěn)定性也不能確定（有可能穩(wěn)定）； 系統(tǒng)的穩(wěn)定性要由輔助方程的根來確定。系統(tǒng)的穩(wěn)定性要由輔助方程的根來確定。 261,222y 848.1414.3766.0586.04 .32 .1jjsjjs 解輔助方程可得共軛純虛根：令解輔助方程可得共軛純虛根：令s2=y， A(s) =2s4+8s2+4=2(y2+4y+2)=0120.586yy 所以，此系統(tǒng)不穩(wěn)定所以，此系統(tǒng)不穩(wěn)定。27例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，當(dāng)輸入信號(hào)為單位斜坡函數(shù)例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，當(dāng)輸入信號(hào)為單位斜坡函數(shù) 時(shí)，試求該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差能否小于時(shí)

23、，試求該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差能否小于0.10.1？) 12)(1() 15 . 0(ssssK)(sR( )C s-28) 12)(1() 15 . 0(ssssK)(sR)(sC-解：只有穩(wěn)定的系統(tǒng)計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差解：只有穩(wěn)定的系統(tǒng)計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差才有意義；所以先判斷穩(wěn)定性才有意義；所以先判斷穩(wěn)定性系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為0)5 . 01 (3223KsKss由勞斯判據(jù)知穩(wěn)定的條件為：由勞斯判據(jù)知穩(wěn)定的條件為：60 K( )1(1)(21)( )( )1( )( )(1)(21)(0.51)EE ss ssGsR sG s H ss ssKs21)(ssR21) 15 . 0() 12)(1() 12

24、)(1()(ssKsssssssEKssKsssssssssEessss11) 15 . 0() 12)(1() 12)(1(lim)(lim200由穩(wěn)定的條件知：由穩(wěn)定的條件知： 不能滿足不能滿足 的要求的要求61sse1 . 0sse292 2、胡爾維茨穩(wěn)定性判別法、胡爾維茨穩(wěn)定性判別法 胡爾維茨法是把特征方程的系數(shù)用相應(yīng)的行列式表胡爾維茨法是把特征方程的系數(shù)用相應(yīng)的行列式表示。若特征方程式為示。若特征方程式為 121210s =0nnnnnnAa sasasa sa（ ） 一個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件為：一個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件為： （1 1）特征方程的所有系數(shù)符號(hào)為正。）特征方程的

25、所有系數(shù)符號(hào)為正。（2 2）由特征方程系數(shù)組成的下列行列式的主階子）由特征方程系數(shù)組成的下列行列式的主階子 式均為正。式均為正。 30024130253164275310000000000000000aaaaaaaaaaaaaaaaaaDnnnnnnnnnnnn11naD2312nnnnaaaaD314253130nnnnnnnnaaaaaaaaD31所以，不滿足胡爾維茨行列式，系統(tǒng)不穩(wěn)定。所以，不滿足胡爾維茨行列式，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)的特征方程為：系統(tǒng)的特征方程為： 4322ss3s5s 100試用胡爾維茨判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用胡爾維茨判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例例解：解：由特征方程知：由特征

26、方程知：2) 2153 107023D 4150023100015002310D 1310Da 1) 32u 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件本本 節(jié)節(jié) 小小 結(jié)結(jié)u 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)1 1）列出系統(tǒng)特征方程：）列出系統(tǒng)特征方程： 00111asasasannnn 檢查各項(xiàng)系數(shù)檢查各項(xiàng)系數(shù)是否齊全（包括常數(shù)項(xiàng)）、是否大于是否齊全（包括常數(shù)項(xiàng)）、是否大于0 0。若是，進(jìn)行第二步；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。若是，進(jìn)行第二步；否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。2 2）按系統(tǒng)的特征方程式列寫勞斯表）按系統(tǒng)的特征方程式列寫勞斯表 所有特征根均為負(fù)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)部（即：所有特征所有特征根均為負(fù)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)部（即：所

27、有特征根均在復(fù)數(shù)平面的左半部分）。根均在復(fù)數(shù)平面的左半部分）。3300111asasasannnn13211nnnnnaaaaac15412nnnnnaaaaac17613nnnnnaaaaac121311ccaacdnn131512ccaacdnn24611357212331231101nnnnnnnnnnnnsaaaasaaaascccsdddsgsh345-4 5-4 奈奎斯特奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定性判據(jù) 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，是頻率法的年提出的，是頻率法的重要內(nèi)容，簡稱奈氏判據(jù)。奈氏判據(jù)的主要特點(diǎn)有：重要內(nèi)容，簡稱奈

28、氏判據(jù)。奈氏判據(jù)的主要特點(diǎn)有： 1. 奈奎斯特判據(jù)是奈奎斯特判據(jù)是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，來研究閉環(huán)根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，來研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，而不必求閉環(huán)特征根；即其系統(tǒng)穩(wěn)定性，而不必求閉環(huán)特征根；即其是通過系統(tǒng)的開環(huán)奈是通過系統(tǒng)的開環(huán)奈奎斯特圖以及開環(huán)極點(diǎn)的位置來判斷閉環(huán)特征方程的根在奎斯特圖以及開環(huán)極點(diǎn)的位置來判斷閉環(huán)特征方程的根在s平面平面上的位置，來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。上的位置，來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 2. 能夠確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。能夠確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。 3. 可用于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，有利于系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)?？捎糜诜治鱿到y(tǒng)的瞬態(tài)性能，有利于系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。 4. 基于系統(tǒng)的開環(huán)奈

29、氏圖，是一種圖解法?；谙到y(tǒng)的開環(huán)奈氏圖，是一種圖解法。351 1、基本原理、基本原理 系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)傳遞函數(shù) 1C sG sF sR sG s H s+Xi( ) sXo( ) sB(s)G(s)(s)H)(sE（1）閉環(huán)特征方程與特征函數(shù)）閉環(huán)特征方程與特征函數(shù) 系統(tǒng)的特征方程為：系統(tǒng)的特征方程為：1( )( )0G s H s系統(tǒng)的特征函數(shù)為系統(tǒng)的特征函數(shù)為： 1( )( )A sG s H s 36開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)傳遞函數(shù)為：( )( )( )( )( )( )NNDDGsHsG s H sGsHs下標(biāo)下標(biāo)N表示分子多項(xiàng)式表示分子多項(xiàng)式下標(biāo)下標(biāo)D表示分母多項(xiàng)式表示分母多項(xiàng)式系統(tǒng)特

30、征函數(shù)為：系統(tǒng)特征函數(shù)為：( )( )( )( )( )( )( ) 1( )( ) 1( )( )( )( )NNDDNNDDDDG sHsG s HsG s HsA sG s H sG sHsG s Hs 系統(tǒng)特征方程為：系統(tǒng)特征方程為：( )( )( )( )1( )( )0( )( )DDNNDDG s HsG s HsG s H sG s Hs37結(jié)結(jié) 論論u閉環(huán)特征方程的根與特征函數(shù)閉環(huán)特征方程的根與特征函數(shù)A( (s) )的零點(diǎn)完全相同；的零點(diǎn)完全相同；u特征函數(shù)的極點(diǎn)與開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)完全相同特征函數(shù)的極點(diǎn)與開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)完全相同；u特征函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)與其極點(diǎn)數(shù)相同特征函數(shù)

31、的零點(diǎn)數(shù)與其極點(diǎn)數(shù)相同（等于等于n）。）。 如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)及其極點(diǎn)已知，可以通過對開環(huán)如果系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)及其極點(diǎn)已知，可以通過對開環(huán)傳遞函數(shù)和特征函數(shù)的頻率特性分析，確定特征函數(shù)的零點(diǎn)的傳遞函數(shù)和特征函數(shù)的頻率特性分析，確定特征函數(shù)的零點(diǎn)的分布，從而判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。分布，從而判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。A( (s) ) 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是GB( (s) )的全部極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，現(xiàn)在的全部極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，現(xiàn)在變?yōu)樽優(yōu)锳( (s) )的所有零點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部的所有零點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部。38（2 2）幅角原理）幅角原理 復(fù)數(shù)的矢量表示復(fù)數(shù)的矢量表示 OM=jw w, PM=（jw w-O

32、P） ZM=（jw w-OZ） OP、OZ分別表示位于分別表示位于s左、右左、右半平面的半平面的 極點(diǎn)或零點(diǎn)的矢量。極點(diǎn)或零點(diǎn)的矢量。 wjReImoMPZOM=OP+PMOM=OZ+ZM S 相角變化相角變化 w w： PM：(s左半平面左半平面), ZM：(s右半平面右半平面),隨著隨著w w的變化，向量掃過的變化，向量掃過的角度范圍，的角度范圍，順時(shí)針方向順時(shí)針方向變化為負(fù)，逆時(shí)針為正。變化為負(fù)，逆時(shí)針為正。39（2 2）幅角原理）幅角原理 1212()()()()()()()nnK jzjzjzF jjpjpjpwwwwwww1212()()()( )()()()mnK szszszF

33、 sspspsp40 當(dāng)當(dāng)s沿任一閉合路徑沿任一閉合路徑s (不經(jīng)過不經(jīng)過F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的零點(diǎn)和極點(diǎn))順時(shí)針順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一旋轉(zhuǎn)一圈，圈，F(xiàn)(s)的相角變化情況如下：的相角變化情況如下： （1）若特征函數(shù)）若特征函數(shù)的零點(diǎn)的零點(diǎn) zj和和pi極點(diǎn)極點(diǎn)沒有沒有被曲線被曲線s包圍，則有：包圍，則有：0isp 0jsz 2jsz （2）若特征函數(shù)的零點(diǎn)若特征函數(shù)的零點(diǎn) zj和和pi極點(diǎn)極點(diǎn)被包圍被包圍在曲線在曲線s里，則有：里，則有：(順時(shí)針順時(shí)針 )2isp (逆時(shí)針逆時(shí)針)41幅角定理：幅角定理：在在s s平面上任一封閉曲線包圍了平面上任一封閉曲線包圍了F(s)F(s)的的Z Z個(gè)零點(diǎn)和個(gè)零點(diǎn)

34、和P P個(gè)極點(diǎn)，并且不經(jīng)過個(gè)極點(diǎn)，并且不經(jīng)過F(s)F(s)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn)，則當(dāng)?shù)娜我涣泓c(diǎn)和極點(diǎn)，則當(dāng)s s沿閉合路徑沿閉合路徑順時(shí)針順時(shí)針方向轉(zhuǎn)過一周時(shí)，映射方向轉(zhuǎn)過一周時(shí)，映射到到F(s)F(s)平面平面內(nèi)的內(nèi)的F(s)F(s)曲線曲線逆時(shí)針逆時(shí)針繞原點(diǎn)（繞原點(diǎn)（ PZPZ）圈。即）圈。即 N = P-Z42+ +jj0 0+ +0 0- - -jj0 0sRR( )1( )( )( )( )( )( )( )( )DDBBDDA sG s H sGs HsGs HsGs Hs ( )( )( )( )( )( )BBDDGs HsG s H sGs Hs2 2、奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)、奈奎

35、斯特穩(wěn)定性判據(jù)1212()()()()()()()()nnK jzjzjzG jH jjpjpjpwwwwwwww43a.若若P=0，且，且 N=0，即，即GH曲線不包圍（曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)，則閉環(huán)系）點(diǎn)，則閉環(huán)系 統(tǒng)穩(wěn)定；統(tǒng)穩(wěn)定；b.若若P0，且，且N=P，即，即GH曲線逆時(shí)針曲線逆時(shí)針繞繞（-1，j0）點(diǎn)）點(diǎn)P圈，則圈，則 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則是不穩(wěn)定系統(tǒng)。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則是不穩(wěn)定系統(tǒng)。 不穩(wěn)定系統(tǒng)分布在不穩(wěn)定系統(tǒng)分布在s右半平面極點(diǎn)的個(gè)數(shù)可按下式求?。河野肫矫鏄O點(diǎn)的個(gè)數(shù)可按下式求?。?Z=P-Nc.若若GH曲線通過（曲線通過（-1，j0）點(diǎn)）點(diǎn)L次，則說明閉環(huán)系統(tǒng)有次，則說明閉環(huán)

36、系統(tǒng)有L個(gè)極個(gè)極 點(diǎn)分布在點(diǎn)分布在s平面的虛軸上。平面的虛軸上。奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)w由由變化時(shí)，變化時(shí)， G(j)H(j)曲線逆時(shí)針包圍曲線逆時(shí)針包圍GH平面上平面上(-1，j0)點(diǎn)的次數(shù)點(diǎn)的次數(shù)N等等于開環(huán)傳遞函數(shù)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)于開環(huán)傳遞函數(shù)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)P （N=p）。）。NZ44關(guān)鍵：關(guān)鍵：作作G(jw w)H(jw)的的Nyquist圖圖 l由于奈氏圖在由于奈氏圖在w w為正與為正與w w為負(fù)時(shí)是對稱于實(shí)軸的，因?yàn)樨?fù)時(shí)是對稱于實(shí)軸的，因此通常僅畫它的此通常僅畫它的w w為正的部分。為正的部分。l對于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，只要（對

37、于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，只要（1 1，j0 0）不被奈氏圖）不被奈氏圖所包圍即可判斷閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。所包圍即可判斷閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。l對于有開環(huán)右極點(diǎn)的系統(tǒng)，奈氏圖包圍（對于有開環(huán)右極點(diǎn)的系統(tǒng)，奈氏圖包圍（1 1，j0j0）點(diǎn)的次數(shù)點(diǎn)的次數(shù)p。45例例: :單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性1( )1G ss222221(1)1()11111( ),( )11jG jjjXYwwwwwwwwwwww2222222222211(1)(1)111()( )22XYXXYwwww w w10.5 0w ww w w wReIm-Z=P-N=1-1=

38、0，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。曲線通過（曲線通過（-1，j0），是臨界穩(wěn)定。），是臨界穩(wěn)定。46 由右圖可見，開環(huán)由右圖可見，開環(huán)NyquistNyquist曲線順時(shí)針包圍曲線順時(shí)針包圍(-1(-1，j0)j0)點(diǎn)一圈，點(diǎn)一圈，即即N-2-2：而開環(huán)特征根全部位于左半而開環(huán)特征根全部位于左半s平面，即平面，即p0 0，由由NyquistNyquist判據(jù)知，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。判據(jù)知，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。 例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)用應(yīng)用NyquistNyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 20( )( )(1)(21)(51)G sssssG(s)

39、H(sG(s)H(s) )解：解：22220()()(1)( 21)( 51)20()(1)(14)(125)()25(0)20,(0)0()0,()270GjjjjjAarctgarctgarctgAAwwwwwwwww wwww G(jw)H(jwG(jw)H(jw) )4748(1) (1) 相位裕量相位裕量 在開環(huán)在開環(huán)G(s)H(s)的奈氏圖上，從原點(diǎn)到奈氏圖與單位圓的的奈氏圖上，從原點(diǎn)到奈氏圖與單位圓的交點(diǎn)連一直線，則該直線與負(fù)實(shí)軸的夾角，就稱為交點(diǎn)連一直線，則該直線與負(fù)實(shí)軸的夾角，就稱為相位裕量相位裕量。用。用g g表示。表示。 幅 值 穿 越 頻 率幅 值 穿 越 頻 率w w

40、c c： 開 環(huán)： 開 環(huán)NyquistNyquist曲線與單位圓的交點(diǎn)對曲線與單位圓的交點(diǎn)對應(yīng)的頻率應(yīng)的頻率w wc c稱為幅值穿越頻率，稱為幅值穿越頻率，也稱也稱剪切頻率剪切頻率。gg大小反映了大小反映了奈氏圖與負(fù)實(shí)奈氏圖與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)與（軸的交點(diǎn)與（-1，j0）點(diǎn)的距點(diǎn)的距離離。5-7 5-7 系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性穩(wěn)定程度與穩(wěn)定裕量穩(wěn)定程度與穩(wěn)定裕量相位裕量與幅值裕量相位裕量與幅值裕量49故在故在BodeBode圖中，相位裕量圖中，相位裕量g g表現(xiàn)為表現(xiàn)為 L(w w)=0dB處的相角處的相角 (w wc c) )與與-180-180度水平線之間的角度差。度水平線之間的角度

41、差。w)w-Lw)wwcKggwg正幅值裕度正相位裕度w)-gwwgLw)c負(fù)幅值裕度wKwg負(fù)相位裕度0 由定義： g g180+ (w wc)50(2) (2) 幅值裕量幅值裕量 )()(1gggjHjGKww注意到：如果開環(huán)增益增加注意到：如果開環(huán)增益增加Kg倍，倍，NyquistNyquist曲線將穿過曲線將穿過(-1, (-1, j0)0)點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。因此，增益裕量的物理意義可表述為：點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。因此，增益裕量的物理意義可表述為：在在保持系統(tǒng)穩(wěn)定條件下，開環(huán)增益所允許增加的最大分貝數(shù)。保持系統(tǒng)穩(wěn)定條件下，開環(huán)增益所允許增加的最大分貝數(shù)。 在奈氏圖上，奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處幅值的倒數(shù)，稱為在奈氏圖上，奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處幅值的倒數(shù)，稱為幅幅值裕量值裕量，用，用Kg表示。表示。120lg()()20lg()()gggggKG jH jG jH jwwww 51當(dāng)當(dāng) ， 則則K Kg g 11，K Kg g(dB)0 dB(dB)0 dB，系統(tǒng)穩(wěn)定。，系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)當(dāng) ， 則則K Kg g 1 1，K Kg g(dB) 0dB(dB) 0dB，系統(tǒng)不穩(wěn)定。，系