1、 兩角和與差的正弦、余弦和正切第5講 最新考綱 1會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式 2能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角3. 的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系 理 識 梳知 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1. cos_sin_)sin_cos_sin( . sin_sin_?)cos_cos_cos( tan tan . tan() tan tan 1? 二倍角的正弦、余弦、正切公式2. 2sin_cos_sin 2 2222. 2sin1sin12coscoscos 2 2tan . tan 2

2、 2tan1 有關(guān)公式的逆用、變形等3 )tan_tan_tan tan()(1?(1)tan cos 2cos 21122. (2)cos，sin 22222，sin cos ，1sin 2(sin cos )2(3)1sin (sin cos )?sin. 4?22sin()，(為常數(shù)b)，可以化為f)ab，(cos sin f4函數(shù)()abab其中tan . a 辨 析 感 悟 對兩角和與差的三角函數(shù)公式的理解1 ) 是任意的(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角， . cos cos ，使等式cos()() (2)存在實(shí)數(shù)，1. )cos 60cos 20sin 80sin 20cos

3、(8020(3)(教材練習(xí)改編)cos 80 2 ) ( tan 1? . (4)(教材習(xí)題改編) tan 4?tan 1 ) (2)0的兩根，則tan(tan 是方程x3x2tan (5)(2014湘潭月考改編)設(shè)，) 3. ( 對二倍角公式的理解222 1. 1(6)cos 2cos2sin 22 ) (13 ，則若sin cos . (7) 323 ) ( cos 2xx 的最大值為1. sin 2(8)y ) ( ?，?sin sin 2，則tan 23. 設(shè) 四川卷改編(9)(2013) 2? ( ) 提升感悟倍角的相對性，要注意和差、運(yùn)用公式時要注意審查公式成立的條件， 一個防范.

4、 要注意升冪、降冪的靈活運(yùn)用 60學(xué)生用書頁第 三角函數(shù)式的化簡、求值問題考點(diǎn)一 tan 40( ) )4cos 50【例1】 (1)(2013重慶卷 2 A.32 B. 2D22 C.3 1 22sincos_. (2) ?2?cos2tan 44?sin 40 4sin 40解析 (1)4cos 50tan 40 cos 40sin 402sin 804sin 40cos 40sin 40 cos 40cos 40sin 40?1202sin ?40 cos 40sin 40sin 403cos 40 cos 403. 22sincos 原式(2) ?2sin 4?2?cos 4?cos

5、4?22sincos ?cos2sin 44?cos 2cos 21. cos 2?2?sin 2?(2)1 (1)C答案 技巧：尋求角與角之間的關(guān)系，化非特殊角為特殊角；(1) 規(guī)律方法 正確靈活地運(yùn)用公式，通過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數(shù)值； 1”的代換、和積互化等一些常規(guī)技巧：“常用方法：異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，(2) 切化弦，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化2_. 80(13tan 102sin)【訓(xùn)練1】 (1)化簡：2sin 50sin 10?cos sin ?cos ?1sin 22? _；(0化簡：(2)22cos ?3sin 10co

6、s 10? 原式解析 (1)2sin 50sin 10cos 10?3?1sin 10cos 10? 22 2sin 80?2sin 502sin 10 cos 10?) 10sin 10cos(6022sin 50cos 102cos 1036. 2222sin(5010)2?2cos 2cossin 2sin cos ? 22222? (2)原式24cos2?22cossin?cos cos cos 2222?. ?cos cos ? 22?因為0，所以00， 222所以原式cos . 答案 (1)6 (2)cos 考點(diǎn)二 三角函數(shù)的給角求值與給值求角問題 21?)，sincos(，且已知

7、】【例2 (1)0cos，求 22329?的值； 11(2)已知，(0，)，且tan()，tan 的值2，求 72 ， (1)0解 2 ，0， 3111 7212 332tan ，又00 2412tan1?2?1 3? 02， 213 74tan 2tan 1. tan(2) 13tan 2tan 11 741 0，0tan ，2 273. 2 4展開，看需要求相關(guān)復(fù)角給值求值問題一般是正用公式將所求(1) 規(guī)律方法“” 代入展開式角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值， 即可通過求所求角的某種三角函數(shù)值來求角，關(guān)鍵點(diǎn)在選取函數(shù)，常遵照以下原(2)則：已知正切函數(shù)值，選正切

8、函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函?，0?，選余弦較好；，數(shù)；若角的范圍是)，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0 2?，? ，選正弦較好若角的范圍為 22?131 ，cos()，且0【訓(xùn)練2】 已知cos 2714 tan 2的值；(1)求. (2)求314 ，cos ，0sin 解 (1) 772 ，43tan 34232tan 8tan 2. 24748tan11 ，0，0(2) 2233 ，)sin(14) (cos cos) sin(cos()sin cos 13433113. 2147714. 3考點(diǎn)三 三角變換的簡單應(yīng)用 1?2xx1?. sinx2sinsin】【例3 已知f

9、(x) 44tan x?(1)若tan 2，求f()的值； ?，?，求f(x(2)若x)的取值范圍 212?2x?)2sin (x)(sinxxsin xcos f解 (1) 4?x? cos 4?xcos 211?2x? sin 2xsin 222?11 xcos 2)xcos 2x(sin 2 2211. xxcos 2)(sin 2 224cos 2tan 2sin ，得sin 2由tan . 2 22251costansin222sintan1cos3. cos 2 2225costansin1311. cos 2)所以f()(sin 2 52211 cos 2x)(1)(2)由得f(

10、x)(sin 2x 2221?2x?. sin 422?55?，?. ，得2x由x 4121224?122?x2? ，0f(x)，sin1 422?12?的取值范圍是). 所以f(x，02? 61頁學(xué)生用書第sin 的代換技巧，將“(x)化簡是解題的關(guān)鍵，本題中巧妙運(yùn)用1”規(guī)律方法 (1)將f 問鋪平道路化為關(guān)于正切tan 的關(guān)系式，為第(1)2，cos 222可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、，sin(xabcos x化為yb)x(2)把形如yasin 單調(diào)性、最值與對稱性?x?1. f(x)4cos xsin【訓(xùn)練3】 已知函數(shù) 6? (x)的最小正周期；(1)求f?，? 在區(qū)間上的最大值和最小值(

11、x)f(2)求 46?x?1 xsinf解 (1)因為(x)4cos 6?13?x4cos 1 xcos sin x 22?2x13sin 2xcos 23sin 2x2cosx ?2x? 2sin， 6? .的最小正周期為)x(f所以2(2)因為x，所以2x. 36664于是，當(dāng)2x， 26即x時，f(x)取得最大值2； 6當(dāng)2x，即x時，f(x)取得最小值1. 666 1重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等在解決求值、化簡、證明問題時，一般是

12、觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃?2已知和角函數(shù)值，求單角或和角的三角函數(shù)值的技巧：把已知條件的和角進(jìn)行加減或二倍角后再加減，觀察是不是常數(shù)角，只要是常數(shù)角，就可以從此入手，給這個等式兩邊求某一函數(shù)值，可使所求的復(fù)雜問題簡單化 3熟悉三角公式的整體結(jié)構(gòu)，靈活變換本節(jié)要重視公式的推導(dǎo)，既要熟悉三角公式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，更要掌握公式中角和函數(shù)名稱的特征，要體會公式間的聯(lián)系，掌握常見的公式變形，倍角公式應(yīng)用是重點(diǎn)，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其變形 教你審題3三角函數(shù)求值中的變角問題 4?2?的值為sin設(shè)為銳角，若cos，則(2012【典例】

13、 江蘇卷) 1265?_ 4?，為銳角，審題 一審條件：cos 65?2?？二審問題： sin 12? 三找關(guān)系：222，解題變得明朗化！ 643124?4? ，解析 為銳角且cos 65?2?，? ， 366?3?. sin 65?22?sinsin 6124? sin cos sin 2cos 2 6644?2?2? 12coscos2sin 6662?4234?2? 212 5255?21712272. 502550217 答案50解題的關(guān)鍵是找出條件中的角與結(jié)論中的角的聯(lián)系，通過適當(dāng)?shù)夭鸱此几形??角、湊角來利用所給條件常見的變角技巧有：(； 222? 30等；)等；1545 424?

14、 【自主體驗】11?，0? )的值為_，則cos(，已知cos cos()且， 233?1?，0? ，解析 cos 23?74222. cos 2sin 2sin ， 993212. )，)sin(0)又cos(， 33cos()cos2() ) sin(sin 2)cos(cos 217232422?. 392793?23 答案 27 基礎(chǔ)鞏固題組 ) 40分鐘(建議用時： 一、選擇題 )cos 48sin 18的結(jié)果等于( 1(2014鄭州模擬)計算cos 42cos 18 3321 D. C. A. B. 2322解析 原式sin 48cos 18cos 48sin 18 1sin(48

15、18)sin 30. 2答案 A 1?，則cos(2)的值為( )2(2013湖州模擬)已知sin 23?7722A B. C. D 39991?cos 解析 由題意，得sin. 23?72212cos1). 所以cos(2)cos 2(2cos 9答案 B 3?x?，則sin 2x(山東省實(shí)驗中學(xué)診斷)已知cos ) 3(2013 45?187716A. B. C D 25252525?2xx2x?1，所以x 解析因為sin 2cossin 22cos x2cos 424?3718?2?11. 2 52525?C 答案34?，且cos ? 4(2013成都模擬)已知 ，則tan )等于( 4

16、25?117 DC A7 B. 77334?，cos ，且?tan 0，即sin ，所以，所以sin 解析 因 255?31 4tan 113?tan.所以. 4734?tan 11 4B 答案22cossin 21?等于，且5(2013金華十校模擬)已知tan，則 422?sin 4? )( 105322535 A. B C D105510222coscos sin 22cos2sin 1?tan2cos ，由2，得解析 42?2?sin?sin cos ? 4?21tan 11cos tan 3，因為，所以解得，解得 2221tan1tan 5102?10?. ，所以原式2cos 2225

17、1010?C 答案 二、填空題3tan 12_. )(2013湖南師大附中模擬計算：62sin 12?4cos122sin 123 cos 12 解析原式 2sin 12?22cos121?31?2cos 12sin 12 223cos 12sin 12? cos 24cos 242sin 12cos 12sin 24?122sin?604. 1sin 48 24 答案 xcos 21?2x?sin的最大值為27(2013南京模擬)設(shè)f(x)3，則sin xa 4?x?2sin 2?_. a常數(shù)212cosx1?2x? sin xasin解析 f(x) 4x2cos ?2x? sinxacos

18、 xsin 4?2xx? 2sinasin 44?2x?. a)sin(2 4?23. a23依題意有2a，3 答案 2?440，2?，則cos，且已知cos sin 8(2014廣州模擬) 323?_. 22222442sin)(cos，又) ，解析 cos sin(sin cos 2 cos 33?，0? )，2(0， 2?52 sin 2，1cos2331?2? coscos 2sin 2 322?1525123. 62332215 答案6三、解答題 ?xx?. 已知函數(shù)f(x)cossin)9(2014浙江大學(xué)附屬中學(xué)一模 23?(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； 3?，0?，求f(2

19、若(2)，且f的值 625?31 cos 解 (1)f(x)cos xxsin x 2213?x?. sinxcos xsin 622? 的最小正周期為2.f(x)?x?. x)sin(2)由(1)知f( 6?3? sin sin所以f， 6665?34?22，0?. ，cos 11sin 525?2434 ，cos 2sin 22sin 255547?2221? ，cos 22cos1 525?13?2? cos 2f(2)sinsin 2 622?732472431. 502252252. 3sin)x xsin xcos 10東莞模擬(2013)已知函數(shù)f(x25? f求的值(1) 6?

20、13? 的值sin ，求(2)設(shè)(0，)，f 224?xcos 213122sin 3x3f(x)sinx xsin cos x解 222?x2? sin， 3?25253?0. f(1)sin 3632?331? (2)fsin， 32242?11? 0，sin 324?54?)(，0，? 又，. 63333?15? sin sin，cos 3334?53131115. 82442 能力提升題組) 分鐘(建議用時：25 一、選擇題21? )，tan等于(，那么tan 已知1tan( 4445?113133 D. B. C.A. 6222218 ，解析 因為 44? )，所以( 44? ?tan?所以tan 44?12?tantan? 445?3. 2221?1?tan?1tan? 45