1、函數(shù)的定義域與值域的常用方法一求函數(shù)的解析式1、函數(shù)的解析式表示函數(shù)與自變量之間的一種對應(yīng)關(guān)系，是函數(shù)與自變量建立聯(lián)系的一座橋梁，其一般形式是y = f x，不能把它寫成f x, y= 0;2、求函數(shù)解析式一般要寫出定義域，但假設(shè)定義域與由解析式所確定的自變量的范圍一致時，可以不標(biāo)出 定義域；一般地，我們可以在求解函數(shù)解析式的過程中確保恒等變形；3、求函數(shù)解析式的一般方法有： 1 直接法：根據(jù)題給條件，合理設(shè)置變量，尋找或構(gòu)造變量之間的等量關(guān)系，列出等式，解出y。 2 待定系數(shù)法：假設(shè)明確了函數(shù)的類型，可以設(shè)出其一般形式，然后代值求出參數(shù)的值；3換元法：假設(shè)給出了復(fù)合函數(shù)f gx的表達(dá)式，求f

2、 x的表達(dá)式時可以令t = g x，以換元法解之；4構(gòu)造方程組法：假設(shè)給出 fx和f x，或fx和f 1/x的一個方程，那么可以 x代換x或 1/x構(gòu)造出另一個方程，解此方程組，消去f x或f 1/x即可求出fx的表達(dá)式； 5根據(jù)實(shí)際問題求函數(shù)解析式：設(shè)定或選取自變量與因變量后，尋找或構(gòu)造它們之間的等量關(guān)系，列 出等式，解出 y 的表達(dá)式；要注意，此時函數(shù)的定義域除了由解析式限定外，還受其實(shí)際意義限定。二求函數(shù)定義域1、函數(shù)定義域是函數(shù)自變量的取值的集合，一般要求用集合或區(qū)間來表示；2、常見題型是由解析式求定義域，此時要認(rèn)清自變量，其次要考查自變量所在位置，位置決定了自變量的 范圍，最后將求定

3、義域問題化歸為解不等式組的問題；3、如前所述，實(shí)際問題中的函數(shù)定義域除了受解析式限制外，還受實(shí)際意義限制，如時間變量一般取非負(fù)4、 對復(fù)合函數(shù)y= f g x的定義域的求解，應(yīng)先由 y= fu求出u的范圍，即g x的范圍，再從中 解出x的范圍li；再由gx求出y= gX的定義域12, 11和I2的交集即為復(fù)合函數(shù)的定義域；5、分段函數(shù)的定義域是各個區(qū)間的并集；6、含有參數(shù)的函數(shù)的定義域的求解需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，假設(shè)參數(shù)在不同的范圍內(nèi)定義域不一樣，那么 在表達(dá)結(jié)論時分別說明；7、求定義域時有時需要對自變量進(jìn)行分類討論，但在表達(dá)結(jié)論時需要對分類后求得的各個集合求并集，作 為該函數(shù)的定義域；三求

4、函數(shù)的值域1、函數(shù)的值域即為函數(shù)值的集合，一般由定義域和對應(yīng)法那么確定，常用集合或區(qū)間來表示；2、 在函數(shù)f: AB中，集合B未必就是該函數(shù)的值域，假設(shè)記該函數(shù)的值域?yàn)镃,那么C是B的子集；假設(shè)C= B，那么該函數(shù)作為映射我們稱為"滿射；3、分段函數(shù)的值域是各個區(qū)間上值域的并集；4、 對含參數(shù)的函數(shù)的值域，求解時須對參數(shù)進(jìn)行分類討論； 表達(dá)結(jié)論時要就參數(shù)的不同范圍分別進(jìn)行表達(dá)；5、假設(shè)對自變量進(jìn)行分類討論求值域，應(yīng)對分類后所求的值域求并集；6、求函數(shù)值域的方法十分豐富，應(yīng)注意總結(jié);四求函數(shù)的最值1、設(shè)函數(shù)y = f x定義域?yàn)锳，那么當(dāng)x A時總有fxWfxo= M，那么稱當(dāng)x =

5、xo時fx取最大值 M ;當(dāng)x A時總有fx?fxi= N,那么稱當(dāng)x = xi時fx取最小值 N ;2、求函數(shù)的最值問題可以化歸為求函數(shù)的值域問題；3、閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)必有最值。【典型例題】考點(diǎn)一：求函數(shù)解析式1、直接法：由題給條件可以直接尋找或構(gòu)造變量之間的聯(lián)系。例1.函數(shù)y= fx滿足xy v 0,4x2 9y2= 36,求該函數(shù)解析式。解：由4x2 9y2= 36可解得:2x2 932、x2 93一，x2/93一，x說明：這是一個分段函數(shù)，必須分區(qū)間寫解析式，不可以寫成2=x2_93的形式。2、待定系數(shù)法：由題給條件可以明確函數(shù)的類型，從而可以設(shè)出該類型的函數(shù)的一般式，然后再求出各個參

6、變量的值。例2.在一定條件下，某段河流的水流量y與該段河流的平均深度 x成反比，又測得該段河流某段平均水深為2m時，水流量為340m3/s，試求該段河流水流量與平均深度的函數(shù)關(guān)系式。ky _解：設(shè) X，代入x, y的值可求得反比例系數(shù)k= 780m3/s,故所求函數(shù)關(guān)系式為780,x x3、換元法：題目給出了與所求函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)表達(dá)式，可將內(nèi)函數(shù)用一個變量代換。例3.f()X2 X 1x2，試求 f (x)。t解:設(shè)x 11xx ，那么 t 1，代入條件式可得:2 2f(t)t t 1 , t 知故得：f(x) X X hx 1。說明：要注意轉(zhuǎn)換后變量范圍的變化，必須確保等價變形。4、構(gòu)造

7、方程組法：對同時給出所求函數(shù)及與之有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的條件式，可以據(jù)此構(gòu)造出另一個方程，聯(lián)立求解。f (x)2f(i) 3x2 4x 5例4. 1x，試求f(x)；22 f(x) 2f ( x) 3x4x 5，試求 f(x)；解：1由條件式，以x代X,那么得f (x)2f(x)34x41x5，與條件式聯(lián)立，消去X，那么得:82 4x 5x3x3 3。2由條件式，以一x代x那么得：f( x) 2f(x)3x24x與條件式聯(lián)立，消去x，那么得:x x2 4x 5故所求函數(shù)的定義域由解析式確定，說明：此題雖然沒有給出定義域，但由于變形過程一直保持等價關(guān)系, 不需要另外給出。5、實(shí)際問題中的函數(shù)解析式：這

8、是高考的一個熱點(diǎn)題型，一般難度不大，所涉及知識點(diǎn)也不多，關(guān)鍵是合 理設(shè)置變量，建立等量關(guān)系。例5.動點(diǎn)P從邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)B出發(fā)，順次經(jīng)過 C、D再到A停止。設(shè)x表示P行駛的:0, 1 時:路程，y表示PA的長，求y關(guān)于x的函數(shù)。當(dāng) x 1,2時：yx21 .時：y.3 x 21當(dāng) x2,3故綜上所述，有x,x0,1y.x21,x(1,2r2,3x1,x(2,3解：由題意知：當(dāng)x 考點(diǎn)二：求函數(shù)定義域1、由函數(shù)解析式求函數(shù)定義域：由于解析式中不同的位置決定了變量不同的范圍，所以解題時要認(rèn)真分析 變量所在的位置；最后往往是通過解不等式組確定自變量的取值集合。y Jx 2例6.求x

9、3X 4的定義域。解：由題意知:，從而解得:x> 2且x工土 4.故所求定義域?yàn)?x|x> 2 且 x 工土 4。2、求分段函數(shù)的定義域：對各個區(qū)間求并集。 例7.函數(shù)由下表給出，求其定義域X123456Y2231435617解：1 , 2, 3, 4, 5, 6。3、求與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的定義域：由外函數(shù)f u的定義域可以確定內(nèi)函數(shù) g X的范圍，從而解得 x Ii,又由g x定義域可以解得 x I2.那么IiA I2即為該復(fù)合函數(shù)的定義域。也可先求出復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式后再行求 解。例8f(x) , x3, g(x)x,求yf (g(x)的定義域.x2 4x3由f(x)x 3x 3g(

10、x) 3x3解：. x 4x3又由于x2 4x + 3>0*聯(lián)立*、*兩式可解得:9 3 3c93 3x 1或3x44故所求定義域?yàn)閤|于x 1或3 x Lp例9.假設(shè)函數(shù)f 2x的定義域是1,1,求fIog2x的定義域。解：由f 2x的定義域是1 , 1可知：21<2<2所以fx的定義域?yàn)? 1 , 2:,故Iog2x 21, 2L解得 2 X 4，故定義域?yàn)?2,4。4、求解含參數(shù)的函數(shù)的定義域：一般地，須對參數(shù)進(jìn)行分類討論，所求定義域隨參數(shù)取值的不同而不同。例10.求函數(shù)f (x) ax 1的定義域。解：假設(shè)a 0，那么x R ；1假設(shè)a 0，那么x 1 ；a1假設(shè)a

11、0 ,那么x -；a故所求函數(shù)的定義域：11當(dāng)a 0時為R,當(dāng)a 0時為x|x ，當(dāng)a 0時為 x|xaa說明：此處求定義域是對參變量 a進(jìn)行分類討論，最后表達(dá)結(jié)論時不可將分類討論的結(jié)果寫成并集的形式,必須根據(jù)a的不同取值范圍分別論述?？键c(diǎn)三：求函數(shù)的值域與最值F面通過例題來探究一些常用的方法；隨著高中學(xué)習(xí)的深入,我們求函數(shù)的值域和最值的方法十分豐富, 將學(xué)習(xí)到更多的求函數(shù)值域與最值的方法。1、別離變量法y例11.求函數(shù)2x 3空解:x 132x11說明：這是一個分式函數(shù)，分子、x 1，因?yàn)?，故y2,所以值域?yàn)閥|y工2分母均含有自變量x.可通過等價變形，讓變量只出現(xiàn)在分母中，再行求解。2、

12、配方法例12.求函數(shù)y = 2x2+ 4x的值域。解：y = 2x2 + 4x = 2x2 + 2x + 1 2 = 2x+ 12-2亠 2,故值域?yàn)閥|y A 2。說明：這是一個二次函數(shù)，可通過配方的方法來求得函數(shù)的值域。類似的，對于可以化為二次函數(shù)的函數(shù) 的值域也可采用此方法求解，如y = af2 x+ bf x+ c。3、判別式法例13.求函數(shù)y 1的值域。 ? 2x 3的值域。4x 5x 6x2 2x 324x 5x 6 可變形為：4y 1x2+ 5y 2x+ 6y 3= 0,由4可解得:26 6.3 26 6 37171。說明：對分子分母最高次數(shù)為二次的分式函數(shù)的值域求解，可以考慮采

13、用此法。要注意兩點(diǎn)：第一，其定義域一般僅由函數(shù)式確定， 題中條件不再另外給出； 如果題中條件另外給出了定義域,那么一般情況下就不能用此法求解值域；第二，用判別式法求解函數(shù)值域的理論依據(jù)是函數(shù)的定義域?yàn)榉强諗?shù)集,所以將原函數(shù)變形為一個關(guān)于x的一元二次方程后，該方程的解集就是原函數(shù)的定義域，故>04、單調(diào)性法2例14.求函數(shù)y3 , x 4, 5的值域。X解：由于函數(shù)723513X 為增函數(shù)，故當(dāng)X = 4時，ymin = 2 ；當(dāng)X = 5時，ymax= 5，所以函數(shù)的值域?yàn)? 132, 55、換元法例15.求函數(shù)y 2x 4 1 X的值域。解：令 t 1 X 0，那么 y = 2t2 +

14、 4t+ 2= t- 12+ 4, t >，故所求值域?yàn)閥|y <46、分段函數(shù)的值域：應(yīng)為各區(qū)間段上值域的并集。X,X 1,2例16.求函數(shù)yx2,x (2,3的值域。2x 1,x (3,4解：當(dāng) x 1, 2時，y 1 , 2;當(dāng) x (2, 3時，y(4, 9;當(dāng) x(3, 4時，y (5, 7綜 上所述，y 1 , 2U (3, 9。7、圖像法:例 17 設(shè) f(x)=x2 x > 2''假設(shè)f(g(x)的值域是0,+I,貝U函數(shù)y = g(x)的值域是X, X <1,A.( - 8, 1 U 1,+ 8)C.0，+ m)B.( 8, 1 U 0 ,+ 8)D.1 , + 8)解析：如圖為f(x)的圖象，由圖象知f(x)的值域?yàn)?一1,+8),假設(shè) f(g(x)的值域是0,+),只需 g(x) (汽1 U 0,+ ).應(yīng)選B.8、反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得