1、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級(jí)高中三年級(jí)適用區(qū)域通用課時(shí)時(shí)長（分鐘）60知識(shí)點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性 函數(shù)的極值 函數(shù)的最值教學(xué)目標(biāo)掌握函數(shù)的單調(diào)性求法，會(huì)求函數(shù)的函數(shù)的極值，會(huì)求解最值問題，教學(xué)重點(diǎn)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求解函數(shù)的最值。教學(xué)難點(diǎn)熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的求法，以及分類討論思想的應(yīng)用。教學(xué)過程一、課堂導(dǎo)入問題：判斷函數(shù)的單調(diào)性有哪些方法？比如判斷的單調(diào)性，如何進(jìn)行？因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖像我們非常熟悉,可以畫出其圖像，指出其單調(diào)區(qū)間，再想一下，有沒有需要注意的地方？如果遇到函數(shù)，如何判斷單調(diào)性呢？你能畫出該函數(shù)的圖像嗎？定義是解決問題的最根本方法，但定義

2、法較繁瑣,又不能畫出它的圖像，那該如何解決呢？二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時(shí)，了解函數(shù)的增與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對(duì)數(shù)量的變化規(guī)律有一個(gè)基本的了解函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一樣都是反映函數(shù)變化情況的，那么函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否有著某種內(nèi)在的聯(lián)系呢?三、知識(shí)講解考點(diǎn)1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)>0，則在這個(gè)區(qū)間上，函數(shù)yf(x)是增加的；如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)<0，則在這個(gè)區(qū)間上，函數(shù)yf(x)是減少的 利用導(dǎo)

3、數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值可列表觀察函數(shù)的變化情況，直觀而且條理，減少失分考點(diǎn)2 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范、表格齊全；含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小注意定義域優(yōu)先的原則，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行若f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)“左正右負(fù)”，則x0為極大值點(diǎn)；若f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)“左負(fù)右正”，則x0為極小值點(diǎn)；若f(x)在x0兩側(cè)的符號(hào)相同，則x0不是極值點(diǎn)考點(diǎn)3 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a，b上必有最大值與最小值(2)若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f

4、(x)在a，b上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值(3)設(shè)函數(shù)f(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟如下：求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將f(x)的各極值與f(a)，f(b)進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值四、例題精析考點(diǎn)一 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性例1已知函數(shù)f(x)exax1.(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上為減函數(shù)，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由【規(guī)范解答】f(x)exa，(1)若a0，則f(x)exa0，即f(x)在R上單調(diào)遞增，若a&g

5、t;0，exa0，exa，xln a. 因此 當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是ln a，)(2)f(x)exa0在(2,3)上恒成立aex在x(2,3)上恒成立又2<x<3，e2<ex<e3，只需ae3.當(dāng)ae3時(shí)，f(x)exe3在x(2,3)上，f(x)<0，即f(x)在(2,3)上為減函數(shù)，ae3.故存在實(shí)數(shù)ae3，使f(x)在(2,3)上為減函數(shù)【總結(jié)與反思】(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)范圍可以轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題；(3)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x(a，b)都

6、有f(x)0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f(x)0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解考點(diǎn)二 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例2設(shè)a>0，函數(shù)f(x)x2(a1)xa(1ln x)(1)求曲線yf(x)在(2，f(2)處與直線yx1垂直的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值【規(guī)范解答】(1)由已知，得x>0，f(x)x(a1)， yf(x)在(2，f(2)處切線的斜率為1，所以f(2)1，即2(a1)1， 所以a0，此時(shí)f(2)220，故所求的切線方程為yx2.(2)f(x)x(a1).當(dāng)0<a<1時(shí)，若x(0，a)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；若x(a

7、,1)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；若x(1，)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時(shí)xa是f(x)的極大值點(diǎn)，x1是f(x)的極小值點(diǎn)，函數(shù)f(x)的極大值是f(a)a2aln a， 極小值是f(1).當(dāng)a1時(shí)，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在定義域(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)沒有極值點(diǎn)，故無極值當(dāng)a>1時(shí)，若x(0,1)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；若x(1，a)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；若x(a，)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時(shí)x1是f(x)的極大值點(diǎn)，xa是f(x)的極小值點(diǎn)，函數(shù)f(x)的極大值是f

8、(1)，極小值是f(a)a2aln a.綜上，當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)的極大值是a2aln a，極小值是；當(dāng)a1時(shí)，f(x)沒有極值；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)的極大值是，極小值是a2aln a.【總結(jié)與反思】(1)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并不一定就是函數(shù)的極值點(diǎn)所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后一定要注意分析這個(gè)零點(diǎn)是不是函數(shù)的極值點(diǎn)(2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么yf(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值考點(diǎn)三 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值例3 已知函數(shù)f(x)ax21(a>0)，g(x)x3bx.(1)若曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(diǎn)(1，c

9、)處具有公共切線，求a，b的值；(2)當(dāng)a3，b9時(shí)，若函數(shù)f(x)g(x)在區(qū)間k,2上的最大值為28，求k的取值范圍【規(guī)范解答】 (1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因?yàn)榍€yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(diǎn)(1，c)處具有公共切線，所以f(1)g(1)且f(1)g(1)，即a11b且2a3b，解得a3，b3.(2)記h(x)f(x)g(x)，當(dāng)a3，b9時(shí)，h(x)x33x29x1，所以h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21. h(x)，h(x)在(，2上的變化情況如下表所示：x(，3)3(3,1)1(1,2)2h(x)00h(x)2843由表可知當(dāng)k3時(shí)，函數(shù)h(

10、x)在區(qū)間k,2上的最大值為28；當(dāng)3<k<2時(shí)，函數(shù)h(x)在區(qū)間k,2上的最大值小于28. 因此k的取值范圍是(，3【總結(jié)與反思】(1)求解函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)yf(x)在a，b內(nèi)所有使f(x)0的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)yf(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f(x)0的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得(2)可以利用列表法研究函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的變化情況五、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1、(1)設(shè)函數(shù)f(x)x3(1a)x24ax24a，其中常數(shù)a>1，則f(x)的單調(diào)減區(qū)間為_【答案】(2,2a)【規(guī)范解答】f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)，由a>1知，當(dāng)x<2時(shí)，f(x)

11、>0，故f(x)在區(qū)間(，2)上是增函數(shù)；當(dāng)2<x<2a時(shí)，f(x)<0，故f(x)在區(qū)間(2,2a)上是減函數(shù)；當(dāng)x>2a時(shí)，f(x)>0，故f(x)在區(qū)間(2a，)上是增函數(shù)綜上，當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在區(qū)間(，2)和(2a，)上是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)上是減函數(shù) (2)已知a>0，函數(shù)f(x)x3ax在1，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是_【答案】(0,3【規(guī)范解答】f(x)3x2a，f(x)在1，)上是單調(diào)遞增函數(shù)，f(x)0，a3x2，a3.又a>0，可知0<a3.2、設(shè)f(x)，其中a為正實(shí)數(shù)(1)當(dāng)a時(shí)，求f(x)

12、的極值點(diǎn)；(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍【規(guī)范解答】對(duì)f(x)求導(dǎo)得f(x)ex·.(1)當(dāng)a時(shí)，若f(x)0，則4x28x30，解得x1，x2.結(jié)合，可知xf(x)00f(x)極大值極小值所以x1是極小值點(diǎn)，x2是極大值點(diǎn)(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)在R上不變號(hào)，結(jié)合與條件a>0，知ax22ax10在R上恒成立，即4a24a4a(a1)0，由此并結(jié)合a>0，知0<a1.所以a的取值范圍為a|0<a13.已知函數(shù)f(x)xln x.(1)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；(2)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)a(x1)，其中aR，求函數(shù)g(x)在

13、區(qū)間1，e上的最小值(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))【規(guī)范解答】(1)f(x)ln x1，x>0，由f(x)0得x，所以f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增所以，x是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，極大值點(diǎn)不存在(2)g(x)xln xa(x1)，則g(x)ln x1a，由g(x)0，得xea1，所以，在區(qū)間(0，ea1)上，g(x)為遞減函數(shù)，在區(qū)間(ea1，)上，g(x)為遞增函數(shù)當(dāng)ea11，即a1時(shí)，在區(qū)間1，e上，g(x)為遞增函數(shù)，所以g(x)的最小值為g(1)0.當(dāng)1<ea1<e，即1<a<2時(shí)，g(x)的最小值為g(ea1)aea1.當(dāng)ea1e

14、，即a2時(shí)，在區(qū)間1，e上，g(x)為遞減函數(shù)，所以g(x)的最小值為g(e)aeae.綜上，當(dāng)a1時(shí)，g(x)的最小值為0；當(dāng)1<a<2時(shí)，g(x)的最小值為aea1；當(dāng)a2時(shí)，g(x)的最小值為aeae.【鞏固】1、已知函數(shù)f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間0,1上的最小值【規(guī)范解答】(1)由題意知f(x)(xk1)ex. 令f(x)0，得xk1.f(x)與f(x)的情況如下：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，k1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k1，)(2)當(dāng)k10，即k1時(shí)，f(x)在0,1上單調(diào)遞

15、增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(0)k；當(dāng)0<k1<1，即1<k<2時(shí)，f(x)在0，k1)上單調(diào)遞減，在(k1,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(k1)ek1；當(dāng)k11，即k2時(shí)，f(x)在0,1上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(1)(1k)e.綜上，當(dāng)k1時(shí)，f(x)在0,1上的最小值為f(0)k；當(dāng)1<k<2時(shí)，f(x)在0,1上的最小值為f(k1)ek1；當(dāng)k2時(shí)，f(x)在0,1上的最小值為f(1)(1k)e.2設(shè)函數(shù)f(x)x29ln x在區(qū)間a1，a1上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A1&l

16、t;a2 Ba4Ca2 D0<a3【答案】A【規(guī)范解答】f(x)x29ln x，f(x)x(x>0)，當(dāng)x0時(shí)，有0<x3，即在(0,3上原函數(shù)是減函數(shù)，a1>0且a13，解得1<a2.3 函數(shù)f(x)x33x22在區(qū)間1,1上的最大值是()A2 B0 C2 D4【答案】C【規(guī)范解答】f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2.f(x)在1,0)上是增函數(shù)，f(x)在(0,1上是減函數(shù)f(x)maxf(x)極大值f(0)2.【拔高】1、(2013·課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)ex(axb)x24x，曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為y4x4

17、.(1)求a，b的值；(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值【規(guī)范解答】(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4yf(x)在(0，f(0)處的切線方程為y4x4，f(0)ab44，f(0)b4，a4，b4.(2)由(1)知f(x)4ex(x2)2(x2)2(x2)(2ex1)令f(x)0得x12，x2ln ，列表：x(，2)2ln f(x)00f(x)極大值極小值yf(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，2)，；單調(diào)減區(qū)間為.f(x)極大值f(2)44e2.2 已知函數(shù)f(x)(ax2bxc)ex在0,1上單調(diào)遞減且滿足f(0)1，f(1)0.(1)求a的取值范圍(2)設(shè)g(

18、x)f(x)f(x)，求g(x)在0,1上的最大值和最小值【規(guī)范解答】(1)由f(0)1，f(1)0，得c1，ab1，則f(x)ax2(a1)x1ex，f(x)ax2(a1)xaex，依題意對(duì)于任意x0,1，有f(x)0.當(dāng)a>0時(shí)，因?yàn)槎魏瘮?shù)yax2(a1)xa的圖像開口向上，而f(0)a<0，所以需f(1)(a1)e<0，即0<a<1；當(dāng)a1時(shí)，對(duì)于任意x0,1，有f(x)(x21)ex0，且只在x1時(shí)f(x)0，f(x)符合條件；當(dāng)a0時(shí)，對(duì)于任意x0,1，f(x)xex0，且只在x0時(shí)，f(x)0，f(x)符合條件；當(dāng)a<0時(shí)，因f(0)a>0，f(x)不符合條件故a的取值范圍為0a1.(2)因g(x)(2ax1a)ex，g(x)(2ax1a)ex，當(dāng)a0時(shí)，g(x)ex>0，g(x)在x0處取得最小值g(0)1，在x1處取得最大值g(1)e.當(dāng)a1時(shí)，對(duì)于任意x0,1有g(shù)(x)2xex0，g(x)在x0處取得最大值g(0)2，在x1處取得最小值g(1)0.當(dāng)0<a<1時(shí)，由g(x)0得x>0. 若1，即0<a時(shí)， g(x)在0,1上單調(diào)遞增，g(x)在x0處取得最小值g(