1、 Department of Mathematics第二節(jié) 解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)一一. . 孤立奇點(diǎn)的三種類(lèi)型孤立奇點(diǎn)的三種類(lèi)型( ), af zKaLaurent若 為的孤立奇點(diǎn) 則在內(nèi)可展成級(jí)數(shù)( )()nnnf zcza1()nnncza0()nnncza( )f za在 的主要部分( )f za在 的正則部分K在 內(nèi)收斂于一解析函數(shù)( )f za在點(diǎn) 的奇點(diǎn)性質(zhì)體現(xiàn)正則函數(shù)正則函數(shù)(Regular function );解析函數(shù)解析函數(shù)(Analytic function );全純函數(shù)全純函數(shù)(Holomorphic function ).定義5.2.( )af z設(shè) 為孤立奇點(diǎn)(1)(

2、 ),( );f zaaf z如果在點(diǎn) 的主要部分為可則稱(chēng) 為的去奇點(diǎn)零(0,0)nnc 即(2)( ),f za如果在點(diǎn) 的主要部分為有限項(xiàng) 設(shè)為(1)11,(0)()()mmmmmcccczazaza( );maf z則稱(chēng) 為的 階極點(diǎn)(0,0)mncnm c 即(3)( ),( )f zaaf z如果在點(diǎn) 的主要部分有無(wú)限多項(xiàng) 則稱(chēng) 為的本質(zhì)奇點(diǎn).(0,0)nnc即無(wú)限多個(gè)使二二. 可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)( )af z若 為的可去奇點(diǎn),則01( )()()(0)nnf zcc zaczazaR0( ),( ):.f acf zKzaR若命則在內(nèi)解析sin( ),(0)1zf zfz如若令sin

3、0( ),10zzf zzz即令( )0f zz 則在解析.( ),( )f zaf zza可將在 加以適當(dāng)定義 使在解析.定理5.3.( )af z若 為的孤立奇點(diǎn),則下列三條件等價(jià),因此,它們中任何一條都是可去奇點(diǎn)的特征(1)( );f za在點(diǎn) 的主要部分為零(2) lim( ), ();zaf zb b (3)( )f za在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)有界.證明(1)(2)01( )()()(0)nnf zcc zaczazaR由于0lim( )zaf zc故; (2)(3)lim( ), ();zaf zb b 由于由函數(shù)極限的性質(zhì),( );f za在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)有界(3)(1)( )

4、, f zM zKa設(shè)( )f za考察在點(diǎn) 的主要部分1()nnncza() 11( ),(1,2,.)2()nnfcdnia,Ka 而 為 內(nèi)的圓周可以充分小 于是由() 1( )12nnfcda() 1122nM nM0(0,0)n1,2,0,nnc故時(shí)( )f za即在點(diǎn) 的主要部分為零.例1tan( )zf zz確定函數(shù)的孤立奇點(diǎn)的特征.解tan( )0,zf zzz的孤立奇點(diǎn)為00tanlim( )limzzzf zz由于1,tan0( )zzf zz所以為的可去奇點(diǎn).三三. 極點(diǎn)極點(diǎn)1.定理5.4( )af z若 為的孤立奇點(diǎn),則下列三條件等價(jià),因此,它們中任何一條都是m階極點(diǎn)的

5、特征(1)( )f za在點(diǎn) 的主要部分為(1)11,(0)()()mmmmmcccczazaza(2)( )f za在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)能表成( )( )(5.11);()mzf zza1(3)( )( )( )0).g zamf zg a以點(diǎn) 為 階零點(diǎn) 可去奇點(diǎn)當(dāng)解析點(diǎn)看,只要令( )( )0;zaa其中在點(diǎn) 的鄰域內(nèi)解析,且證明(1)(2)若(1)為真,則在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)有(1)11( )()()mmmmcccf zzazaza1(1)1()()mmmcczacza( ),()mzza( )( )0;mzaac其中顯然在點(diǎn) 的鄰域內(nèi)解析,且(2)(3)若(2)為真, 則在點(diǎn)a的某去

6、心鄰域內(nèi)有1( )( )g zf z(),( )mzaz10;( )aa1其中在點(diǎn) 的鄰域內(nèi)解析,且(z)01()()nncc zacza101()()mmc zac za1()mza因此,( ),ag z為的可去奇點(diǎn)作為解析點(diǎn)看,只要令( )0,g a ( );ag zm為的 階零點(diǎn)(3)(1)1( );( )ag zmf z由于 為的 階零點(diǎn)則在點(diǎn)a的某鄰域內(nèi)有( )()( ),mg zzaz( )( )0,za其中在此鄰域內(nèi)解析,且這樣一來(lái)11( ),()( )mf zzaz( )az1因在點(diǎn) 的鄰域內(nèi)解析,故在此鄰域內(nèi)有1(1)101()()()( )mmmmcczaczac zaz(

7、 )f za則在點(diǎn) 的主要部分為10.( )mca(1)11,()()mmmmccczazaza定理5.5( )f za函數(shù)的孤立奇點(diǎn) 為極點(diǎn)的充要條件是lim( ).zaf z 證明( )f za函數(shù)以 為極點(diǎn)1( )amf z以點(diǎn) 為 階零點(diǎn)lim( ).zaf z 注( ),( )af zaf z設(shè) 為的孤立奇點(diǎn) 則 為的m階極點(diǎn)的充要條件是:lim()( ).mzazaf z存在且不為零例2251( )(1)(21)zf zzz確定函數(shù)孤立奇點(diǎn)的類(lèi)型.解1( )1,;2f zz 的孤立奇點(diǎn)為由于1( )( )g zf z2(21)(1)51zzz( )(1),z z2114()512z

8、zz21( )() ;2z z而( )(1, ),zN在內(nèi)解析1( )(, );2zN在內(nèi)解析1(1)0,()0;2且故1( ),zg z 為的一階零點(diǎn)1( ),2zg z 為的二階零點(diǎn)因而1( ),zf z 為的一階極點(diǎn)1( ),2zf z 為的二階極點(diǎn)四四. 本質(zhì)本質(zhì)(本性本性)奇點(diǎn)奇點(diǎn)(Essential singularity )1定理5.6( )f za的孤立奇點(diǎn) 為本質(zhì)奇點(diǎn)的充要條件是()lim( ),zabf z有限數(shù)lim( ).zaf z即不存在注由定理5.3(2)及定理5.5易證.2定理5.7( )1,( ).zaf zazaf z若為函數(shù)之一本質(zhì)奇點(diǎn),且在點(diǎn)的充分小去心鄰

9、域內(nèi)不為零 則亦為的本質(zhì)奇點(diǎn)證明1( ),( )zf z令( );zaz則必為的孤立奇點(diǎn)( )zaz若為的可去奇點(diǎn)(解析點(diǎn)),( )zaf z則必為的可去奇點(diǎn)或極點(diǎn),與假設(shè)矛盾;( )zaz若為的極點(diǎn),( )zaf z則必為的可去奇點(diǎn)(零點(diǎn)),亦與假設(shè)矛盾;1( )( )zazf z故必為的本質(zhì)奇點(diǎn).例311( )zf ze研究函數(shù)孤立奇點(diǎn)的類(lèi)型.解( )1,f zz 的孤立奇點(diǎn)為由于11211111112 (1)(1)znezzn z 01,z 111zze故為的本質(zhì)奇點(diǎn).注注奇點(diǎn)孤孤 立立 奇奇 點(diǎn)點(diǎn)非孤立奇點(diǎn)非孤立奇點(diǎn)支點(diǎn)支點(diǎn)( (多值函數(shù)多值函數(shù)) )可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)極極 點(diǎn)點(diǎn)本質(zhì)奇點(diǎn)

10、本質(zhì)奇點(diǎn)五五. 施瓦茲（施瓦茲（Schwarz）引理）引理( )1,f zz 如果函數(shù)在單位圓內(nèi)解析 并且滿(mǎn)足條件(0)0;( )1,(1);ff zz1z 則在單位圓內(nèi)恒有( )f zz(0)1;f且有0,10,()zz如果上式等號(hào)成立 或在圓內(nèi)一點(diǎn)處前一式的等號(hào)成立 則 當(dāng)且僅當(dāng)( ),(1);iaf ze zz.a其中 為一實(shí)常數(shù)證明212( )1,f zc zc zz設(shè)12( )( )01,f zzcc zzz設(shè)1(0)(0),cf定義( )1,zz則在內(nèi)解析( )1(1),f zz由于,01,rrzr因此對(duì)在上有( )1( );f zzzrzr在上,由最大模原理1( )( );zrz

11、Maxzr1,r 令( )1(1),zz得于是于是(0)(0)1,f0,z 且當(dāng)時(shí) 有( )( )1;f zzz即即( ),f zz(0)1,f若001()1;zzz則在內(nèi)有點(diǎn) 使( )1,zz即模在內(nèi)達(dá)到最大值由最大模原理由最大模原理,( ),;z這只有常數(shù) 且該常數(shù)模為1( )(),iazea故為常數(shù)亦即亦即( ).iaf ze z注1 幾何意義幾何意義( ),(0)0,0,wf zfzz任一解析函數(shù)當(dāng)把單位圓周變到單位圓內(nèi)區(qū)域 時(shí) 圓內(nèi)任一點(diǎn)的像比 距坐標(biāo)原點(diǎn)為近 如果有一點(diǎn)像與這個(gè)點(diǎn)本身距原點(diǎn)距離相同 則 為單位圓.00000,1(),zzf zz或有使(0)(0)1,f使10;z 則

12、在內(nèi)有點(diǎn)xy10rzuv10r( )f z( )wf z注2,( ),f z保留假設(shè)條件 如果原點(diǎn)是的 階零點(diǎn) 則( ),f zz( ).iaf ze z并且只有當(dāng)時(shí)等號(hào)才成立作業(yè) P218 4(1)(4)(6)(7)(只考慮有限奇點(diǎn)); 6; 7 本節(jié)結(jié)束本節(jié)結(jié)束 謝謝！謝謝！Complex Function Theory Department of Mathematics(3),0;A 1,zeA由有1LnAz1ln2nzAn i令1,2,n 0,nz 則(),(1,2,),nf zA n且0lim().nnzf zA因此2 Picard大定理0( ), ,naf zAAAaz 如果 為函

13、數(shù)的本質(zhì)奇點(diǎn),則對(duì)于每一個(gè)除掉可能一個(gè)外 必有趨于 的無(wú)限點(diǎn)列使得定理5.9()(1,2,).nf zAn例51( )0zf zez研究函數(shù)在孤立奇點(diǎn)性質(zhì).解101 1( ),!znnf zen z由于0( ).zf z故為的本質(zhì)奇點(diǎn)(1),A 10,nzn取()nnf ze則();n (2)0,A 10,nzn 取()nnf ze則();n 0(2),A 1sin,Az由有211rcsin(1),AALn iAAzi2ln(1)2niziAAn i令1,2,n 0,nz 則(),(1,2,),nf zA n且0lim().nnzf zA因此注:( ),( )af zf z設(shè) 為函數(shù)的本質(zhì)奇點(diǎn),則無(wú)論怎樣小的去心鄰域內(nèi)函數(shù)可以取任意接近于預(yù)先給定的任何數(shù)值.例41( )sin0f zzz研究函數(shù)在孤立奇點(diǎn)性質(zhì).解2101( 1)1( )sin,(21)!kkkf zzkz由于0( ).zf z故為的本質(zhì)奇點(diǎn)(1),A ,nizn取1()sin2nnnneef zzi則();n (2),A 設(shè),( ).,.azf zA可能有這種情形發(fā)生 在點(diǎn) 的任意小去心鄰域有這樣一點(diǎn) 存在 使在這種情形下 定理已得證( ).f zA這樣由定理5.7,函數(shù)1( )( )zf zA ,.Kaa在內(nèi)解析 且以 為本質(zhì)奇點(diǎn), aKa因此 假定在點(diǎn) 的充