1、第一章 集合與常用邏輯用語1.2 命題及其關系、充分條件與必要條件內(nèi)容索引基礎知識 自主學習題型分類 深度剖析思想與方法系列思想方法 感悟提高練出高分基礎知識自主學習知識梳理1 11.四種命題及相互關系若q,則p若綈p,則綈q若綈q,則綈p答案2.四種命題的真假關系(1)兩個命題互為逆否命題，它們有 的真假性；(2)兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關系.3.充分條件與必要條件(1)如果pq，則p是q的 條件，同時q是p的 條件；(2)如果pq，但q p，則p是q的 條件；(3)如果pq，且qp，則p是q的 條件；(4)如果qp，且p q，則p是q的 條件；(5)如果p q，且q

2、 p，則p是q的既不充分又不必要條件.相同充分必要充分不必要充要必要不充分答案思考辨析判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)“x22x3y2，則xy”的逆否命題是()A.“若xy，則x2y，則x2y2” D.“若xy，則x2y2”解析解析根據(jù)原命題和其逆否命題的條件和結論的關系，得命題“若x2y2，則xy”的逆否命題是“若xy，則x2y2”.B解析答案2.已知命題p：若x1，則向量a(1，x)與b(x2，x)共線，則在命題p的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為()A.0 B.2C.3 D.4解析解析向量a，b共線xx(x2)0 x0或x1，命題p為真，其逆命題為假

3、，故在命題p的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為2.B解析答案3.(2015重慶)“x1”是“ (x2)0”的()A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件解析解析x1x23 (x2)0， (x2)0 x21x1，故“x1”是“ (x2)0”成立的充分不必要條件.因此選B.B12log12log12log12log解析答案4.已知集合A1，a，B1,2,3，則“a3”是“AB”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析解析a3時，A1,3，顯然AB.但AB時，a2或3.所以A正確.A解析答案5

4、.(教材改編)下列命題：x2是x24x40的必要不充分條件；圓心到直線的距離等于半徑是這條直線為圓的切線的充分必要條件；sin sin 是的充要條件；ab0是a0的充分不必要條件.其中為真命題的是_(填序號).答案返回題型分類深度剖析例例1(1)命題“若x，y都是偶數(shù)，則xy也是偶數(shù)“的逆否命題是()A.若xy是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)B.若xy是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)C.若xy不是偶數(shù)，則x與y不都是偶數(shù)D.若xy不是偶數(shù)，則x與y都不是偶數(shù)解析解析由于“x，y都是偶數(shù)”的否定表達是“x，y不都是偶數(shù)”，“xy是偶數(shù)”的否定表達是“xy不是偶數(shù)”，故原命題的逆否命題為“若xy不是偶數(shù)，則x

5、，y不都是偶數(shù)”.C題型一命題及其關系解析答案(2)原命題為“若z1，z2互為共軛復數(shù)，則|z1|z2|”，關于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是()A.真，假，真 B.假，假，真C.真，真，假 D.假，假，假解析解析先證原命題為真：當z1，z2互為共軛復數(shù)時，設z1abi(a，bR)，原命題為真，故其逆否命題為真；再證其逆命題為假：取z11，z2i，滿足|z1|z2|，但是z1，z2不互為共軛復數(shù)，其逆命題為假，故其否命題也為假，故選B.B解析答案思維升華思維升華(1)寫一個命題的其他三種命題時，需注意：對于不是“若p，則q“形式的命題，需先改寫；若命題有大前提，寫其他

6、三種命題時需保留大前提.(2)判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題是假命題，只需舉出反例.(3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假.C跟蹤訓練1解析答案(2)已知命題：如果x3，那么x3b3，ab1，此時loga3logb3正確；反之，若loga3b1.故“3a3b3”是“l(fā)oga3logb3”的充分不必要條件.B題型二充分必要條件的判定解析答案因此，其必要不充分條件為mn0.B解析答案思維升華思維升華充要條件的三種判斷方法(1)定義法：根據(jù)pq，qp進行判斷；(2)集合法：根據(jù)p，q成立的

7、對象的集合之間的包含關系進行判斷；(3)等價轉化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉化為其逆否命題進行判斷.這個方法特別適合以否定形式給出的問題，如“xy1”是“x1或y1”的某種條件，即可轉化為判斷“x1且y1”是“xy1”的某種條件.(1)(2015陜西)“sin cos ”是“cos 20”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析解析sin cos cos 2cos2sin20；cos 20cos sin sin cos ，故選A.A跟蹤訓練2解析答案(2)若命題p： k，kZ，命題q：f(x)sin(x)(0)是偶函數(shù)，則p

8、是q的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件解析解析當 k，kZ時，f(x)cos x是偶函數(shù)，所以p是q的充分條件；若函數(shù)f(x)sin(x)(0)是偶函數(shù)，則sin 1，即 k，kZ，所以p是q的必要條件，故p是q的充要條件，故選A.A解析答案例例3已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m.若xP是xS的必要條件，求m的取值范圍.解解由x28x200，得2x10，Px|2x10，由xP是xS的必要條件，知SP.當0m3時，xP是xS的必要條件，即所求m的取值范圍是0,3.題型三充分必要條件的應用解析答案引申探究1.本例條件不變，問是否存在

9、實數(shù)m，使xP是xS的充要條件.解解若xP是xS的充要條件，則PS，即不存在實數(shù)m，使xP是xS的充要條件.解析答案2.本例條件不變，若x綈P是x綈S的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.解解由例題知Px|2x10，綈P是綈S的必要不充分條件，PS且S P.2,101m,1m.m9，即m的取值范圍是9，).解析答案思維升華思維升華充分條件、必要條件的應用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區(qū)間端點值的檢驗.(1)ax22x10至少有一個負實根的充要條件是(

10、)A.0a1 B.a1C.a1 D.0a1或aa1或x0；條件q：xa，且綈q的一個充分不必要條件是綈p，則a的取值范圍是()A.1，) B.(，1C.1，) D.(，3解析解析由x22x30，得x1，由綈q的一個充分不必要條件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件.x|xax|x1，a1.A返回溫馨提醒解析答案溫馨提醒(1)本題用到的等價轉化將綈p，綈q之間的關系轉化成p，q之間的關系.將條件之間的關系轉化成集合之間的關系.(2)對一些復雜、生疏的問題，利用等價轉化思想轉化成簡單、熟悉的問題，在解題中經(jīng)常用到.返回思想方法感悟提高方法與技巧1.寫出一個命題的逆命

11、題、否命題及逆否命題的關鍵是分清原命題的條件和結論，然后按定義來寫；在判斷原命題、逆命題、否命題以及逆否命題的真假時，要借助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來判定.2.充要條件的幾種判斷方法(1)定義法：直接判斷若p則q、若q則p的真假.(2)等價法：即利用AB與綈B綈A；BA與綈A綈B；AB與綈B綈A的等價關系，對于條件或結論是否定形式的命題，一般運用等價法.(3)利用集合間的包含關系判斷：設Ax|p(x)，Bx|q(x)：若AB，則p是q的充分條件或q是p的必要條件；若AB，則p是q的充分不必要條件，若AB，則p是q的充要條件.失誤與防范1.當一個命題有大前提而要寫出

12、其他三種命題時，必須保留大前提.2.判斷命題的真假及寫四種命題時，一定要明確命題的結構，可以先把命題改寫成“若p，則q”的形式.3.判斷條件之間的關系要注意條件之間關系的方向，正確理解“p的一個充分而不必要條件是q”等語言.返回練出高分1.命題“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方是正數(shù)”的逆命題是()A.“若一個數(shù)是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”B.“若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù)”C.“若一個數(shù)不是負數(shù)，則它的平方不是正數(shù)”D.“若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負數(shù)”解析解析依題意，得原命題的逆命題：若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負數(shù).B解析答案2.(2015天津)設xR，則“1x2”是“|x2|1”的

13、()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析解析由|x2|1得1x3，所以1x21x3；但1x3 1x2，故選A.A解析答案3.集合A ，Bx|(xa)(xb)0，若“a2”是“AB ”的充分條件，則b的取值范圍是()A.b1C.b1 D.1b2解析解析由題意知A(1,2)，當a2時，方程(xa)(xb)0的兩根為2和b，21時AB .B解析答案4.下列結論錯誤的是()A.命題“若x23x40，則x4”的逆否命題為“若x4， 則x23x40”B.“x4”是“x23x40”的充分條件C.命題“若m0，則方程x2xm0有實根”的逆命題為真命題D.命題“

14、若m2n20，則m0且n0”的否命題是“若m2n20， 則m0或n0”解析答案解析解析C項命題的逆命題為“若方程x2xm0有實根，則m0”.若方程有實根，則14m0，不能推出m0.所以不是真命題，故選C.答案答案C5.設四邊形ABCD的兩條對角線為AC，BD，則“四邊形ABCD為菱形”是“ACBD”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析答案解析解析因為菱形的對角線互相垂直，所以“四邊形ABCD為菱形”“ACBD”，所以“四邊形ABCD為菱形”是“ACBD”的充分條件；又因為對角線垂直的四邊形不一定是菱形，所以“ACBD” “四邊形ABCD為菱形”

15、，所以“四邊形ABCD為菱形”不是“ACBD”的必要條件.綜上，“四邊形ABCD為菱形”是“ACBD”的充分不必要條件.答案答案A6.設U為全集.A，B是集合，則“存在集合C使得AC，BUC”是“AB ”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析解析由Venn圖易知充分性成立.反之，AB 時，由Venn圖(如圖)可知，存在AC，同時滿足AC，BUC.故“存在集合C使得AC，BUC”是“AB ”的充要條件.C解析答案7.(2015北京)設，是兩個不同的平面，m是直線且m.則“m”是“”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既

16、不充分也不必要條件解析解析m，m ，但m，m，m是的必要而不充分條件.B解析答案解析解析因為函數(shù)f(x)過點(1,0)，所以函數(shù)f(x)有且只有一個零點函數(shù)y2xa(x0)沒有零點函數(shù)y2x(x0)與直線ya無公共點.由數(shù)形結合，可得a0或a1.觀察選項，根據(jù)集合間關系得a|a1，故答案選A.A解析答案9.“若ab，則ac2bc2”，則命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個數(shù)是_.解析解析其中原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題.2解析答案10.若xm1是x22x30的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是_.解析解析由已知易得x|x22x30 x|xm1，又x|x22x

17、30 x|x3，0,20m2.解析答案11.已知：xa，：|x1|1.若是的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為_.解析解析：xa，可看作集合Ax|xa，：|x1|1，0 x2，可看作集合Bx|0 xbc2，則ab；若sin sin ，則；“實數(shù)a0”是“直線x2ay1和直線2x2ay1平行”的充要條件；若f(x)log2x，則f(|x|)是偶函數(shù).其中正確命題的序號是_.解析答案解析解析對于，ac2bc2，c20，ab正確；對于，sin 30sin 15030150，所以錯誤；對于，l1l2A1B2A2B1，即2a4aa0且A1C2A2C1，所以正確；顯然正確.答案答案13.設a，bR，則“

18、ab”是“a|a|b|b|”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件解析答案解析解析先證“ab”“a|a|b|b|”.若ab0，則a2b2，即a|a|b|b|；若a0b，則a|a|0b|b|；若0ab，則a2b2，即a|a|b|b|.解析答案再證“a|a|b|b|”“ab”.若a，b0，則由a|a|b|b|，得a2b2，故ab；若a，b0，則由a|a|b|b|，得a2b2，即a2b；若a0，bb.綜上，“ab”是“a|a|b|b|”的充要條件.答案答案C解析答案解析解析若p成立，設a1，a2，an的公比為q，(a1a2)2(1q2q2n4)2，故q成立

19、，故p是q的充分條件.取a1a2an0，則q成立，而p不成立，故p不是q的必要條件，故選B.答案答案B15.(2015浙江)設A，B是有限集，定義：d(A，B)card(AB)card(AB)，其中card(A)表示有限集A中元素的個數(shù)，命題：對任意有限集A，B，“AB”是“d(A，B)0”的充分必要條件；命題：對任意有限集A，B，C，d(A，C)d(A，B)d(B，C)，()A.命題和命題都成立B.命題和命題都不成立C.命題成立，命題不成立D.命題不成立，命題成立解析答案解析解析命題成立，若AB，則card(AB)card(AB)，所以d(A，B)card(AB)card(AB)0.反之可以把上述過程逆推，故“AB”是“d(A，B)0”的充分必要條件；命題成立，由Venn圖，知card(AB)card(A)card(B)card(AB)，d(A，C)card(A)card(C)2card(AC)，d(B，C)card(B)card(C)2card(BC)，d(A，B)d(B，C)d(A，C)解析答案card(A)card(B)2card(AB)card(B)card(C)2card(BC)card(A)card(C)2ca