1、中學(xué)數(shù)學(xué)教案】立體幾何教案一， 空間直線與直線的關(guān)系a ，相交b ，平行c ，異面a , 相交直線b, 平行公理： 空間中平行于同一條直線的兩條直線平行c, 異面直線： 1，求異面直線所成角問(wèn)題 注：利用平行公理找角，利用余弦定理計(jì)算，結(jié)果要銳角或直角異面直線所成角的范圍 0 ,900 平移法利用平行公理把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角例：正方體abcd a b1c1 d1中，e, f分別是bb1和CQi中點(diǎn)，那么直線ae和BF所成角的余弦值補(bǔ)形法補(bǔ)形：底面是直角三角形的直三棱柱可以補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體例：在直三棱柱 a b1C1 abc中， bca 90，點(diǎn)d1，f1分別是A Bi，Ci中

2、點(diǎn)，BC=CA：CCi，那么B 04與A F1所成角的余弦值A(chǔ)旦B10.3015.1510求異面直線之間的距離問(wèn)題和兩條異面直線垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線， 公垂線夾在兩條異面直線之間的長(zhǎng)度叫做異面直線的距離。二，空間直線和平面關(guān)系a, 直線與平面平行b , 直線與平面垂直c , 直線與平面斜交射影定理和三垂線定理a, 線面平行1 ，判定定理： 假設(shè)平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。2 ，性質(zhì)定理：假設(shè)一條直線和一個(gè)平面平行，那么過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面的交線必和這條直線平行。b, 線面垂直1 ，判定定理：I,假設(shè)一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線

3、都垂直，那么這條直線和 這個(gè)平面垂直。II,假設(shè)兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面。2 ，性質(zhì)定理：I，假設(shè)兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。c, 射影定理1 ，射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)。2 ，相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段的射影也較長(zhǎng)。3 ，垂線段比任何一條斜線段都短。d, 三垂線定理1 ，平面內(nèi)的一條直線，假設(shè)和斜線在平面內(nèi)的射影垂直，那么這條直線和斜線垂直。2 ，平面內(nèi)的一條直線， 假設(shè)和平面的斜線垂直， 那么這條直線和斜線在平面內(nèi)的射影垂直。三， 空間平面和平面的關(guān)系a, 面面平行 b,面面垂直c,面面斜交a , 面

4、面平行1 ， 判定定理： I，如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè) 平面平行。II ， 垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。III 如果一個(gè)平面上的兩條相交直線分別和另一個(gè)平面上的兩條直線平 行，那么這兩個(gè)平面平行。2， 性質(zhì)定理： I ， 如果兩個(gè)平行平面分別和第三個(gè)平面相交，那么它們的兩條交線平 行。II ， 夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段的長(zhǎng)相等。III ，如果兩個(gè)平行平面中，有一個(gè)平面和一條直線垂直，那么另一個(gè)平 面也和這條直線垂直。b, 面面垂直1 ，定義：兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么稱這兩個(gè)平面互相垂直。2 ，判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的

5、一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。3，性質(zhì)定理：I， 如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線 垂直于另一個(gè)平面。II ，如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)。III ，如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面。C, 二面角定義：一個(gè)平面內(nèi)的一條直線， 把這個(gè)平面分成兩局部， 其中的每一局部都叫做半平面, 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形，叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱。面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，兩條線所成的角叫做二面角的平面角?？?/p>

6、間直線，平面的做題方法。空間平行關(guān)系轉(zhuǎn)化圖及相關(guān)定理面面平行判定定理推論線線平行線線平行平行 公理線面平行 判定定理面面平行 判定定理線面平行線面平行性質(zhì)定理面面平行性質(zhì)定理面面平行面面平行卓根本性質(zhì)I，線面平行的判定方法利用線線平行證線面平 行 平行關(guān)系轉(zhuǎn)畫圖亍利用面面平行證線面平行 向量法后面講 線面平行定義：直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)II，線線平行關(guān)系的判定常見(jiàn)的線線平行的判斷方法有平行公理 平行關(guān)系轉(zhuǎn)畫圖從線面平行到線線平行從面面平行到線面平行 三角形，平行四邊形菱形，矩形，正方形梯形中位線性質(zhì)在找三角形中位線是常常利用平行四邊形菱形，矩形，正方形對(duì)角線互相平分 利用平行線分線段成比例定理推

7、論找平行線平行于三角形一邊，截其它兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例DE / BCAD DBAEECAD ABAEDEACBC注：反之任取一組比例式可推得 DE/ BCDEADE / BCDA EA DEAC AB BC注：反之任取一組比例式可推知DE / BC 向量法后面講 垂直于同一平面的兩條直線平行例如以下圖： E, F, G , M分別是四面體的棱 AD , CD , BD , BC的中點(diǎn)，求證:AM| 面 EFG設(shè)計(jì)說(shuō)明：可以通過(guò)面面平行證線面平行BF例正方體 ABCD- A B1C1 D1，棱長(zhǎng)為a,E,F分別在A B1 , BD上，且求證：EF|平面BC C1 B1法一：此

8、題證明從線線平行到線面平 行。在找線線平行時(shí)應(yīng)用平行線 分線段成比例定理推論法二也是從線線平行到線面平行, 做平行線構(gòu)造平行四邊形證線線 平行AB1III面面平行關(guān)系的判定面面平行判定方法利用線面平行證面面平行利用線線平行證面面平 行 向量法后面講 垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行 面面平行的定義：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)例 三棱柱ABC- A B1Q1，D是BC上一點(diǎn)，且A1 B |平面ACI D，D1是B1 C1中點(diǎn)， 求證：平面a1B 01|平面AC1 D例1如以下圖正方體 ABCD- A B1 C1 Dr的棱長(zhǎng)都是a,M,N分別是下底面棱 A B，|, B1 C1的中點(diǎn)，P是上底面棱 AD上一點(diǎn)

9、,CD 上，貝U PQ=aAP=，過(guò)P, M, N的平面交上底面于3P, Q, Q 在QAimBi答案:,空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化圖及相關(guān)定理線線垂直線面垂直的判定定理線面垂直定義面面垂直的判定定理線面垂直面面垂直面面垂直的性質(zhì)定理典型例題I，線面垂直的判定與性質(zhì)線面垂直與面面垂直是今后我們要研究的主要問(wèn)題。問(wèn)題的關(guān)鍵是線線垂直。 線線垂直的判定方法 空間線面垂直證線線垂直 利用三垂線定理 向量法 利用勾股定理算垂直 線面垂直的判定方法空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化圖利用線線垂直證線面垂 直利用面面垂直證線面垂直 向量法例1如以下圖，AB圓0的直徑,C為圓 0上一點(diǎn)，AP 面ABC，AE BP 于 E，AF CP于

10、F,求證：BP 平面AEF此題通過(guò)線線垂直證明線面垂直，在找 線面垂直條件時(shí)采用了三垂線定理和圓 的直徑對(duì)直角的性質(zhì)練習(xí)：如圖PA垂直于矩形ABCD所在的平面,MN分別是AB,PC的中點(diǎn)，假設(shè)PDA45求證：MN 面PCD提示：取PD中點(diǎn)Q,證AQ與面 PCD垂直，從而利用"線面垂直的 性質(zhì)定理證 MN與面PCD垂直例2、直三棱柱a gi c1ABC中，M為AC中點(diǎn)求證：AC平面BMCi設(shè)計(jì)說(shuō)明： 牢牢把握直正 棱柱，正棱錐的結(jié)構(gòu)特征對(duì)于研究空間幾何問(wèn)題空間平行關(guān)系的判定與性質(zhì)及空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)有很大幫助。 在三視圖的環(huán)境下證明線面，面面關(guān)系是幾何證明的一個(gè)重點(diǎn)練習(xí)：如以下圖

11、，直三棱柱abc-abQi中'BQi A1C1，ACi Aib，M N是ABi，AB的中點(diǎn)，求證：cW 面A-i ab b1求證：a1b am求證：平面AM C1 面N B“CCCi練習(xí)：如圖，在直三棱柱 ABC-A B1C1中，AB=BC=B B1，D為AC的中點(diǎn)求證：BiC|1 面 AiBD假設(shè)ac1面a1bd求證：b1C1面ab B1A1在的條件下，設(shè) AB=1,求三棱錐B- AC的體積II，面面垂直的判定與性質(zhì)面面垂直的判定方法 空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化圖：利用線面垂直證面面垂直 向量法例1如圖， ABC為正三角形，EC 平面ABC，BD|CE，且CE=CA=2B，M是EA的中點(diǎn),求證

12、：DE=DA平面 BDM 平面ECA平面DEA面ECADMBA例2 BCD中， BCD90，BC=CD=1 AB 面 BCD， ADB 60，E，F(xiàn)取AC中點(diǎn)N,證明DN|BN 再 證BN 面ECA，利用線面垂 直的性質(zhì)定理知 DM 面ECA 最后利用線面垂直證面面垂直聖 o ADBAE分別是AC AD上動(dòng)點(diǎn)，且AC求證：不管為何值時(shí)，總有平面 BEF面ABC當(dāng)為何值時(shí)，平面BEF面ACD第二問(wèn)是存在性問(wèn)題當(dāng)BEF 面ACM由一冋可知 EF 面ABC 又T BE ABC EF BE t BEF 面 ACD BE BEF面 BEF 面ACD EF BE 面ACD / AC ACD BE AC利用

13、射影定理求AE從而求設(shè)計(jì)說(shuō)明： 此題是存在性問(wèn)題，解決存在性問(wèn)題可以把結(jié)論當(dāng)探索使得成立的充分性條件 解決與空間幾何有關(guān)的存在性問(wèn)題最好用向量法練習(xí)：1、如圖，在矩形 ABCD中, AB=2BC P, Q分別為線段 AB, CD的中點(diǎn)，EP 面ABCD求證：DP面EPC問(wèn)在EP上是否存在F,使平面AFD面BFCEBQPAD問(wèn)題利用線線垂直證線面垂 直，在尋找線線垂直條件 DP AC時(shí)采用“算垂直的 方法2、如以下圖在四棱錐 P-ABCD中,底面ABCD是 DAB 60，且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD 為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD假設(shè)G為AD的中點(diǎn)，求證：BG 面 PAD求證：AD

14、PB假設(shè)E為BC中點(diǎn)，能否在棱 PC上找到一點(diǎn)F,使平面DEF 面ABCD，并證明你的結(jié)論分析：?jiǎn)栴}是存在性問(wèn)題，可以把結(jié)論當(dāng)找條件，尋找的過(guò)程可省略。但此題要求證1、如以下圖，在四棱柱AB% B1C1D1中，DC=DD1 =2AD=2AB ADDC AB|DC明即把條件當(dāng)證結(jié)論求證：d1c ac1設(shè)E是DC上一點(diǎn)，試確定 E的位置，使 d1E|面a1BD，并說(shuō)明理由、折疊問(wèn)題例如圖，四邊形 ABCD中, AC|BC，AD=AB BCD 45， BAD 9°，將 ABD 沿對(duì)角線BD折起，記折起后點(diǎn)的位置為 P,且使平面PBD面BCD求證：平面PBC 面PDC在折疊前的正方形 ABC

15、D中，做AE BD于E,過(guò)E作EF BC于F,求在折起后的圖形 中 PFE的正切值設(shè)計(jì)說(shuō)明：對(duì)于折疊問(wèn)題，關(guān)鍵是抓住圖形折疊前后的不變量及重要的折疊條件空間直角坐標(biāo)系及空間向量法一，空間直角坐標(biāo)系1右手系：伸出右手，彎曲四指使得四指與掌面垂直，大拇指向上垂直翹起，四指的方向?yàn)閤軸，手掌向里的方向?yàn)?y軸，大拇指的方向?yàn)?z軸，三軸的公共點(diǎn)為 z軸2、卦限：數(shù)軸上原點(diǎn)把數(shù)軸分成正負(fù)半軸。在坐標(biāo)平面上，x軸，y軸把平面分成四個(gè)象限,在空間三個(gè)坐標(biāo)平面把空間分成八個(gè)卦限注:建系時(shí)最好建成右手系，并且盡量把圖形放在第一卦限，在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上的點(diǎn)越多越好，關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)越多越好一、空間直角坐標(biāo)

16、系上點(diǎn)的坐標(biāo)：求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就是找該點(diǎn)在 x軸，y軸，z軸上的坐標(biāo)分量正方體 A B1C1 Di ABCD棱長(zhǎng)為2，如以下圖以正方體的中心 0為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系+ zx >A1、在軸上點(diǎn)的坐標(biāo):PX軸 P x,0,0P y軸 P 0,y,0P Z軸 p 0,0 , z2、在坐標(biāo)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)Pxoy平面上，P x,y,0Pyoz平面上，P 0,y,zPxoz平面上,Px,0,z3、 axi, %,z , B X2,y2Z 那么 AB中點(diǎn) PXi X22Zi Z24、 與Px,y,z丨關(guān)于定點(diǎn) Aa,b,c丨對(duì)稱點(diǎn)的 p1 2a x,2a y,2a z5、關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)與P

17、x,y,z丨關(guān)于xoy平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo) pi x, y, z與P x,y,z丨關(guān)于xoz平面對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo) pi x, y, z6、假設(shè)P點(diǎn)在xoy面的射影為L(zhǎng)點(diǎn)，那么P點(diǎn)與A點(diǎn)的x,y軸分量相同，P點(diǎn)z軸分量為P 點(diǎn)到面xoy的距離二、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算注：空間向量的加法，減法，數(shù)乘的幾何意義；兩個(gè)向量的共線條件；向量的內(nèi)積運(yùn)算公式 與平面向量完全相同空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式假設(shè)Axi,yi,zi,Bx2,y2,z2那么abX2 xy yiz z假設(shè)a xiyz，b xzyz加減法：a bxi X2,yi y2,z z：數(shù)乘:axi, yi, zi內(nèi)積：a b X1X2 y$2 z z2模 a

18、ax： yz：其它一些常用公式2222 2a bab 2a ba b a b aba bxi X2 yi y? z z? 0設(shè)直線a的方向向量為a，直線b的方向向量為ba b a|b三、直線的方向向量與平面的法向量注：直線的方向向量與平面的法向量都不取零向量1、直線的方向向量：在直線上或與直線平行的向量叫做直線的方向向量 2、平面的法向量：和平面上兩條不共線向量都垂直的向量叫做平面的法向量F面介紹平面法向量的求法例： a 1,1,0，b 0,1,1，求a與b的法向量n設(shè) n x,y,znana0nbnb0Xy0yz0由于X每給一個(gè)值，就各有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的y值和z值，由此說(shuō)明一個(gè)平面的法向量有無(wú)

19、窮多個(gè)，這和常識(shí)也是相符的，我們只需取其中一個(gè)法向量即可令 x=1,y=_1,z=1 n 1, 1,1一、向量法分析空間線線，線面，面面的位置關(guān)系l , m分別為直線l，m的方向向量；ni，n2分別為平面 ，的法向量線線平行：1、文字語(yǔ)言：兩直線的方向向量平行那么線線平行2、圖形語(yǔ)言：在這里強(qiáng)調(diào)| m l ll m R但反之不對(duì)，當(dāng)m 0, |0時(shí)，這是不可以的這樣寫正確：I恤Imm3、符號(hào)語(yǔ)言：I m l |m 111 m R線面平行：1、文字語(yǔ)言：如果直線的方向向量與平面的法向量垂直，那么線面平行2、圖形語(yǔ)言：3、符號(hào)語(yǔ)言：| ni 0 I ni 111面面平行：1、文字語(yǔ)言：如果兩個(gè)平面

20、的法向量共線那么面面平行2、圖形語(yǔ)言：3、符號(hào)語(yǔ)言：ni n2 n i11 n2線線垂直：1、文字語(yǔ)言：兩直線的方向向量垂直那么線線垂直2、圖形語(yǔ)言：3、符號(hào)語(yǔ)言: l n o l m I m線面垂直：1、文字語(yǔ)言：如果直線的方向向量與平面內(nèi)的兩條不共線向量垂直那么線面垂直2、圖形語(yǔ)言：a，b 且a與b不共線，a I 0，b I 01面面垂直：1、文字語(yǔ)言：如果兩個(gè)平面的法向量垂直那么面面垂直 2、圖形語(yǔ)言:3、符號(hào)語(yǔ)言:n1 m 0n1 n2二、空間角空間角的范圍1、線線角的范圍0,902、異面直線所成角的范圍° ,903、線面角的范圍00,904、斜線與平面所成的角范圍0,905

21、、二面角的范圍00,1806、向量夾角范圍 °，1807、直線的傾斜角范圍 0，180空間角的定義：1、異面直線所成角的定義：略2、斜線與平面所成角的定義：斜線與平面所成的角等于斜線與它在這個(gè)平面上的射影所成 的角如圖I為平面 的垂線，m為 平面的斜線，n為斜線m在 平面上的射影m, m,n注：求線面角關(guān)鍵找與斜線有 交點(diǎn)的平面的垂線注：在用定義法求線面角時(shí)常會(huì)用到空間垂直關(guān)系相關(guān)定理特別是線面垂直的判定定理， 線面垂直定義，面面垂直性質(zhì)定理，三垂線定理及推論，直正棱柱的結(jié)構(gòu)特征，正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，正棱錐的判定方法例：正三棱柱 ABC A Bi Ci的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等，那么A B

22、i與側(cè)面ACQ1所成角的正弦值 答案：丄64練習(xí)：在長(zhǎng)方體ABCD- A B1C1 D1中，AB=BC=2 A A 1，貝U BC1與平面 b B1D1 d所成角的正弦值答案：m5答案：453、二面角的定義：在二個(gè)平面內(nèi)各引一條與交線垂直的直線，這兩條垂線所成的角就是這 兩個(gè)平面所成的二面角的平面角m ,n ,l,m, n I， m，n二面角的求法：垂線定理及i定義法：在用定義法求二面角時(shí)常會(huì)用到空間平行及垂直關(guān)系相關(guān)定理, 推論，直正棱柱的結(jié)構(gòu)特征，正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，正棱錐的判定方法 利用定義計(jì)算二面角常常使用余弦定理。例1正四棱錐的體積是12,底面對(duì)角線長(zhǎng)2.6，那么側(cè)面與底面所成的二面角

23、等于答案：一3ii平移交線法，截面法與截面法例2正三棱柱 ABC- a giQi的底面邊長(zhǎng)是2，高為1,過(guò)頂點(diǎn)A做一平面，與側(cè)面BCC1 B1交于EF，且EF|BC,假設(shè)平面與底面ABC所成二面角大小為x 0的圖象大致是：答案：CCF法一：平移交線法如圖 1/ EF|BC, EF 面 ABC , BC 面 ABC EF|面 ABC設(shè)面AEF 面ABC l又 EF 面 AEF EF|l取EF中點(diǎn)M , BC中點(diǎn)N貝U AN EF, AN EF那么 MAN就是面AEF與面ABC所成的二面角的平面角注:在此題中很難找到面 AEF與面ABC的交線，故在圖形中找一條與交線平行的直線EF，在這兩個(gè)平面內(nèi)引

24、 EF的垂線，從而找到二面角的平面角注：求空間角時(shí)，空間角大多是特殊角， 對(duì)于非特殊角題目一般要求求空間角的某個(gè)三角函數(shù)值。假設(shè)題目特別強(qiáng)調(diào)用反三角函數(shù)表式，利用下面公式公式一:假設(shè)sinm2,2,m1,1那么arcs inm公式二:假設(shè)cosm0,m1,1那么arccosm公式三:假設(shè)tanmJ,口為常實(shí)數(shù)2 2那么arcta nm例：sin1o,求32cos0,求32tan0,求32通過(guò)此題引出下面公式 常用公式：arcs in x arcsin xarccos x arccosxtan xarctan x1練習(xí)：cos, 求321tan,0求32三、向量法求空間角向量法求線線角：空間兩條

25、直線所成的角與它們方向向量所成的角相等或互補(bǔ)綜上:| cos l ,m |0, ?那么 cos l ,ml，m向量法求線面角：空間直線與平面所成的角和直線的方向向量與平面法向量所成的角互 余，或比向量角小 一綜上：| sin l,cos I,ni 由|，0，2故 sin I,| cos | , n1空間向量的方法求二面角，方法一：內(nèi)積法內(nèi)以交線上的點(diǎn)為起點(diǎn)各引一條與交線垂直的向量m，n如以下圖，在兩個(gè)平面m，n ，il，m，n 1，m，n例:直角 ABC中,C 90， B 30，AB=4 , D為AB的中點(diǎn)，沿中線將ACD折起使得AB= ,13，那么二面角A-CD-B的大小為對(duì)于折疊問(wèn)題，關(guān)鍵

26、是抓住圖形折疊前后的不變量及重要的折疊條件解：作 AE CF,BF CF面角A CDB等于FB,EAAB AE EF FB2 2AB AE EF FB2AE2EF2FB 2AE FB 2EF FB 2AE EFAE 打,EF 2, FB 品3AE FB 2cos AE，F(xiàn)BAE FB 1 o2AE FB又 AE，F(xiàn)B 0,二ae，fb； 3二 EA,FB方法二：坐標(biāo)法cosl, m, n lni，nicos ni, n2綜上:costcoscos ni，n2為銳角為鈍角注：求二面角是二面角一般為銳角或鈍角很少求直角，零角或平角 二面角的性質(zhì)可以直觀觀察得到四、空間向量方法求空間點(diǎn)到平面的距離A

27、d O,OB n一、向量法確定空間線線，線面，面面位置關(guān)系，求空間角及空間點(diǎn)到平面的距離注：應(yīng)用向量法研究空間幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是建系及確定空間點(diǎn)的坐標(biāo)， 在建系時(shí)最好建立右手系在原圖形上找或作三條有公共點(diǎn)且兩兩垂直的線段做為坐標(biāo)軸，在坐標(biāo)平面上的點(diǎn)越多越好，關(guān)于原點(diǎn)或坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)越多越好 在建系時(shí)會(huì)用到空間垂直關(guān)系相關(guān)定理線面垂直的判定定理，線面垂直定義，面面垂直的性質(zhì)定理，線面角的定義，直正棱柱的結(jié)構(gòu)特征，正棱錐的結(jié)構(gòu)特征 確定空間點(diǎn)的坐標(biāo)必要時(shí)時(shí)可以設(shè)參數(shù)表示空間點(diǎn)的坐標(biāo)，但參數(shù)用得越少越好如軸上點(diǎn)的坐標(biāo)可用一個(gè)參數(shù)表示；坐標(biāo)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)可用兩個(gè)參數(shù)表示 ；線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)， 只需一個(gè)

28、參數(shù)就可以表示該線段上任意點(diǎn)坐標(biāo)利用向量共線條件如以下圖假設(shè)A，B坐標(biāo)設(shè)C x,y,zAB 0設(shè)ACAB可求點(diǎn)C坐標(biāo)例在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，PB與底面所成的角為45，底面 ABCD為直角梯形， ABC BAD 90，PA=BC= 1 AD求證：面PAC 面PCDE的位置，假設(shè)不存在說(shuō)明理在棱PD上是否存在一點(diǎn) E,使CE|面PAB ?假設(shè)存在確定 由面PAB的法向量為AD °2°要想ceii面pab必須 ad CE:AD CE °y=1PE|PD PD ° PE PD可求點(diǎn)E坐標(biāo)注：解決存在性問(wèn)題，把結(jié)論當(dāng)，從結(jié)論出發(fā)，找是結(jié)論成立的

29、條件練習(xí)1、如圖，在直三棱柱 ABC- A g1C1中，ACB 9°，AC=BC=a,D,E分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，M為A A1上的點(diǎn)，二面角 M-DE-A為3°證明：AB1 C1D求MA的長(zhǎng)，并求點(diǎn) C到平面MDE的距離答案：a42、 07高考全國(guó)如圖，在四棱錐 S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱 SD 底面ABCD，E, F分別為AB，SC的中點(diǎn)，證明：EF|面SAD設(shè)SD=2DC，求二面角 A-EF-D的正切值答案：2求C到平面A1BD的距離例2： 07福建正三棱柱 ABC- A g1C1中，所有棱長(zhǎng)為 2，D為CC1中點(diǎn),求證：ABi 面 AiBD求二面角

30、A A1D - B的正弦值取AB的中點(diǎn)O貝U CO AB又，面ABC 面ACi，OC 面ABC，面ABC 面A G ABOC 面 ac1再取B1C1的中點(diǎn)f如以下圖建立空間直角坐標(biāo)系答案：<10 42.4 ' 2注：此題在建系時(shí)使用了面面垂直性質(zhì)定理及正棱柱的結(jié)構(gòu)特征練習(xí)1、 08全國(guó)I如圖，四棱錐A-BCDE 中,底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC 底面BCDE ,BC=2 , CD= 2 , AB=AC證明：AD CE設(shè)CE與平面ABE所成的角為45，求二面角C-AD-E的余弦值取BC, DE中點(diǎn)O,F 證AO 面BCDE2、如圖，正方形 ABCD矩形ACEF所在的平面互相垂直,

31、的中點(diǎn)求證：AM|面BDEAB=.、2，AF=1，M是線段 EF試在線段AC上確定一點(diǎn)P,使得PF與CD所成角是60答案：P丄,空,02 2例308湖南四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，BCD 60，E是CD的中點(diǎn),PA 底面 ABCD PA=2證明：平面PBE面PAB如以下圖建立空間直角坐標(biāo)系此題難點(diǎn)在于確定 P點(diǎn)坐標(biāo)，P點(diǎn)在xoy面上的射影是 A點(diǎn)，故P點(diǎn)和A點(diǎn)的x,y軸分量相 同，P點(diǎn)z軸分量為P點(diǎn)到xoy面的距離即為線段 PA長(zhǎng)0, 3 ,221yOQJD；2O0, 3,020, 23,01B 2,°,。如圖的多面體是底面為平行四邊形的直四棱柱ABCD A2 B2 C

32、2 D2，經(jīng)平面 AEFG所截求證：BD ADC1求平面AEFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值答案：,21 如圖，四棱錐 P-ABCD中，PB!底面 ABCD CtUPD,底面 ABCD為直角梯形，AD|BC , AB丄 BC AB=AD=PB=3 點(diǎn) E 在棱 PA上，且 PE=2EA求異面直線PA與CD所成的角求證：PC|面EBD此題重點(diǎn)不是建系也不是求空間角和分析空間線面關(guān)系求二面角A BE-D的大小用反三角函數(shù)表示，而是用向量法確定點(diǎn)的坐標(biāo)解： C0,y,0 丨，CD33y,0, PD33 3CD! PD,. CD pd 0, y=6C0,6,0E x,0,zPE 2EAx,0,z

33、-3 = 6-2x,0,-2zx 6 2x x 2z 3 2z z 1E 2,0,z以下略1-R，那么 A,2二、地球經(jīng)緯度問(wèn)題 例設(shè)地球半徑為 R,在60緯線圈上有A, B兩地，它們?cè)诰暰€圈上的弧長(zhǎng)是B兩底的球面距離是注：A, B兩地球面距離也稱 A, B兩地最短距離，它等于 A, B兩點(diǎn)所在的大圓的劣弧長(zhǎng)0度經(jīng)線是本初子 緯線圈與赤道面平行，緯線圈是小圓，赤道面是大圓，經(jīng)線圈是半圓,午線 緯度：在緯線圈上任取一點(diǎn)和球心連線所得的地球半徑與赤道面所成的線面角緯線圈與赤道面平行o'為緯線圈的圓心，O為球心，0。與緯線圈及赤道面垂直，r為緯線圈的半徑，R為球的半徑，等于緯線圈的維度 經(jīng)度

34、：經(jīng)線所在的半平面與本初子午線0度經(jīng)線所在的半平面所成的二面角R解：利用上圖可知r，作出緯圓如以下圖2AB=2r=R作出通過(guò) A ,B兩點(diǎn)的大圓0為球心，一3lAB 3R、頂點(diǎn)轉(zhuǎn)移的方法求體積 正三棱柱abc Ai B1C1中，底面邊長(zhǎng)為2,高為i，那么點(diǎn)Bi到平面a1bc的距離 為BiBA到面BBiCi距離為h2V Bi AiBC V Ai BBiC1i3hi S abci 3h2S bbcih2 S Bibc hiS S AiBCd Ai,面BiCB d A，面CiCB Bi取BiCi中點(diǎn)D連Aid可證 AiD 面BBiCCi Aid h23S BiBCS AiBC2 S巨形 BBiCCi

35、注：此題除了用頂點(diǎn)轉(zhuǎn)移的方法求體積同時(shí)還涉及把點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化為線面距離、空間幾何體的分類空間幾何體棱柱多面體棱錐空間幾何體棱臺(tái)圓柱旋轉(zhuǎn)體圓錐圓臺(tái)二、柱錐臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征1棱柱：有兩個(gè)平行的面，這兩個(gè)平行的面叫做棱柱的底面，其它面叫做棱柱的側(cè)面，側(cè) 面是平行四邊形，相鄰側(cè)面的公共邊是棱柱的側(cè)棱，棱柱的側(cè)棱平行且相等棱柱的特征簡(jiǎn)記為：底面平行，側(cè)面是平行四邊形，側(cè)棱平行且相等2、 棱錐：有一個(gè)面是多邊形底面，其它各面?zhèn)让娑际怯泄岔旤c(diǎn)的三角形，相鄰兩 側(cè)面的公共邊叫側(cè)棱。注意：棱錐的側(cè)棱相交于一點(diǎn)3、棱臺(tái)：用平行于棱錐底面的截面取截棱錐，底面和截面之間的局部叫棱臺(tái) 注：棱臺(tái)是用棱錐截出來(lái)的，所以棱臺(tái)側(cè)棱

36、延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)多面體用頂點(diǎn)字母命名如棱柱 ABC 氏 Bi Ci，棱錐V-ABC，棱臺(tái)ABC A g1 Q1對(duì)于棱柱和棱臺(tái)也可用對(duì)角線頂點(diǎn)字母命名如棱柱ACi注：在同一條棱上的字母對(duì)應(yīng)著寫4、圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征：三、棱柱分類及直棱柱與正棱柱的結(jié)構(gòu)特征1、棱柱的分類及直棱柱與正棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱側(cè)棱與底面垂直的棱柱側(cè)棱與底面不垂直的棱 柱直棱柱斜棱柱特別地：底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱四棱柱側(cè)面與底面垂直的四棱 柱 直四棱柱 底面是矩形的直四棱柱 長(zhǎng)方體 側(cè)面與底面不垂直的四 棱柱 斜四棱柱棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱， 顯然正四棱柱是特殊的長(zhǎng)方體， 是正方體正方體 正四棱柱長(zhǎng)方體直四棱柱注：重點(diǎn)掌握直棱柱與正棱柱的結(jié)構(gòu)特征側(cè)棱與底面垂直 側(cè)面與底面垂直 側(cè)面是矩形 底面是多邊形直棱柱的結(jié)構(gòu)特征正棱柱的結(jié)構(gòu)特征側(cè)棱與底面垂直側(cè)面與底面垂直側(cè)面是全等的矩形底面是正多邊形想一想：能不能說(shuō)出直三棱柱與正三棱柱與正四棱柱的的結(jié)構(gòu)特征？側(cè)棱與底面垂直側(cè)面與底面垂直 側(cè)面是矩形 底面是四邊形 四、正棱錐與正棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征直四棱柱結(jié)構(gòu)特征正四棱柱結(jié)構(gòu)特征側(cè)棱與底面垂直側(cè)面與底面垂直側(cè)面是全等的矩形底面是正方形底面是正多邊形側(cè)棱都相等形 面的中心1、正棱錐結(jié)構(gòu)特征側(cè)面是全等的等腰三角定點(diǎn)在底面的投影是