1、第九章第九章 矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量 /* Eigen-values and Eigen-vectors of matrix */ 待求解的問(wèn)題待求解的問(wèn)題：矩陣的：矩陣的特征值特征值 和和特征向量特征向量x 0，滿足滿足 :Ax= x or ( I-A)x =0Eigen-valueEigen-vector工程技術(shù)中的許多問(wèn)題例如電磁振蕩、橋梁振動(dòng)、機(jī)械振動(dòng)等，都?xì)w結(jié)為求矩陣的特征值 和特征向量問(wèn)題-代數(shù)計(jì)算中的重要課題。特征向量特征向量: 已知已知A的特征值的特征值 ，求齊次線性方程，求齊次線性方程組組 的非零解的非零解x, （ ,所以有非零解。）為所以有非零解。）為

2、A對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 的特征向量。的特征向量。 ()0IA x0IA 如何求解如何求解?11( )nnnIAcc 11( )0nnncc 12,n特征值特征值：已知：已知A=(aij)n n，求，求A的的特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式的根的根有有n個(gè)零點(diǎn)（實(shí)或復(fù)，計(jì)重?cái)?shù)）：個(gè)零點(diǎn)（實(shí)或復(fù)，計(jì)重?cái)?shù)）：即求解代數(shù)方程即求解代數(shù)方程A的特征值從理論上講，可利用代數(shù)方程求根求出特征值，再?gòu)睦碚撋现v，可利用代數(shù)方程求根求出特征值，再利用線性方程組的解法，求出特征向量。利用線性方程組的解法，求出特征向量。 缺點(diǎn)：工作量大且特征向量對(duì)矩陣的依賴很高；缺點(diǎn)：工作量大且特征向量對(duì)矩陣的依賴很高；當(dāng)矩陣階數(shù)較高時(shí)，高次代數(shù)方程求

3、根的計(jì)算穩(wěn)定當(dāng)矩陣階數(shù)較高時(shí)，高次代數(shù)方程求根的計(jì)算穩(wěn)定性較差。性較差。另外，實(shí)際問(wèn)題中的具體要求不同，有時(shí)只要求另外，實(shí)際問(wèn)題中的具體要求不同，有時(shí)只要求A的絕對(duì)值最大的特征值（主特征值）及相應(yīng)的特征的絕對(duì)值最大的特征值（主特征值）及相應(yīng)的特征向量；有時(shí)又要求全部的特征值及特征向量。根據(jù)向量；有時(shí)又要求全部的特征值及特征向量。根據(jù)這兩種不同要求，求矩陣的特征值與特征向量的方這兩種不同要求，求矩陣的特征值與特征向量的方法也大致分為兩類：迭代法（冪法反冪法）、變換法也大致分為兩類：迭代法（冪法反冪法）、變換法。法。關(guān)于矩陣特征值及特征向量的一些結(jié)論：關(guān)于矩陣特征值及特征向量的一些結(jié)論： Th1.

4、 （i=1,n）為）為A的特征值，則有的特征值，則有 1. 2. det(A)= 11( )nniiiiiatr Ai1niiTh2、A B(相似相似)，即存在可逆陣，即存在可逆陣T，使，使B=T-1AT,則則 1. A與與B有相同的特征值。有相同的特征值。 2. 設(shè)設(shè)x是是B的關(guān)于的關(guān)于 的特征向量的特征向量, 則則Tx是是A的關(guān)于的關(guān)于 的特征向量。的特征向量。Th3、（、（Gershgorins定理定理,園盤定理）：園盤定理）：A=(aij),則則A的每個(gè)特征值必在下述某個(gè)園盤中：的每個(gè)特征值必在下述某個(gè)園盤中： 1, 1,niiijjj iaainA的每行元素確定一個(gè)圓盤，共的每行元素

5、確定一個(gè)圓盤，共n個(gè)。個(gè)。Th3 表明表明A的任一特征值必在這的任一特征值必在這n個(gè)圓盤中的某一個(gè)內(nèi)。個(gè)圓盤中的某一個(gè)內(nèi)。證明：設(shè)證明：設(shè) 為為A的任一特征值，的任一特征值，x 0為對(duì)應(yīng)特征向?yàn)閷?duì)應(yīng)特征向 量，則有量，則有( I-A)x=0, 設(shè)設(shè)|xi|=max|xj|,顯然顯然xi 0, 第第i個(gè)方程：個(gè)方程：1,niiiijjjj iaxa xijij iiiijj iiaxaaxTh3 的證明過(guò)程表明的證明過(guò)程表明A的任一特征值必在其對(duì)應(yīng)的任一特征值必在其對(duì)應(yīng)特征向量模最大的分量的指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的圓盤中。特征向量模最大的分量的指標(biāo)所對(duì)應(yīng)的圓盤中。 稱為稱為A對(duì)應(yīng)于向量對(duì)應(yīng)于向量x的的Ray

6、leigh商商。 Def1. Ann 實(shí)對(duì)稱陣實(shí)對(duì)稱陣，0 xRn,( ),Ax xR xx xTh4. Ann 實(shí)對(duì)稱陣，其特征值依次排序?yàn)閷?shí)對(duì)稱陣，其特征值依次排序?yàn)?, 對(duì)應(yīng)特征向量對(duì)應(yīng)特征向量 組組成規(guī)范正交系，即成規(guī)范正交系，即 ，則，則 12n12,nx xx,ijijx x1. 0 xRn, 1,nAx xx x 稱為稱為A對(duì)應(yīng)于向量對(duì)應(yīng)于向量x的的Rayleigh商商。 Def1. Ann 實(shí)對(duì)稱陣實(shí)對(duì)稱陣，0 xRn,( ),Ax xR xx xTh4. Ann 實(shí)對(duì)稱陣，其特征值依次排序?yàn)閷?shí)對(duì)稱陣，其特征值依次排序?yàn)?, 對(duì)應(yīng)特征向量對(duì)應(yīng)特征向量 組組成規(guī)范正交系，即成規(guī)范

7、正交系，即 ，則，則 12n12,nx xx,ijijx x1. 0 xRn, 1,nAx xx x 稱為稱為A對(duì)應(yīng)于向量對(duì)應(yīng)于向量x的的Rayleigh商商。 Def1. Ann 實(shí)對(duì)稱陣實(shí)對(duì)稱陣，0 xRn,( ),Ax xR xx xTh4. Ann 實(shí)對(duì)稱陣，其特征值依次排序?yàn)閷?shí)對(duì)稱陣，其特征值依次排序?yàn)?, 對(duì)應(yīng)特征向量對(duì)應(yīng)特征向量 組組成規(guī)范正交系，即成規(guī)范正交系，即 ，則，則 12n12,nx xx,ijijx x1. 0 xRn, 1,nAx xx x2.10,max,nx RAx xx x 3.0,min,nnx RAx xx x Proof.1. 0 xRn, forms

8、an orthogonal basis of Rn , so it is possible to write x as where not all could be zero. Thus we have 12,nx xx1niiixxin2121nniinii,Ax xx x1111,nniijjijnniijjijAxxxx2121niiinii21121niinii1=2. From 1 we know so we only need to prove there exists an x 0 such that 1,Ax xx x1,0, ,nAx xxRx x Taking x=x1,

9、we get111 1111111,Ax xx xx xx x3. Proof is similar to 2.1 冪法與反冪法冪法與反冪法（按模最大與最小特征值的求法）（按模最大與最小特征值的求法） F冪法冪法：求模最大的特征值求模最大的特征值主特征值及相應(yīng)特征主特征值及相應(yīng)特征 向量向量的的迭代法迭代法。 用用A的乘冪構(gòu)造迭代序列，因此稱為冪法。的乘冪構(gòu)造迭代序列，因此稱為冪法。 條件：條件：A Rn n具有具有線性初等因子線性初等因子 A有有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單，適合稀疏矩陣。優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單，適合稀疏矩陣。 缺點(diǎn)：有時(shí)收斂速度很慢。缺點(diǎn)：有時(shí)收斂速度很慢。

10、Algorithm 1. suppose A has eigen-values (This implies is a single real root of the characteristic polynomial; else )，and n independent eigen-vectors . 123n11112,nx xxTake an initial vector 0nvRstart the iteration system 102110,()kkkvAvvAvvAvA vConvergence analysis of Algorithm 1.01 1221,0nnvxxx10112

11、212 1222 nnnnnvAvAxAxAxxxx 1 11222211 12211 kkkknnnkkknnnvxxxxxx .11,1,iin10,2 kikin 1 11,kkvx k 1x101 1x1 is an eigen-vector of A, and is also an eigen-vector corresponding to of A. The same is 11 1kkxv 111121011 12211kkkknknnvAvxxx11 1kkvx 1111 11kkkvxvk Eigen-vector1,1,11,2,211,kkkkknk nvvvvvv1,1

12、,11, 0 ,kikik ik ik ivvvkvv Eigen value 1Th5. A Rn n有有n個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量 主特征值主特征值 1滿足滿足則則做迭代做迭代有有 12,nx xx123n001 12210,0nnnvRvxxx 10kkkvAvA v1 11,kkvx k 1,1, kik ivkv Principal eigen value 1summary10kkkvAvA v1,1,11, 0 ,kikik ik ik ivvvvviteration system1 11,kkvx k eigen-vector corresponding to 11.

13、 收斂速度：主要由來(lái)收斂速度：主要由來(lái) 確定，確定，r 越小，越小，收收斂越快。斂越快。 時(shí)收斂可能很慢。時(shí)收斂可能很慢。2. 若有若有 ，說(shuō)明，說(shuō)明 1 0， 以及以及 都不能作為近似都不能作為近似特征向量，需要重新取初始向量再迭代。特征向量，需要重新取初始向量再迭代。3. 用冪法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，若用冪法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，若 在計(jì)算機(jī)中會(huì)產(chǎn)生在計(jì)算機(jī)中會(huì)產(chǎn)生“溢出溢出”或或 “機(jī)器零機(jī)器零”的情的情況（超過(guò)計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)所能表示的精度）況（超過(guò)計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)所能表示的精度） note21r1r 11 10kkvx 1 1x11 1kkxv 11 ( or 1),1,1,if 0,(0)k ikik ivvv

14、Algorithm 2(improvement of A.1). 00011011221221, , ( ), (), ()kkkkkvuvvvAuumax vvvAuumax vvvAuumax vConvergence analysis of A.2.00001100110202002212200202, , ( )()(), ()()max()() =vuvAvvvAuAvumax vmax AvA vA vmax AvvvAuuA vmax Avmax vmax AvA v20002200000100()() maxmax, max()max()kkkkkkmax AvA vmax A

15、vA vA vA vA vvuAvA vMax(x)取出向量取出向量x中模最大的分量中模最大的分量2011 122111kknkkkniiinniA vxxxx 211 1221100211 1221111max()maxmax( )kkknnnkkkkkknnnkxxxA vuA vxxxxx 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng) 1的特征向量的特征向量x1的規(guī)范化向量的規(guī)范化向量 211 12211011101211 12211211 122111211 12maxmaxmaxmaxmaxkkknnnkkkkkknnnkkknnnkkxxxAvvA vxxxxxxvx 1121111 11111 1maxmaxkkn

16、nnkkkxxxx Th6. A Rn n有有n個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量 主特征值主特征值 1滿足滿足 則則做迭代做迭代有有 12,nx xx123n0001 12210,0nnnvRuvxxx 001maxkkkkkuvvAuvuv111, maxmax,kkxukxvk 2平面旋轉(zhuǎn)矩平面旋轉(zhuǎn)矩陣陣雅可比法的基本思想雅可比法的基本思想:設(shè)法用一系列簡(jiǎn)單的正角陣設(shè)法用一系列簡(jiǎn)單的正角陣Rk , 逐步地將逐步地將 A 化為近化為近似對(duì)角陣似對(duì)角陣(非對(duì)角元近似化為非對(duì)角元近似化為0)。即選擇。即選擇Rk , 令令 0112, , 1,2, s.t. diag(,), TkkkkknA

17、AAR ARkAk A的全部特征值的全部特征值問(wèn)題的關(guān)鍵問(wèn)題的關(guān)鍵：如何構(gòu)造正交陣：如何構(gòu)造正交陣Rk ？ 平面旋轉(zhuǎn)變換平面旋轉(zhuǎn)變換雅可比算法雅可比算法:設(shè)設(shè)Ak-1 (k1, A0 =A)未對(duì)角化，即非對(duì)角元中有較大的元素，未對(duì)角化，即非對(duì)角元中有較大的元素，設(shè)非對(duì)角元中按模最大的元素是設(shè)非對(duì)角元中按模最大的元素是11cossin1,1sincos11kRp qpq行行(1)(1)(),kkpqqpaapq不妨設(shè)引入平面旋轉(zhuǎn)矩陣引入平面旋轉(zhuǎn)矩陣?yán)美肦k(p,q)對(duì)對(duì)Ak-1作旋轉(zhuǎn)變換，使作旋轉(zhuǎn)變換，使 中的非對(duì)角元中的非對(duì)角元1 TkkkkAR AR( )( )0kkpqqpaa,4 4

18、 (1)(1)(1)22kpqkkppqqatgaa 應(yīng)滿足應(yīng)滿足常將常將 限制在限制在( -1)( -1)( -1) 0, 4 -4kkppqqkpqif aaif aelse，對(duì)對(duì)Jacobi算法有幾點(diǎn)說(shuō)明：算法有幾點(diǎn)說(shuō)明： 1. 構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣時(shí)只需計(jì)算構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣時(shí)只需計(jì)算sin ,cos ,為了防止為了防止舍入誤差擴(kuò)大，舍入誤差擴(kuò)大，sin ,cos 按下面公式計(jì)算：按下面公式計(jì)算： ( -1)( -1)( -1) sgn4kkkppqqpqif aaa， 否則，否則，(1)2(1)(1)2222tan1tan21tantan2tan101tan1kpqkkppqqaaaCCCC (1

19、)(1)(1)2222( -1)( -1)( -In case of tan too great, we choose21 0sgn( )tan1tan 11 011cos1sincos kkppqqkpqkkkpqppqqaaCaCCtCCCCCCCttifaaa(1)1)(1)(1)1, 2kpqkkppqqawetaket as tCaa 2. 由于由于Ak 是對(duì)稱陣，因此只要計(jì)算上三角（或下三角）是對(duì)稱陣，因此只要計(jì)算上三角（或下三角）元素即可，既節(jié)省計(jì)算量，有能保證元素即可，既節(jié)省計(jì)算量，有能保證Ak 嚴(yán)格對(duì)稱。嚴(yán)格對(duì)稱。 3. 1 TkkkkAR AR的計(jì)算過(guò)程如下：的計(jì)算過(guò)程如下

20、：( )( )( -1)( -1)( )( )( -1)( -1)( )( -1)2( -1)( -1)2( )( -1)2( -1)( -1)2cossin ,sincoscossin2sin sinsin2cos kkkkippiipiqkkkkiqqiipiqkkkkpppppqqqkkkkqqpppqqqaaaaip qaaaaaaaaaaaa ( )( )( )( -1) 0 , , , kkpqqpkkijijaaaai jp q 4. Ak 中經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換化為零的元素，可能在中經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換化為零的元素，可能在Ak+1中又成為中又成為非零元素，因此不能期望通過(guò)有限次旋轉(zhuǎn)變換將原矩陣非零

21、元素，因此不能期望通過(guò)有限次旋轉(zhuǎn)變換將原矩陣A對(duì)角化，但可證對(duì)角化，但可證 12 diag(,), knAk ( )( )( )12111( )( )( )21222( )( )( )( )1200, kkknkkknkkkkkknnnnnnaaaaaaEDaaaa證明證明Jacobi法的收斂性法的收斂性222222(1)(1)11(1)(1)22222(1)(1)11222221112202, 2,max1221( -1)2 1( -1)kkkkpqkkpqFFFFkkpqijijkkkpqpqkFFkkkkFFFFkFkEEaDDaaaEnnaaEnnEEEEnnn nEn nE2120

22、, 2diag(,), Fknas knAk 由前面推論知由前面推論知 5. 實(shí)際計(jì)算時(shí)，當(dāng)實(shí)際計(jì)算時(shí)，當(dāng)k充分大或者當(dāng)充分大或者當(dāng) 時(shí)迭代終止，時(shí)迭代終止，( )( ) or maxkkijijijijaa( ),1,2,kiiiainA的全部近似特征值的全部近似特征值 6. 特征向量的計(jì)算：設(shè)經(jīng)過(guò)特征向量的計(jì)算：設(shè)經(jīng)過(guò)m次旋轉(zhuǎn)變換迭代結(jié)束，則次旋轉(zhuǎn)變換迭代結(jié)束，則-111-1112-1 , , ,(, ,) TTTmmmmnmmTTTmmmmmmTmmmAR RR A RRRlet PRRRP orthogonalPA PdiaAAgPP 說(shuō)明說(shuō)明Pm的第的第j列就是列就是 j的標(biāo)準(zhǔn)正交特

23、征向量的近似值。的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量的近似值。實(shí)際計(jì)算時(shí)，并不是保留實(shí)際計(jì)算時(shí)，并不是保留 到最后到最后才形成才形成Pm，而是逐步形成的。，而是逐步形成的。令令 (1,2,)TkRkm0-1, , 1,2,TkkkPI PP Rkm每一步的計(jì)算公式為每一步的計(jì)算公式為( )( -1)( -1)( )( -1)( -1)( )( -1)cossinsincos, , 1,2, kkkipipiqkkkiqipiqkkijijppppppppjp qin 7. 對(duì)經(jīng)典對(duì)經(jīng)典Jacobi法的改進(jìn)法的改進(jìn)-避免每次在非對(duì)角元中選避免每次在非對(duì)角元中選主元素花費(fèi)太多時(shí)間：主元素花費(fèi)太多時(shí)間：循環(huán)雅可比法和

24、雅可比過(guò)關(guān)法循環(huán)雅可比法和雅可比過(guò)關(guān)法。雅可比過(guò)關(guān)法雅可比過(guò)關(guān)法：1. 設(shè)閾值設(shè)閾值T0(一般取為一般取為 )，在，在A的非對(duì)角的非對(duì)角 元中按行（或列）掃描（只需掃描上（或下）三角元元中按行（或列）掃描（只需掃描上（或下）三角元素），即按如下順序與閾值素），即按如下順序與閾值T0作比作比 較：較： 若若 |aij|j+1時(shí)，時(shí)，bij=0,則稱則稱B為上為上Hessenberg陣陣(或準(zhǔn)上三角陣或準(zhǔn)上三角陣)，即，即1112121222 -1,nnn nnnbbbbbbBbbi=j+1i j+1理論基礎(chǔ)：理論基礎(chǔ)：A是是n階實(shí)矩陣，存在階實(shí)矩陣，存在正交陣正交陣P，s.t.11121222,

25、ssTssAAAAAP APA,1,2,iiA is是是1階或階或2階方陣。若階方陣。若Aii 是是1階的，階的，則它是則它是A的一個(gè)實(shí)特征值；若的一個(gè)實(shí)特征值；若Aii 是是2階的，則它的兩階的，則它的兩個(gè)特征值是個(gè)特征值是A的一對(duì)共軛復(fù)特征值。的一對(duì)共軛復(fù)特征值。 定理說(shuō)明：定理說(shuō)明：用正交陣相似變換可將一般實(shí)矩陣約化為上用正交陣相似變換可將一般實(shí)矩陣約化為上Hessenberg陣，將實(shí)對(duì)稱陣約化為對(duì)稱三對(duì)角陣。陣，將實(shí)對(duì)稱陣約化為對(duì)稱三對(duì)角陣。正交相似變換不改變特征值和特征向量，因此求原矩陣正交相似變換不改變特征值和特征向量，因此求原矩陣的特征值問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求上的特征值問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求上H

26、essenberg陣或?qū)ΨQ三對(duì)角陣或?qū)ΨQ三對(duì)角陣的特征值問(wèn)題。陣的特征值問(wèn)題。問(wèn)題的關(guān)鍵問(wèn)題的關(guān)鍵：如何將一般實(shí)矩陣正交約化為上：如何將一般實(shí)矩陣正交約化為上Hessenberg陣，將實(shí)對(duì)稱陣約化為對(duì)稱三對(duì)角陣？陣，將實(shí)對(duì)稱陣約化為對(duì)稱三對(duì)角陣？初等反射陣初等反射陣Def122,1Tnwwwww21121221222121 22221 22-2221 2nTnnnnww ww ww www wHIwww ww ww初等反射陣初等反射陣性質(zhì)性質(zhì):221. -2-2;2. -2-2-44;3. TTTTTTTTTTHIwwIwwHH HHIwwIwwIwww w w wIHI對(duì)稱、正交、對(duì)稱、正交

27、、對(duì)合對(duì)合初等反射陣的初等反射陣的幾何意義幾何意義Swv=x+yyx-yv=x-y: 0, 0TTSw xSx w x, , , ,-22;-22-nTTTTvRvxy xS ySykwHxIwwxxww xxHyIwwykwww kwkwyHvx y v是是v關(guān)于平面關(guān)于平面S的鏡面反射。的鏡面反射。初等反射陣將初等反射陣將 Rn 中任意向量關(guān)于以中任意向量關(guān)于以w為法向量且過(guò)原點(diǎn)的超為法向量且過(guò)原點(diǎn)的超平面做鏡面反射平面做鏡面反射。初等反射陣的作用：對(duì)向量作變換初等反射陣的作用：對(duì)向量作變換Proposition22,nxyRxyHHxy則 初等反射陣 ，使。證明：令222212()TTx

28、ywwxyxyHIxyxy初等反射陣。2222)(2)(2yxxyxxyxxxyxyxyxxHxTTTT)( 2)(22xyxxyyxyyxxxyxyxyxTTTTTTTT2222yxyyxxHx)(Corollary1211222120,2,/2nTTxRxxeuuHIIuuHxeuuxeu 初等反射陣使。1Proof: Taking , we get the result from the proposition immediately.ye111222222222121212211 ( ,) ,(, )111()(2)2221(22)()2TTnnnnxxxu xexxxuxxxxxxx

29、xx 說(shuō) 明 ： 的 取 法 ：設(shè) 11112sgn( )xxxxx若 與 異號(hào)，則的有效數(shù)字可能損失，所以取 與 同號(hào)，即取。結(jié)論結(jié)論推論說(shuō)明：通過(guò)初等反射陣即可將任何非零向量推論說(shuō)明：通過(guò)初等反射陣即可將任何非零向量約化成只有一個(gè)非約化成只有一個(gè)非0 0元素的向量。元素的向量。 nxxxx2112111sgn()()TxxxuxeHIuu 10 0Hxe注意：計(jì)算注意：計(jì)算 時(shí)可能上溢或下時(shí)可能上溢或下溢，為防止溢出，將溢，為防止溢出，將x 規(guī)范化，規(guī)范化，1221121sgn( )sgn( )()niixxxx,max1inixxxxx21122,(),TTuuHIu uIHH xH x

30、H xe 用正交相似變換用正交相似變換(初等反射陣初等反射陣)約化矩陣為約化矩陣為Hessenberg陣陣11121(1)2122211121(1)(1)212212nnnnnnaaaaaaaAAAAAaaa0(1)2111121111 .0,:AHH Ae （ ）設(shè)否 則 這 一 步 不 需 約 化 。選 擇 初 等 反 射 陣， 使1221211211121(1)1211 11111 1sgn()()()niiTaaauAeHIuu (n-1) (n-1)維維1 (1)1(1) 11111121111111110 0101000101010000nnTTTnRHRRHHR RRIH HIH

31、H 令正交、對(duì)稱、對(duì)合令(1)111212111(1)(1)1211221(2)(2)(2)1112132 12 12 (2)(2)(2)2223(2) 1(2) (2)0TnnnnaA HAR ARH AH A HAAAAA111)2(11aA次正交化，即有進(jìn)行了（設(shè)對(duì))1.20kAB(2)( )( )( )111211,11(2)( )1222T( )( )( )k 1111,1( )( )( )1,1,11,( )( )( ),1( )( )11121(1)1kkkkknkkkkkkkkkkkk kknkkkkkkkknkkkn kn knnkkkkkaaaaaaaARA Raaaaaa

32、aaaAAA( )3()( )( )2223() 1() ()0kkn kkkn kn kn kAA( )220kA設(shè)，221() 1kkkkn kHH Ae （ ）選擇初等反射陣，使122( )( )1,1( )1,( )2211sgn()()nkkkkki ki kkkkkkkkkkTkkkkaaauAeHIu u ()()( )( )( )1112131( )( )2223( )( )( )111213( )1230,000k kkknknkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkIRHAAAHAR A RH AH AHAAAHeH AH令重復(fù)這一過(guò)程直到 122112211(2)12

33、2(3)233(1)1HnnnnnnnARR R AR RRaxxxxaxxaxessenberga上陣結(jié)論結(jié)論122221122,10,12,0Hn nniinnARH HHRinHRR R AR RRCessenberg則 初等反射陣也是初等反射陣，使上陣122,( )( )TnTiiPR RRP PI PP APCAC令 正交設(shè)x是c 的對(duì)應(yīng)于的特征向量，則有 ()()TCxP APxxA PxPx說(shuō)明說(shuō)明 P x 是是 A 對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于 的特征向量。的特征向量。A的特征值和特征向量的特征值和特征向量若若A是實(shí)對(duì)稱陣，則是實(shí)對(duì)稱陣，則C也是實(shí)對(duì)稱陣也是實(shí)對(duì)稱陣(CT=PTATP=PTAP

34、=C),故故C為對(duì)稱三對(duì)角陣，即為對(duì)稱三對(duì)角陣，即關(guān)于實(shí)對(duì)稱陣關(guān)于實(shí)對(duì)稱陣1112211nnncbbcbCbbc4 QR方法方法是一種變換方法，計(jì)算一般中小型矩陣全部特征值的是一種變換方法，計(jì)算一般中小型矩陣全部特征值的最有效方法之一。最有效方法之一。主要用于計(jì)算：主要用于計(jì)算：1.1.上上Hessenberg陣的全部特征值陣的全部特征值; ; 2.2.對(duì)稱三對(duì)角矩陣的全部特征值。對(duì)稱三對(duì)角矩陣的全部特征值。對(duì)于一般矩陣或?qū)ΨQ陣，先用對(duì)于一般矩陣或?qū)ΨQ陣，先用Householder方法將其方法將其約化為上約化為上Hessenberg陣或?qū)ΨQ三對(duì)角陣，再用陣或?qū)ΨQ三對(duì)角陣，再用QR法法計(jì)算全部特

35、征值。計(jì)算全部特征值。優(yōu)點(diǎn)：算法穩(wěn)定，收斂快。優(yōu)點(diǎn)：算法穩(wěn)定，收斂快。 矩陣的矩陣的QR分解分解12(,) ,0Tijnijijxx xxxxx xP不全為 ，則可選旋轉(zhuǎn)陣使Lemma1 （旋轉(zhuǎn)對(duì)向量的作用）（旋轉(zhuǎn)對(duì)向量的作用）2212( ,) , , 0,111111TijniijjijPxx xxxxxxxxcsPsc其中i行j行i列j列證：證：P左乘左乘x只對(duì)的第只對(duì)的第i,j個(gè)元素有影響，其它元素不變。個(gè)元素有影響，其它元素不變。 22, 0iijijjijxcxsxxxxsxcx （旋轉(zhuǎn)對(duì)矩陣的作用）（旋轉(zhuǎn)對(duì)矩陣的作用）A A非奇異，則存在旋轉(zhuǎn)陣非奇異，則存在旋轉(zhuǎn)陣P1, , P2,

36、 , , Pn, ,s.t.1112122212213nnnnnrrrrrP PP PARr為上三角陣，且對(duì)角線元素為上三角陣，且對(duì)角線元素 01,2,iirin，,Theorem2證明：證明：A=A1非奇異，非奇異，A1的第一列一定存在的第一列一定存在ai1 0, 1. 若若ai1 0, 由引理由引理1，存在旋轉(zhuǎn)陣，存在旋轉(zhuǎn)陣 , s.t. 21311,nPPP(2)(2)(2)(2)(2)(2)1112122211,1312111122nnnnnnnraaaaP PP P APAAaa2. 同理，同理， 若若 ,由引理由引理1, 存在旋轉(zhuǎn)陣存在旋轉(zhuǎn)陣 , s.t.32422,nPPP(2)

37、20ia(2)(2)(2)(3)(3)(3)(3)(3)(3)111213122232n2423222 1133333AAnnnnnnraaaraaPP PPPAaaaa3. 重復(fù)上述過(guò)程，得到重復(fù)上述過(guò)程，得到 , s.t.121,nP PP1112122211nnnnnrrrrrPPARr111111, TTTnTTTnAP PP RQAQRP PP由定理知，令正交陣，則 矩陣的矩陣的QR分解分解(,ORAAQRAQRR矩陣的分解） 非奇異可分解為正交陣 與上三角陣 之乘積，即且當(dāng) 的對(duì)角元素都為正時(shí)分解唯一。Theorem3下三下三角角正交陣正交陣上三角陣上三角陣證證( (僅證唯一性，反正僅證唯一性，反正) )：設(shè)：設(shè)1111,AQR