1、14.1 頻率特性頻率特性4.2 典型環(huán)節(jié)的伯德圖典型環(huán)節(jié)的伯德圖4.6 相對穩(wěn)定性分析相對穩(wěn)定性分析4.3 控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的伯德圖控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的伯德圖4.4 由伯德圖確定傳遞函數(shù)由伯德圖確定傳遞函數(shù)4.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)24.1 頻率特性頻率特性4.1.1 頻率特性的定義頻率特性的定義4.1.2 頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)4.1.3 頻率特性的幾何表示頻率特性的幾何表示3 4.1.1 4.1.1 頻率特性的定義頻率特性的定義 定義：線性定常系統(tǒng)的輸出量的傅氏變換與定義：線性定常系統(tǒng)的輸出量的傅氏變換與輸入量的傅氏變換之比，定義為系統(tǒng)的頻率輸入量的傅氏變換之比，定義為系統(tǒng)

2、的頻率特性，即特性，即 從數(shù)學(xué)意義上，頻率特性與傳遞函數(shù)存在下從數(shù)學(xué)意義上，頻率特性與傳遞函數(shù)存在下列簡單的關(guān)系：列簡單的關(guān)系： jssGjG)()()()()(jRjYjG41( )1G sTs11)(TjjG頻率特性是復(fù)變函數(shù)，頻率特性是復(fù)變函數(shù)， 頻率頻率w是實變量。是實變量。例例5 頻率特性一般是復(fù)變函數(shù)，所以可以表示為頻率特性一般是復(fù)變函數(shù)，所以可以表示為指數(shù)形式指數(shù)形式 幅角形式幅角形式 記記 稱為幅頻特性，稱為幅頻特性， 稱為相頻特性。頻率特性也可以表示為稱為相頻特性。頻率特性也可以表示為 代數(shù)形式代數(shù)形式)()()(jGjejGjG)()()(jGjGjG)()(jGA)()(

3、jG)(Im)(Re)(jGjjGjG6記記 稱為實頻特性；稱為實頻特性； 稱為虛頻特性。稱為虛頻特性。 顯然，代數(shù)形式和指數(shù)形式（或幅角形式）顯然，代數(shù)形式和指數(shù)形式（或幅角形式）存在下列關(guān)系存在下列關(guān)系 )(Re)(jGU)(Im)(jGV)()()(22VUA)()()(1UVtg 4.4.1.2 1.2 頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)線性定常系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是同頻率的正弦信號，線性定常系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是同頻率的正弦信號，其幅值為頻率特性的幅值與輸入信號幅值的乘積，其幅值為頻率特性的幅值與輸入信號幅值的乘積，相位為頻率特性的相角與正弦輸入信號的相角之相位為頻率特性的相角與正弦輸入信號的相角之和和 。頻率響

4、應(yīng)：正弦輸入信號作用下線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)頻率響應(yīng)：正弦輸入信號作用下線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。響應(yīng)稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。( )() sin()ssytR G jwwtG j利用頻率特性的這一性質(zhì)，可以求取系統(tǒng)在正弦輸入下利用頻率特性的這一性質(zhì)，可以求取系統(tǒng)在正弦輸入下的信號的穩(wěn)態(tài)解，例如，可以用頻率特性求取線性系統(tǒng)的信號的穩(wěn)態(tài)解，例如，可以用頻率特性求取線性系統(tǒng)在正弦輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。在正弦輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。( )() sin()sseeetRjwwtjw88例：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為例：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ，當(dāng)，當(dāng) 時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。時，求系

5、統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 ( )() sin()sseeetKjtjTjTjje1)(221)(TTjeTtgje12)(tTTRtTTRTtgtTTRtesssin1cos1)2sin(1)(2222221221( )G sTs( )sin()r tRwt94.1.3 頻率特性的幾何表示頻率特性的幾何表示 頻率法是一種圖解方法，主要有奈奎斯特頻率法是一種圖解方法，主要有奈奎斯特( (NyquistNyquist) )圖（簡稱奈氏圖）、伯德圖（簡稱奈氏圖）、伯德(Bode)(Bode)圖圖和尼柯爾斯和尼柯爾斯( (Nichols)Nichols)圖（簡稱尼氏圖）等頻圖（簡稱尼氏圖）等頻率特性圖。率特性圖

6、。1. 1. 奈氏圖（奈氏圖（Nyquist Nyquist 圖）圖） 奈氏圖是在極坐標(biāo)系中，以奈氏圖是在極坐標(biāo)系中，以 為參變量，為參變量， 為極徑，為極徑， 為極角的頻率特性圖，也稱為幅為極角的頻率特性圖，也稱為幅相頻率特性圖。相頻率特性圖。)(jG)(jG)(Im)(Re)(jGjjGjG( )Re ()UG jw( )Im ()VG jw實頻特性實頻特性 虛頻特性虛頻特性 )(Re)(jGU)(Im)(jGV為參變量，為參變量，為橫坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)， 為縱坐標(biāo)的頻率特性圖。為縱坐標(biāo)的頻率特性圖。例如，慣性環(huán)節(jié)例如，慣性環(huán)節(jié)TjjG11)(的奈氏圖如圖所示。的奈氏圖如圖所示。 2)(11)

7、(TjG)()(1TtgjG2)(11)(TU2)(1)(TTV 2211( )( )24UV或者等價地或者等價地，奈氏圖是在直角坐標(biāo)系奈氏圖是在直角坐標(biāo)系中，以11 2 2 伯德圖伯德圖 （BodeBode圖，圖，由兩幅圖組成由兩幅圖組成） )(lg20jG)(jG。另一幅是對數(shù)相頻率特性圖，橫坐標(biāo)是對數(shù)頻率，縱坐標(biāo)是相角幅頻特性幅頻特性 相頻特性相頻特性 )(lg20jG)(jG)(lg20jG)(jG一幅是對數(shù)幅頻特性圖，橫坐標(biāo)是對數(shù)頻率，縱坐標(biāo)是幅值的分貝值，即。124.2 4.2 典型環(huán)節(jié)的伯德圖典型環(huán)節(jié)的伯德圖 1 1） 放大環(huán)節(jié)放大環(huán)節(jié) KjG)( 2 2） 微分、積分環(huán)節(jié)微分、

8、積分環(huán)節(jié) ljjG)(1)(,.)2, 1(llg20)(lg20)(ljGL2)()(ljG 13 3 3） 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) TjjG11)(221lg20)(lg20)(TjGLTtgjG1)()(14TjjG 1)(221lg20)(lg20)(TjGLTtgjG1)()(4 4） 一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié) 151)(2)(1)(22jTjTjG2222)2()1 (lg20)(TTL22112)(TTtg5 5） 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)16 6 6） 滯后環(huán)節(jié)滯后環(huán)節(jié) jejG)(01lg20)(lg20)(jGL)()(jG1ImjRe01Bode圖圖 0)( )(L0Nyquist 圖

9、圖 174.3 4.3 控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的伯德圖控制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的伯德圖 控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的伯德圖是頻域分析、設(shè)計系統(tǒng)控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的伯德圖是頻域分析、設(shè)計系統(tǒng)的基礎(chǔ)。的基礎(chǔ)。 根據(jù)典型環(huán)節(jié)的伯德圖，容易繪制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的根據(jù)典型環(huán)節(jié)的伯德圖，容易繪制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的伯德圖。伯德圖。 開環(huán)頻率特性的對數(shù)幅頻特性、相頻特性分別為其組成開環(huán)頻率特性的對數(shù)幅頻特性、相頻特性分別為其組成環(huán)節(jié)的幅頻特性、相頻特性之和。環(huán)節(jié)的幅頻特性、相頻特性之和。在伯德圖上就是各個環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性、相頻特性曲在伯德圖上就是各個環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性、相頻特性曲線的疊加。因此，可以先畫出各個

10、環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性線的疊加。因此，可以先畫出各個環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和相頻特性曲線，然后進行疊加，即可得到開環(huán)頻率特和相頻特性曲線，然后進行疊加，即可得到開環(huán)頻率特性的對數(shù)幅頻特性、相頻特性曲線。性的對數(shù)幅頻特性、相頻特性曲線。 18 對數(shù)幅頻特性曲線常用其漸近線表示，對數(shù)幅頻特性曲線常用其漸近線表示，對數(shù)幅頻特性曲線漸近線可直接畫出。對數(shù)幅頻特性曲線漸近線可直接畫出。 開環(huán)對數(shù)幅頻特性在第一個轉(zhuǎn)折頻率以開環(huán)對數(shù)幅頻特性在第一個轉(zhuǎn)折頻率以前的部分稱為低頻段。對數(shù)幅頻特性在前的部分稱為低頻段。對數(shù)幅頻特性在和和0 0db/decdb/dec交點處的頻率附近的頻段稱為交點處的頻率附近的頻段稱為中頻段

11、，交點頻率稱為開環(huán)截止頻率，中頻段，交點頻率稱為開環(huán)截止頻率，或者穿越頻率。在最后一個轉(zhuǎn)折頻率以或者穿越頻率。在最后一個轉(zhuǎn)折頻率以后的頻段稱為高頻段。后的頻段稱為高頻段。 19繪制伯德圖的一般步驟：繪制伯德圖的一般步驟：1 1）將傳遞函數(shù)寫成伯德標(biāo)準(zhǔn)型，確定開環(huán)傳遞系數(shù)和各轉(zhuǎn)）將傳遞函數(shù)寫成伯德標(biāo)準(zhǔn)型，確定開環(huán)傳遞系數(shù)和各轉(zhuǎn)折頻率。折頻率。2 2）繪制對數(shù)坐標(biāo)，并將各個轉(zhuǎn)折頻率標(biāo)注在坐標(biāo)軸上。）繪制對數(shù)坐標(biāo)，并將各個轉(zhuǎn)折頻率標(biāo)注在坐標(biāo)軸上。3 3）確定低頻段。）確定低頻段。4 4）繪制開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近線）繪制開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近線5)5)在轉(zhuǎn)折頻率處進行適當(dāng)修正，可以得到較為準(zhǔn)確的對數(shù)

12、幅在轉(zhuǎn)折頻率處進行適當(dāng)修正，可以得到較為準(zhǔn)確的對數(shù)幅頻特性。頻特性。6 6）繪制相頻特性曲線。）繪制相頻特性曲線。20 確定低頻段的一般方法確定低頻段的一般方法若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)有 個積分環(huán)節(jié)，個積分環(huán)節(jié)，則稱為則稱為 型系統(tǒng)。型系統(tǒng)。 型系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特型系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性的低頻段近似為性的低頻段近似為對于對于0 0型系統(tǒng)，作一條高度為的型系統(tǒng)，作一條高度為的0 0db/decdb/dec的直線的直線（水平線）；對于（水平線）；對于1 1型系統(tǒng)型系統(tǒng), ,過過=1,L(1)=20lgK=1,L(1)=20lgK這一點，作一條斜率為這一點，作一條斜率為-20-20db/

13、decdb/dec的直線；對于的直線；對于2 2型系統(tǒng)，過型系統(tǒng)，過,L(1)=20lgK,L(1)=20lgK這一點，作一條斜這一點，作一條斜率為率為-40-40db/decdb/dec的直線。上面作出的直線上在第的直線。上面作出的直線上在第一個轉(zhuǎn)折頻率之前的那一部分即為對數(shù)幅頻特一個轉(zhuǎn)折頻率之前的那一部分即為對數(shù)幅頻特性的低頻段。性的低頻段。 vvvvKLlg20)(21 例例1 1 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 解解 1 1）將傳遞函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)形式）將傳遞函數(shù)寫成標(biāo)準(zhǔn)形式)1004)(2()5(2000)()(2ssssssHsG)10(102 . 021)(211 ()51

14、1 (50)()(2ssssssHsG22 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為則開環(huán)傳遞系數(shù)為則開環(huán)傳遞系數(shù)為K=50K=50，轉(zhuǎn)折頻率為，轉(zhuǎn)折頻率為 ， 2 2）繪制對數(shù)坐標(biāo)，并將各個轉(zhuǎn)折頻率標(biāo)注）繪制對數(shù)坐標(biāo)，并將各個轉(zhuǎn)折頻率標(biāo)注在坐標(biāo)軸上。在坐標(biāo)軸上。 )10(102 . 021)(211 ()511 (50)()(2jjjjjjHjG215210323 3 3）確定低頻段：）確定低頻段： 因為系統(tǒng)是因為系統(tǒng)是1 1型系統(tǒng)，型系統(tǒng)，K=50K=50，20lgK=20lg50=34db,20lgK=20lg50=34db,所以所以, ,可以過可以過=1, =1, 這一點，作一條這一點

15、，作一條- -2020db/decdb/dec的斜線，得到對數(shù)幅頻特性低頻段的斜線，得到對數(shù)幅頻特性低頻段 。 4 4）繪制開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近線：將低頻段延）繪制開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近線：將低頻段延伸到第一個轉(zhuǎn)折頻率伸到第一個轉(zhuǎn)折頻率 。dbL34)(2124 因為第一個轉(zhuǎn)折頻率是慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折因為第一個轉(zhuǎn)折頻率是慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，所以，開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近頻率，所以，開環(huán)對數(shù)幅頻特性的漸近線下降線下降2020db/decdb/dec，再延伸到第二個轉(zhuǎn)折，再延伸到第二個轉(zhuǎn)折頻率，因為是一階微分環(huán)節(jié)，所以增加頻率，因為是一階微分環(huán)節(jié)，所以增加2020db/decdb/dec，再延伸到第三

16、個轉(zhuǎn)折頻率，再延伸到第三個轉(zhuǎn)折頻率，因為是振蕩環(huán)節(jié)，所以減少因為是振蕩環(huán)節(jié)，所以減少4040db/decdb/dec。 5 5）繪制相頻特性：繪制各個環(huán)節(jié)的對）繪制相頻特性：繪制各個環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線，然后逐點疊加。數(shù)相頻特性曲線，然后逐點疊加。 25 6)6)在轉(zhuǎn)折頻率處進行適當(dāng)修正，可以得到較在轉(zhuǎn)折頻率處進行適當(dāng)修正，可以得到較為準(zhǔn)確的對數(shù)幅頻特性：對于慣性環(huán)節(jié)，在轉(zhuǎn)為準(zhǔn)確的對數(shù)幅頻特性：對于慣性環(huán)節(jié)，在轉(zhuǎn)折頻率處減少折頻率處減少3dB3dB。對于一階微分環(huán)節(jié)，在轉(zhuǎn)。對于一階微分環(huán)節(jié)，在轉(zhuǎn)折頻率處增加折頻率處增加3 3分貝。對于振蕩環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)折頻分貝。對于振蕩環(huán)節(jié)，轉(zhuǎn)折頻率率 處的誤差值

17、為處的誤差值為103)(82 . 021lg2021lg20)(3dbwL26 求出最大誤差值為求出最大誤差值為 根據(jù)這兩個值，對漸近線進行修正，如圖中實根據(jù)這兩個值，對漸近線進行修正，如圖中實線所示。線所示。6 . 9212maxn)( 1 . 8121lg202maxdbL27 Frequency (rad/sec)Phase (deg); Magnitude (dB)Bode Diagrams-100-50050100 10-210-1100101102-300-200-1000 28 例例2 2 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 22)10)(1 . 0()2 . 0(1000

18、)()(sssssHsG-200-150-100-50050100150Magnitude (dB)Bode DiagramFrequency (rad/sec)10-210-1100101102103-360-315-270-225-180Phase (deg)29500(2)( )( )(10)(50)sG s H sss例例3 3 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 30 例例4 4 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 31 1. 1. 最小與非最小相位系統(tǒng)的概念最小與非最小相位系統(tǒng)的概念 如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在右半如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在右半S S平面上沒有平面上沒有極點和零點，

19、而且不包含滯后環(huán)節(jié)，則稱為最極點和零點，而且不包含滯后環(huán)節(jié)，則稱為最小相位系統(tǒng)，否則，稱為非最小相位系統(tǒng)。小相位系統(tǒng)，否則，稱為非最小相位系統(tǒng)。 只包含比例、積分、微分、慣性、振蕩、只包含比例、積分、微分、慣性、振蕩、一階微分和二階微分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)是最小相位系一階微分和二階微分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)。而包含不穩(wěn)定環(huán)節(jié)或滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)則是統(tǒng)。而包含不穩(wěn)定環(huán)節(jié)或滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)則是非最小相位系統(tǒng)。非最小相位系統(tǒng)。4.4 4.4 由伯德圖確定傳遞函數(shù)由伯德圖確定傳遞函數(shù)322. 2. 由伯德圖確定傳遞函數(shù)由伯德圖確定傳遞函數(shù) 對于最小相位系統(tǒng)，幅頻特性和相頻特性是單對于最小相位系統(tǒng)，幅頻特性和相頻特性

20、是單值對應(yīng)的，因此，根據(jù)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性就可值對應(yīng)的，因此，根據(jù)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性就可以寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或者頻率特性。以寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或者頻率特性。 例例1 1 某最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性的漸近某最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性的漸近線如圖線如圖2.572.57所示，確定該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。所示，確定該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。33圖 2 .5 7 最 小 相 位 系 統(tǒng) 的 伯 德 圖)(L)(L01 010 .40 .12 04 0-2 0-4 0-2 0-6 04 .4 4 d Bd B34 解解 由于對數(shù)幅頻特性的低頻段是由于對數(shù)幅頻特性的低頻段是 -20-20dB/decdB/dec的直線，

21、所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有一積分環(huán)節(jié)。的直線，所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有一積分環(huán)節(jié)。根據(jù)轉(zhuǎn)折點處對數(shù)幅頻特性漸近線斜率的變化，根據(jù)轉(zhuǎn)折點處對數(shù)幅頻特性漸近線斜率的變化，容易寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為容易寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 )10(10121)(4 . 011 ()1 ()(2sssssKsG35 由于低頻段的延長線與由于低頻段的延長線與0db0db線（橫坐標(biāo)軸）的交點線（橫坐標(biāo)軸）的交點為為 ，因此，因此，K=10K=10。 由于在轉(zhuǎn)折頻率處對數(shù)幅頻特性和其漸近線的誤差由于在轉(zhuǎn)折頻率處對數(shù)幅頻特性和其漸近線的誤差為為4.44db4.44db，由式（，由式（4.174.17）得）得 44.421lg203.

22、0 所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為)1006)(4 . 0() 1(400)01. 006. 01)(5 . 21 ()1 (10)(22sssssssssssG1036 例例2 2 某最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性的漸某最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性的漸近線如圖近線如圖2.582.58所示，確定該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。所示，確定該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。圖2.58 最小相位系統(tǒng)的伯德圖)(L01010.2-20-60-2037 解解 由于對數(shù)幅頻特性的低頻段是由于對數(shù)幅頻特性的低頻段是-20-20dB/decdB/dec的直線，所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有的直線，所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有1 1個積分環(huán)個積分

23、環(huán)節(jié)。根據(jù)轉(zhuǎn)折點處對數(shù)幅頻特性漸近線斜率的節(jié)。根據(jù)轉(zhuǎn)折點處對數(shù)幅頻特性漸近線斜率的變化，容易寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為變化，容易寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2222)51 ()1 .01 ()2 .011 ()1011 ()(sssKsssKsG38 在穿越頻率在穿越頻率=1=1處處L(1)=0L(1)=0，由此或者，由此或者 確定確定K K。 通常在穿越頻率通常在穿越頻率=1=1附近，轉(zhuǎn)折頻率在穿越頻率附近，轉(zhuǎn)折頻率在穿越頻率左邊的慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性可以認(rèn)為是左邊的慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性可以認(rèn)為是- -2020dB/decdB/dec的斜線，即可以近似為一個積分環(huán)節(jié)。而的斜線，即可以近似為一個積分環(huán)節(jié)

24、。而轉(zhuǎn)折頻率在穿越頻率右邊的慣性環(huán)節(jié)的幅頻特性可轉(zhuǎn)折頻率在穿越頻率右邊的慣性環(huán)節(jié)的幅頻特性可以認(rèn)為是以認(rèn)為是0dB0dB的水平線，即可以近似為的水平線，即可以近似為1 1。 1)(1jG39 一階微分環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)等可以進行一階微分環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)等可以進行類似的近似處理，從而簡化計算。類似的近似處理，從而簡化計算。 在本例中，在穿越頻率在本例中，在穿越頻率=1=1附近，可以作下列近似附近，可以作下列近似32222225)5()5(1()1 .0(1(KKK 因為在因為在=1=1 處，開環(huán)對數(shù)幅頻特性為處，開環(huán)對數(shù)幅頻特性為0dB 0dB ， 或者幅值為或者幅值為1

25、1，即，即12513K40因此得因此得K=25,K=25,所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為所以，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 22)51 ()1 . 01 (25)(ssssG414.5 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 前面介紹的幾種穩(wěn)定性判據(jù)，都是基于系前面介紹的幾種穩(wěn)定性判據(jù)，都是基于系統(tǒng)的狀態(tài)方程、微分方程、傳遞函數(shù)等參數(shù)統(tǒng)的狀態(tài)方程、微分方程、傳遞函數(shù)等參數(shù)模型。工程上采用系統(tǒng)的頻率特性等實驗數(shù)模型。工程上采用系統(tǒng)的頻率特性等實驗數(shù)據(jù)來分析、設(shè)計系統(tǒng)。據(jù)來分析、設(shè)計系統(tǒng)。19321932年，美國年，美國BellBell實實驗室的奈奎斯特提出了這樣一種方法。這種驗室的奈奎斯特提出了這樣一種方法。這種方法是以

26、系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線判別方法是以系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，稱為奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。系統(tǒng)的穩(wěn)定性，稱為奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。42 奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：設(shè)系統(tǒng)有設(shè)系統(tǒng)有P P個開環(huán)極點在個開環(huán)極點在右半右半S S平面，當(dāng)平面，當(dāng) 從從 變到變到 時，若奈氏曲時，若奈氏曲線繞線繞 平面的（平面的（-1-1，j0j0）點）點N N圈（參考圈（參考方向為順時針）方向為順時針）, ,則系統(tǒng)有則系統(tǒng)有Z=N+PZ=N+P個閉環(huán)極點在個閉環(huán)極點在右半右半S S平面平面. .當(dāng)當(dāng)Z=0Z=0時系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)奈氏曲線穿時系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)奈氏曲線穿過（過（-1-1，j0j0）點時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定

27、）點時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。)()(jHjG43 應(yīng)用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，需要繪制應(yīng)用奈氏穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性，需要繪制或者由實驗得到奈氏曲線，并確定奈氏曲線繞或者由實驗得到奈氏曲線，并確定奈氏曲線繞平面的（平面的（-1-1，j0j0）點的圈數(shù)）點的圈數(shù)N N，在右半，在右半S S平面的平面的開環(huán)極點數(shù)開環(huán)極點數(shù)P P以及在右半以及在右半S S平面的閉環(huán)極點數(shù)平面的閉環(huán)極點數(shù)Z=N+PZ=N+P。 1 1）確定）確定P P：開環(huán)傳遞函數(shù)在右半：開環(huán)傳遞函數(shù)在右半S S平面的極點平面的極點數(shù)數(shù)P P是容易看出的。對于最小相位系統(tǒng)是容易看出的。對于最小相位系統(tǒng)，P P=0=0。442 2）確定

28、）確定N N的方法的方法: :為了確定為了確定N,N,將奈氏曲線從將奈氏曲線從 平面的下半部穿過負(fù)實軸的平面的下半部穿過負(fù)實軸的 段段, ,到平面到平面 的上半部的上半部1 1次次, ,定義為定義為1 1次正穿越次正穿越; ;反之奈氏曲線從反之奈氏曲線從 平面平面 的上半部穿過負(fù)實軸的的上半部穿過負(fù)實軸的 段段, ,到平到平面面 的下半部的下半部1 1次次, ,定義為定義為1 1次負(fù)穿越次負(fù)穿越, ,如圖如圖4.74.7所示。所示。 )()(jHjG), 1()()(jHjG), 1()()(jHjG)()(jHjG0圖4.7 正、負(fù)穿越-1正穿越負(fù)穿越45若奈氏曲線正穿越若奈氏曲線正穿越 次

29、，負(fù)穿越次，負(fù)穿越 次，則奈氏曲次，則奈氏曲線繞線繞 平面的（平面的（-1-1，j0j0）點的圈數(shù)為）點的圈數(shù)為 ： 3 3）奈氏曲線的畫法：因為奈氏曲線的精確形狀，）奈氏曲線的畫法：因為奈氏曲線的精確形狀，對于對于N N 值的確定并不重要，所以，只要根據(jù)一些值的確定并不重要，所以，只要根據(jù)一些特征畫出奈氏曲線的大致形狀即可。事實上，要特征畫出奈氏曲線的大致形狀即可。事實上，要在的范圍內(nèi)精確畫出奈氏曲線也是不可能的。在的范圍內(nèi)精確畫出奈氏曲線也是不可能的。 NN)()(jHjGNNN46 為了分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，通常要確定奈氏為了分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，通常要確定奈氏曲線的下列特征曲線的下列特征 的映射；

30、的映射； 的映射；的映射； 奈氏曲線與實軸的交點；奈氏曲線與實軸的交點； 根據(jù)這些映射點畫出根據(jù)這些映射點畫出 對應(yīng)的奈對應(yīng)的奈氏曲線，然后根據(jù)奈氏曲線關(guān)于實軸的對氏曲線，然后根據(jù)奈氏曲線關(guān)于實軸的對稱性稱性,畫出畫出 的奈氏曲線。的奈氏曲線。 奈氏路徑中小半圓的映射。奈氏路徑中小半圓的映射。00047 舉例舉例 例例1 1 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為: : 用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解解 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為: :) 1)(1()()(21sTsTKsHsG) 1)(1()()(21TjTjKjHjG48則則 容易看出，當(dāng)容

31、易看出，當(dāng) 時，時， , ,所以，所以，這部分奈氏曲線總在實軸下方，與負(fù)實軸不相這部分奈氏曲線總在實軸下方，與負(fù)實軸不相交（交（ 和和 除外）。根據(jù)上面除外）。根據(jù)上面的分析以及對稱性，可以畫出系統(tǒng)的奈氏曲線。的分析以及對稱性，可以畫出系統(tǒng)的奈氏曲線。 因為因為 ， ，又，又P=0P=0，所以，所以Z=N+P=0Z=N+P=0，因此，該系統(tǒng)是穩(wěn)定，因此，該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。KjHjG)()(lim00)()(lim0jHjG0)()(limjHjG)()(limjHjG00)()(jHjG00NN0NNN49例例2 2 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為: : 用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定

32、性。用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。解解 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為: :) 1)(1()()(21sTsTsKsHsG) 1)(1()()(21TjTjjKjHjG50則則 奈氏曲線與實軸的交點：將頻率特性化為代奈氏曲線與實軸的交點：將頻率特性化為代數(shù)形式：數(shù)形式： 令令 得得)()(lim0jHjG2)()(lim0jHjG0)()(limjHjG23)()(limjHjG)()1() 1()()1 ()()()(221222122122212221221TTTTTTKjTTTTTTKjHjG0)()()(ImVjHjG01212TT51 因為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半因為開環(huán)傳遞函數(shù)在右

33、半S S平面沒有極點，平面沒有極點，所以所以P=0P=0。奈氏曲線繞（。奈氏曲線繞（-1-1，j0j0）點圈數(shù)與交）點圈數(shù)與交點坐標(biāo)有關(guān)。點坐標(biāo)有關(guān)。 當(dāng)當(dāng) 時時, ,奈氏曲線不包圍奈氏曲線不包圍(-1,j0)(-1,j0)點，系統(tǒng)點，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。是穩(wěn)定的。 當(dāng)當(dāng) 時時, ,奈氏曲線包圍奈氏曲線包圍(-1,j0)(-1,j0)點。點。 , , , , 所以系統(tǒng)是不所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，有穩(wěn)定的，有2 2個閉環(huán)極點在右半個閉環(huán)極點在右半S S平面。平面。 當(dāng)當(dāng) 時，奈氏曲線穿越時，奈氏曲線穿越(-1,j0)(-1,j0)點，所以，點，所以，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。 12121 TTT

34、KT12121 TTTKT2N0N2PNZ12121 TTTKT52 例例 3 3 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解解 系統(tǒng)的頻率特性為系統(tǒng)的頻率特性為: :)1()1()()(2TsssKsHsG) 1()() 1()()(2TjjjKjHjG53 下面分幾種情況討論。下面分幾種情況討論。 其中，其中， 是趨于是趨于0 0的正角度的正角度. .由于當(dāng)由于當(dāng) 時，時， ，所以這部分奈氏曲線總在，所以這部分奈氏曲線總在實軸下方實軸下方, ,與負(fù)實軸不相（與負(fù)實軸不相（ 和和 除外）。根據(jù)上面的分析以及對稱性，可以畫除外）。根

35、據(jù)上面的分析以及對稱性，可以畫出系統(tǒng)的奈氏曲線。出系統(tǒng)的奈氏曲線。 T)()(lim0jHjG)()(lim0jHjG0)()(limjHjG)()(limjHjG00)()(jHjG054 奈氏路徑中小半圓的映射：從奈氏路徑中小半圓的映射：從 的映的映射點開射點開 始，順時針轉(zhuǎn)過始，順時針轉(zhuǎn)過 ，到，到 的映射點的無窮大半徑的圓弧。的映射點的無窮大半徑的圓弧。 因為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半因為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半S S平面沒有極點，所平面沒有極點，所以以P=0P=0。奈氏曲線不包圍（。奈氏曲線不包圍（-1-1，j0j0）點，所以，）點，所以，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 : : 因為因為 ， ， ，

36、 ， 所以，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，有兩個閉環(huán)極點在所以，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，有兩個閉環(huán)極點在右半右半S S平面。平面。 001802 0T2N0N2PNZ2NNN55 : 這時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為這時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為: : 頻率特性為頻率特性為: :因為奈氏曲線穿越因為奈氏曲線穿越(-1,j0)(-1,j0)點，所以，系統(tǒng)臨界點，所以，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定穩(wěn)定。 T2)()(sKsHsG2)()()(jKjHjG2)()(KjHjG)()(jHjG56 例例4 4 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解解 系統(tǒng)的頻率特性為系統(tǒng)的頻率特性為: :

37、) 1()()(3ssKsHsG) 1()()()(3jjKjHjG57 由于當(dāng)由于當(dāng) 時，時， ，所，所以，這部分奈氏曲線總在第一象限。根據(jù)上面以，這部分奈氏曲線總在第一象限。根據(jù)上面的分析以及對稱性，可以畫出系統(tǒng)的奈氏曲線。的分析以及對稱性，可以畫出系統(tǒng)的奈氏曲線。)()(lim0jHjG23)()(lim0jHjG0)()(limjHjG2)()(limjHjG0223)()(jHjG58 奈氏路徑中小半圓的映射：從奈氏路徑中小半圓的映射：從 的映的映射點開始射點開始, ,順時針轉(zhuǎn)過順時針轉(zhuǎn)過 ，到，到 的映射點的無窮大半徑的圓弧。的映射點的無窮大半徑的圓弧。 因為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半因為

38、開環(huán)傳遞函數(shù)在右半S S平面沒有極點，所平面沒有極點，所以以P=0.P=0.因為因為 ， ， , ,所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個閉環(huán)極點在右半所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個閉環(huán)極點在右半S S平平面。面。 001803 02N0N2PNZ59 例例5 5 已知非最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知非最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解解 系統(tǒng)的頻率特性為系統(tǒng)的頻率特性為: :)1()3()()(sssksHsG)1 ()3 (14) 1() 3()()(222kjkjjjKjHjG60 令令 ，得奈氏曲線與實軸交點處的頻率，得奈氏曲線與實軸交點處的頻率為為

39、。奈氏曲線與實軸交點坐標(biāo)。奈氏曲線與實軸交點坐標(biāo)為為 。根據(jù)上面的分析以及對稱性，可。根據(jù)上面的分析以及對稱性，可以畫出系統(tǒng)的奈氏曲線以畫出系統(tǒng)的奈氏曲線。 )()(lim0jHjG23)()(lim0jHjG0)()(limjHjG21)()(limjHjG0)(V3kU)3(61 奈氏路徑中小半圓的映射：從奈氏路徑中小半圓的映射：從 的映射點開的映射點開始，順時針轉(zhuǎn)過始，順時針轉(zhuǎn)過 ，到，到 的映射點的半徑為無的映射點的半徑為無窮大的圓弧。窮大的圓弧。 因為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半因為開環(huán)傳遞函數(shù)在右半S S平面有平面有1 1個極點，所以個極點，所以P=1P=1。 當(dāng)當(dāng)k1k1時，時， ， ，

40、，系統(tǒng)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。是穩(wěn)定的。 當(dāng)當(dāng)k1k1時，時， , , ， ，系，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，有兩個閉環(huán)極點在右半統(tǒng)是不穩(wěn)定的，有兩個閉環(huán)極點在右半S S平面。平面。 當(dāng)當(dāng)k=0k=0時，奈氏曲線穿越點，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。時，奈氏曲線穿越點，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。 00180 01N2N1NNN011 PNZ1N0N1NNN211 PNZ62 例例6 6 控制系統(tǒng)如圖所示，用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)控制系統(tǒng)如圖所示，用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。穩(wěn)定性。 解解 在該系統(tǒng)中，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為在該系統(tǒng)中，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為: :21ss)(sR)(sC)1)(1(1ss圖 4.13 開 環(huán) 傳 遞 函 數(shù) 存

41、在 零 極 點 對 消) 2)(1(121) 1)(1(1)()(sssssssHsG63 由奈氏穩(wěn)定判據(jù)或者其它判據(jù)，很容易判由奈氏穩(wěn)定判據(jù)或者其它判據(jù)，很容易判別該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。但實際上，系統(tǒng)的閉環(huán)傳別該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。但實際上，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為遞函數(shù)為: : 可見，系統(tǒng)在右半可見，系統(tǒng)在右半S S平面的閉環(huán)極點，一部平面的閉環(huán)極點，一部分由開環(huán)傳遞函數(shù)分由開環(huán)傳遞函數(shù) 決定，另一決定，另一部分是對消掉的不穩(wěn)定的開環(huán)極點部分是對消掉的不穩(wěn)定的開環(huán)極點s=1s=1，所以，所以，系統(tǒng)有系統(tǒng)有1 1個不穩(wěn)定的閉環(huán)極點。個不穩(wěn)定的閉環(huán)極點。 1)2)(1)(1(221) 1)(1(11) 1)(

42、1(1)(sssssssssss)2)(1(1)()(sssHsG64 因此，當(dāng)因此，當(dāng)G(s)G(s)與與H(s)H(s)存在零、極點對消時存在零、極點對消時, ,先先根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù), ,用奈氏穩(wěn)定判據(jù)得到在右用奈氏穩(wěn)定判據(jù)得到在右半半S S平面的閉環(huán)極點數(shù)平面的閉環(huán)極點數(shù) , ,然后再加上對消然后再加上對消掉的不穩(wěn)定的開環(huán)極點數(shù)掉的不穩(wěn)定的開環(huán)極點數(shù) ，就得到系統(tǒng)在，就得到系統(tǒng)在右半右半S S平面的閉環(huán)極點的總數(shù)平面的閉環(huán)極點的總數(shù) 。1Z2Z21ZZZ654.6 4.6 相對穩(wěn)定性分析相對穩(wěn)定性分析 前面介紹的穩(wěn)定判據(jù)是分析系統(tǒng)是否穩(wěn)定，稱為前面介紹的穩(wěn)定判據(jù)是分析系統(tǒng)

43、是否穩(wěn)定，稱為絕對穩(wěn)定性分析。對于實際的控制系統(tǒng)，不僅要求穩(wěn)絕對穩(wěn)定性分析。對于實際的控制系統(tǒng)，不僅要求穩(wěn)定，而且要求具有一定的穩(wěn)定裕度。確定系統(tǒng)的穩(wěn)定定，而且要求具有一定的穩(wěn)定裕度。確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，稱為相對穩(wěn)定性分析。在奈氏圖上，不僅可以裕度，稱為相對穩(wěn)定性分析。在奈氏圖上，不僅可以分析系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，即判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，而且分析系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，即判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，而且能分析系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，即確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。能分析系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，即確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。 如何度量系統(tǒng)的穩(wěn)定程度？由奈氏判據(jù)可知，位于臨如何度量系統(tǒng)的穩(wěn)定程度？由奈氏判據(jù)可知，位于臨界點附近的開環(huán)幅相曲線即奈氏曲線

44、，對系統(tǒng)的穩(wěn)定界點附近的開環(huán)幅相曲線即奈氏曲線，對系統(tǒng)的穩(wěn)定性影響最大。奈氏曲線越是接近臨界點性影響最大。奈氏曲線越是接近臨界點(1,j0)(1,j0)，系統(tǒng)，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越差。因此，可以將奈氏曲線與臨界點的的穩(wěn)定程度越差。因此，可以將奈氏曲線與臨界點的距離，作為相對穩(wěn)定性的度量。通常用相角裕度距離，作為相對穩(wěn)定性的度量。通常用相角裕度 和幅值裕度和幅值裕度 或或 兩個值，度量奈氏曲線與臨界點兩個值，度量奈氏曲線與臨界點的距離。的距離。gKh66下面首先定義相位穿越頻率和增益穿越頻率。下面首先定義相位穿越頻率和增益穿越頻率。使開環(huán)頻率特性的相角為使開環(huán)頻率特性的相角為 的頻率，稱為相的頻率，

45、稱為相位穿越頻率位穿越頻率 ，即，即 使開環(huán)頻率特性的幅值為使開環(huán)頻率特性的幅值為1 1，或者為，或者為0db0db的頻率，的頻率，稱為增益穿越頻率或者截止頻率稱為增益穿越頻率或者截止頻率 ，即，即 0180g0180)()(ggjHjGc1)()(ccjHjG67相角裕度相角裕度 和幅值裕度和幅值裕度 或或 定義如下。定義如下。 或者或者 gKh)()(1800ccjHjG)()(1gggjHjGK)()(lg20lg20gggjHjGKh68 例例1 1 控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試分析系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性和相對穩(wěn)定性試分析系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性和相對穩(wěn)定性。 解解 系統(tǒng)的頻

46、率特性為系統(tǒng)的頻率特性為: :1 0 (1)()()(1)sGsHss s22210(1)2010(1)()()(1)1(1)jG jH jjjj69 令令 ，即，即: : 得奈氏曲線與實軸交點處的頻率為得奈氏曲線與實軸交點處的頻率為: : 奈氏曲線與實軸交點坐標(biāo)為奈氏曲線與實軸交點坐標(biāo)為: : 根據(jù)上面的分析以及對稱性，可以畫出系統(tǒng)根據(jù)上面的分析以及對稱性，可以畫出系統(tǒng)的奈氏曲線。的奈氏曲線。)()(lim0jHjG23)()(lim0jHjG0)()(limjHjG21)()(limjHjG0)(V210g1g()10gU70奈氏路徑中小半圓的映射：從奈氏路徑中小半圓的映射：從 的映射點始，的映射點始，順時針轉(zhuǎn)過順時針轉(zhuǎn)過 到到 的映